Gagnant sur une espérance de tirage !

[ansset]

énigme vue mais à laquelle je ne suis pas sur d'avoir une réponse:

un chat et une souris jouent à pile ou face avec une pièce non truquée.
trouvant le jeu trop bête , ils décident de jouer sur 3 coups de suite.
ainsi chacun pari par exemple sur une suite de son choix par exemple face/face/pile !
le chat se sachant plus fort pari sur une suite.
la souris elle ( soit disant plus maligne ) propose une autre suite en fct de celle du chat.
quelle peut être sa stratégie pour optimiser son espérance de gagner ?

encore une fois , je la pose sans même y avoir bien réfléchi moi même.
il ne s'agit pas de gagner, mais bien d'avoir une meilleure espérance .

ps: c'est en gros l'intitulé que j'ai, donc on peut supposer que le lanceur n'a pas d'importance, on peut supposer que c'est un tiers indépendant des joueurs.

fautes d'ortho dans mon titre, si qcq peut corriger ?
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[ansset]

la suite est bien celle des 3 derniers tirages ( il n'y a pas les tirages du chat puis ceux de la souris )

[ansset]

petite précision, la question réelle est il y a t il une stratégie pour la souris de proposer une suite avec une espérance supérieure à celle du chat ?

[roro222]

Bonjour
A mon avis, si rien n'est truqué, il y a 8 propositions possibles (2^3)
Donc 8 résultats de lancés possibles
Donc 1 chance sur 8 de gagner et ce quelque soit le joueur et les propositions qui ont été faite avant

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Bonjour roro222,

S'il s'agit du classique jeu où on lance n fois le dé jusqu'à ce que l'une des combinaisons de 3 (celle du chat ou celle de la souris) apparaisse, si c'est bien cela (pas clair), alors la souris peut optimiser, par exemple si le chat choisi FFF, la souris a une stratégie lui assurant 7/8 de gagner

[ansset]

Bonjour roro222,

S'il s'agit du classique jeu où on lance n fois le dé jusqu'à ce que l'une des combinaisons de 3 (celle du chat ou celle de la souris) apparaisse, si c'est bien cela (pas clair), alors la souris peut optimiser, par exemple si le chat choisi FFF, la souris a une stratégie lui assurant 7/8 de gagner

Oui, c'est bien l'énoncé, mais je n'ai pas trouvé ( pas vraiment cherché beaucoup non plus ) de bonne réponse stratégique pour la souris.
Apparemment, cette stratégie gagnante existe, donc je vais m'y pencher.
merci.
ps : les cas FFF ou PPP ne me pose pas de pb, ( enfin je pense ) c'est plutôt les autres cas.

[ansset]

pour enfoncer le clou sur le sens de l'énoncé :
il n'y a pas 3 lancés pour le chat puis 3 lancés pour la souris , etc.
mais une suite continue et le gagnant est celui qui voit le premier sa combinaison apparaitre.

[ansset]

proposition intuitive:

 Cliquez pour afficher

la souris propose en 1) un tirage opposé à la proposition 3) du chat
de même elle propose en 3) un tirage opposé à la proposition 1) du chat.
si les deux sont identiques sa proposition 2) est à l'opposée des 1) et 3).

suis je dans une bonne direction ?

[Tryss2]

Je dirai que si le chat propose ABC, la souris va proposer XAB.

L'idée c'est que si AB apparait (en dehors de la première position), on a un truc de la forme 1AB2, le chat ne peut gagner que si 1 est différent de X et 2 égal à C => 1/4 de chance de gagner. Bien entendu, il y a des subtilités, mais le principe est là

C : PPP S: FPP => le chat a 1/8 de gagner : Il ne gagne que si PPP sort du premier coup. A partir du moment ou un F est sorti, tout groupement de P est précédé d'un F

C : PPF S: FPP => le chat a 1/4 de gagner : Il gagne si et seulement si les deux premiers lancers sont des P (pour la même raison)

C : PFP S: FPF => le chat va soit gagner directement, soit sur une séquence de la forme PPFP. ça me semble un brin délicat de calculer cette probabilité, mais elle est > 1/4

C : FPP S: PFP => Idem

[ansset]

je ne comprend pas.
mais je re rédigerai plus tard, .

