Chocs élastiques

[CM63]

Bonjour,

Voici un petit problème : deux boules, une grosse et une petite, se déplacent sur une même ligne horizontale. Elle ne sont pas soumises à la pesanteur. A droite, se trouve un mur vertical. Les boules vont s'entre-choquer entre elles et contre le mur par des chocs parfaitement élastiques, sans perte d'énergie. Ainsi, par exemple, si une boule arrive sur le mur à une vitesse V, elle va rebondir et repartir dans l'autre sens à une vitesse -V.

Rebonds.png

La grosse boule (rouge) se déplace à une vitesse V constante vers le mur, alors que la petite boule (jaune) est immobile. Après quelques rebonds sur le mur, on va aboutir à la nouvelle situation stable : les deux boules se déplacent vers la gauche, la boule rouge plus vite que la jaune, cette dernière pouvant éventuellement avoir retrouvé une vitesse nulle. S'il subsistait une vitesse vers la droite à la boule jaune, elle irait rebondir sur le mur, repartirait dans l'autre sens et on serait dans cette situation stable.

Soit K le rapport entre les deux masses :

Question

Quelles sont les valeurs de K pour lesquelles on a « réflexion parfaite », c'est-à-dire :

• la petite boule est à nouveau immobile,
• la grosse boule repart vers la gauche avec la même vitesse (-)V qu'elle avait au départ ?

Je vais ajouter un message, car les flèches et les noms des masses ne sont pas passées dans l'image.
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[CM63]

Voici la nouvelle image:



Ce petit problème m'a été suggéré cette vidéo de 3Blue1Brown. Lui s'intéresse au nombre de rebonds sur le mur.

[CM63]

Bonjour,

Je suis en train d'écrire les équations mais, entre temps, j'ai essayé de retrouver des valeurs de k par simulation numérique. Il y a bien sûr la valeur triviale k=1 (j'aurais du mettre une inégalité : k<=1) : si les deux masses sont égales, en percutant la boule jaune, la boule rouge reste immobile, puis la boule jaune rebondit sur le mur et recommunique sa vitesse à la boule rouge dans l'autre sens en s'immobilisant elle-même à nouveau. Dans ce cas, la boule jaune fait un seul rebond sur le mur.

J'ai ensuite trouvé par simulation la valeur suivante de k: k=3, dans ce cas la boule jaune fait deux rebonds sur le mur. La valeur suivante, pour laquelle la boule jaune ferait 3 rebonds, n'est probablement pas entière, je trouve une valeur entre 30 et 31. A vérifier.

Je continu la mise en équations. Merci de spoiler vos réponses.

[invite51d17075]

J'ai ensuite trouvé par simulation la valeur suivante de k: k=3, dans ce cas la boule jaune fait deux rebonds sur le mur. La valeur suivante, pour laquelle la boule jaune ferait 3 rebonds, n'est probablement pas entière, je trouve une valeur entre 30 et 31. A vérifier.

il serait intéressant que tu nous montres ta simulation.
il me semble qu'un programme est nécessaire.

 Cliquez pour afficher

à chaque choc, on peut déduire les valeurs V_1(n+1) et V_2(n+1) à partir des valeurs de V1_n et V2_n en utilisant.
- la conservation de la quantité de mouv
- la conservation de l'énergie cinétique.
par ailleurs, je comprend mal comment tu déduis un nb de rebonds sans ternir compte de la distance de M₂ au mur !?

[A voir en vidéo sur Futura]

[CM63]

...je comprend mal comment tu déduis un nb de rebonds sans ternir compte de la distance de M₂ au mur !?

Ce qui va dépendre de la distance au mur, c'est le temps mis par la boule jaune pour atteindre le mur, nullement le nombre de rebonds.

En ce qui concerne mes simulations, c'est un peu compliqué de les poster ici, je les ai faites avec le logiciel de CAO Sketchup, complété de la plugin MSPhysics. Il faudrait enregistrer la vidéo, et je ne me souviens plus comment on fait. Je suis plutôt parti sur la mise en équations rigoureuse, effectivement en appliquant les principes de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, et cela n'a pas l'air très compliqué, seule la résolution des équations va l'être, d'autant plus avec les valeurs suivantes du nombre de chocs de M₂ .

[invite6486d7bd]

Ce qui va dépendre de la distance au mur, c'est le temps mis par la boule jaune pour atteindre le mur, nullement le nombre de rebonds.

Ce que j'en comprend (si je ne fais erreur) c'est que le mur est accessoire, il ne fait que délayer le moment où la petite masse revient sur la grande. On peut donc simplifier le problème en supposant que nous sommes arrivés à la situation finale demandée.
La situation simplifiée est donc la suivante : M1 et M2 se rencontrent avec une vitesse v1 et v2, et aboutit à cet instant à v2 prime=0 et v1 prime=V.
.

[invite51d17075]

tu as raison pour la distance. ( suis allé trop vite )
ensuite:

 Cliquez pour afficher

je trouve qu'un programme dédié est plus facile ( désolé de ne pas connaitre les tiens )
on suppose k>1 et V2(0)=0
après 1choc, on en déduit en tenant compte des deux lois v1(1) et v2(1) , les deux étant positifs.
2ème choc en retour v1(1) change de signe et on en déduit v1(2) etv2(2).
ainsi de suite jusqu'à temps que m1v1 > m2v2 soit v1>kv2 ( et on compté le nb de rebond )

[CM63]

Tout-à-fait, une procédure dédiée est relativement simple à écrire. Je me suis simplement amusé avec Sketchup, c'était marrant de voir les rebonds intempestifs de la petite boule, dans le cas où le rapport de masses est élevé. 3Blue1brown, dans sa vidéo, reproduit même le bruit émis par de tels rebonds, un sifflement à fréquence croissante, puis à nouveau décroissante. Avec Sketchup, j'ai rapidement un problème de pénétration de matière du à l'erreur de discrétisation.
Bon, je retourne à mes équations.

[NicoEnac]

Bonjour,

J'adore ce problème.

 Cliquez pour afficher

Je suis parti des principes de conservation de l'énergie cinétique et de la quantité de mouvements.

Je considère que la vitesse est positive lorsqu'une boule se rapproche du mur.
Elle est négative lorsqu'elle s'en éloigne.

A T=0, j'ai posé (arbitrairement mais cela ne change rien car le problème est linéraire par rapport à la vitesse initiale de M1) :
V1 = 1, V2 = 0

Cela donne les équations suivantes (V' sont les vitesses après choc, V avant) :

Ou en utilisant K :


Pour plus de simplicité, je vais noter :


Ensuite, j'ai pris l'hypothèse (mais ça doit pouvoir se prouver) qu'un choc est forcément suivi d'un rebond sur le mur de M2 ou de la fin du problème (plus aucun choc entre M1 et M2).
En effet, voyons les cas :

• Si V1<0 (M1 s'éloigne du mur), suite au choc V'1<0 (M2 pousse M1) et V'2 peut être positive ou négative :
  - V'2 > 0 (M2 se rapproche du mur) => rebond contre le mur
  - V'2 <= 0 (M2 s'éloigne du mur) => fin du problème

• Si V1>0 (M1 s'approche du mur), suite au choc :
  - V'1 > 0, alors V'2 > V'1 car M1 ne peut dépasser M2.
  - V'1 <= 0, alors soit V'2 <= 0 mais M1 va plus vite que M2 (M2 ne peut pas dépasser M1) => fin du problème, soit V'2 > 0 => M1 s'éloigne du mur, M2 s'en rapproche => rebond contre le mur

Lorsque M2 rebondit contre le mur, on a V'2 = - V2

Donc, en admettant