[Merlin95]

Je n'ai pas compris où est l'enjeu. Le chat donne son trio et la souris choisit son trio en fonction de celui donné par le chat.

Mais peu importe ce que dit le chat, chaque possibilité aura 1/8 d'apparaitre, les espérances de gagner pour le chat et la souris seront les mêmes. Ou j'ai manqué quelque chose ?

[Médiat]

Regardez l'exemple que j'ai donné (Tryss2 a donné la solution), c'est le plus simple

[ansset]

Mais peu importe ce que dit le chat, chaque possibilité aura 1/8 d'apparaitre, les espérances de gagner pour le chat et la souris seront les mêmes. Ou j'ai manqué quelque chose ?

ce n'est pas ce que tu disais plus haut, ou alors j'ai mal saisi.
mais justement la question , la souris peut elle avoir une stratégie gagnante.
la réponse peut être non, mais pour autant ds le post#8 tu cites un cas de figure ou c'est possible .
bref , je ne comprend plus ta position ?

[Merlin95]

Je n'ai pas compris ce que représentent les notations ABC, ABX, 1AB2 dans la réponse de Tryss.

[Merlin95]

ce n'est pas ce que tu disais plus haut, ou alors j'ai mal saisi.
mais justement la question , la souris peut elle avoir une stratégie gagnante.
la réponse peut être non, mais pour autant ds le post#8 tu cites un cas de figure ou c'est possible .
bref , je ne comprend plus ta position ?

C'était la première fois que j'intervenais sur le fil, tu confonds peut-être avec jerrett ?

[ansset]

C'était la première fois que j'intervenais sur le fil, tu confonds peut-être avec jerrett ?

quel rapport avec jerret dans ce fil ??????
rien compris ….

pour le reste, je vais relire le post de Tryss, bien sur

[Merlin95]

Vous m'avez dit :

ce n'est pas ce que tu disais plus haut, ou alors j'ai mal saisi.

Mais c'était la première fois que j'intervenais sur ce fil, donc je ne comprends pas ce que vous voulez dire par "ce n'est pas ce que tu disais plus haut".

[ansset]

Je m'adressais à Médiat !

[Tryss2]

Oui, tu as manqué quelque chose : les tirages ne sont pas indépendants (c'est une chaine de Markov).

Si j'ai choisi FFF, je n'ai pas 1/8 de gagner à chaque fois que l'on tire : Si les deux derniers tirages sorti sont FP, alors ma probabilité de gagner au prochain coup est nulle (et à celui d'après aussi).

Cf ce diagramme :
MarkovCat.png

Avec à chaque fois, une probabilité 0.5 de choisir chaque flèche, le premier qui atteint sa case à gagné (en partant d'une position choisie de façon aléatoire uniforme)

[ansset]

merci Tryss, j'ai ….."enfin" compris.
@Merlin:
il y a eu une confusion, j'ai confondu ta réponse, que je pensais être celle de Médiat , donc qui semblait contradictoire.
puisque

toi tu affirmes qu'il n'y a pas de stratégie possible.
Médiat et Tryss semblent démontrer le contraire.
Et j'ai tendance à leur faire confiance sur ce type de sujet ( d'ailleurs avec démo à la clé )

[Tryss2]

Du coup, dans les deux cas faciles, le graphe devient celui ci :

(La case verte = le choix de la souris)

MarkovCat2.png

MarkovCat3.png

On voit bien que dans les deux cas, pour atteindre la case rouge, il faut forcément commencer soit sur la case rouge, soit (pour le second), sur la case FFF

Les deux autres cas sont un peu plus délicats, car il y a des cycles dans le graphe

Edit : petite "erreur" dans le graphe

[ansset]

merci Tryss, mais j'avoue humblement que cette "énigme" n'était pas du tout évidente au départ ( pour moi en tout cas ).
cordialement.

[Tryss2]

Donc j'ai cherché un peu pour les probabilités dans les cas plus compliqués :

Si le chat choisi FPP :

Si la souris choisi FFP, la proba de victoire du chat est de 7/24 (un peu moins de 30%)
Si la souris choisi PFP à la place, je trouve une victoire du chat à 50% (surprenant !)

Si le chat choisi PFP :

Si la souris choisi FPF, le chat gagne à 50% (le graphe est symétrique)
Si la souris choisi PPF, la probabilité de victoire du chat est de 1/3

Bien entendu, sous reserve que je ne me sois pas pas trompé

[ansset]

En fait, pas si facile cette histoire !
je l'avais posé en pensant à une astuce , mais c'est plus complexe.
j'ai appris qcq chose….( sur les chaines de Markov entre autre )

[mohanad1]

Demain, je ferai une simulation.
J'ai bien tout relu et sauf erreur, on tire à chaque fois une suite de 3 P ou F.
Ca marche aussi avec un seul tirages pour compléter les 2 derniers tirés, mais c'est plus difficile à expliquer, puisque le dernier jet n'a que 2 solutions, donc le problème reviendrait à parier Pile ou Face, mais pas une suite.
Ceci étant dit, je veux bien faire la souris contre Médiat ou Tryss, les deux l'un après l'autre ce sera encore plus rentable.
Vu le faible montant de ma retraire et les prévisions de baisse, ça pourrait être une façon d'arranger mes fins de mois.
On pourrait intituler le jeu "Géomètre ignorant contre Matheux compétent".
Bonne soirée.

[mohanad1]

Demain, je ferai une simulation.
J'ai bien tout relu et sauf erreur, on tire à chaque fois une suite de 3 P ou F.

ah, même pour faire une simulation, il faut comprendre le sujet, et là, je me suis encore planté en beauté... non, on ne tire pas une suite de 3 P ou F. Désolé.

Vu le faible montant de ma retraire et les prévisions de baisse, ça pourrait être une façon d'arranger mes fins de mois.
On pourrait intituler le jeu "Géomètre ignorant contre Matheux compétent".

Géomètre ignorant et pas bien dans sa tête. Encore désolé.

[ansset]

J'ai bien tout relu et sauf erreur, on tire à chaque fois une suite de 3 P ou F.

non, ce n'est pas l'énoncé de "l'énigme", donc je ne vois pas ce que tu va simuler.

[mohanad1]

En effet...
J'ai essayé de faire de la contradiction gratuite, mais je ne suis pas clair dans ma tête.

[leon1789]

Bonjour

Si le chat choisi FPP :

Si la souris choisi FFP, la proba de victoire du chat est de 7/24 (un peu moins de 30%)
Si la souris choisi PFP à la place, je trouve une victoire du chat à 50% (surprenant !)

je n'ai pas la même proba pour la première ligne :
Si la souris choisi FFP, la proba de victoire du chat est de 1/3 (ie. 8/24 et pas 7/24)
Si la souris choisi PFP à la place, je trouve également une victoire du chat à 50%

Si le chat choisi PFP :

Si la souris choisi FPF, le chat gagne à 50% (le graphe est symétrique)
Si la souris choisi PPF, la probabilité de victoire du chat est de 1/3

ok

En fait, pour chaque choix du chat, il y a un et un seul (!) choix de la souris qui maximise le gain de la souris :

si chat = PPP alors souris = FPP avec une proba de gain de 7/8
si chat = PPF alors souris = FPP (encore) avec une proba de gain de 3/4
si chat = PFP alors souris = PPF avec une proba de gain de 2/3
si chat = PFF alors souris = PPF (encore) avec une proba de gain de 2/3

et choix en symétrie si chat = F...

[ansset]

bjr,
très interressant,
tu as obtenu ces optimisations par simple calculs ou avec une stratégie clairement définie ?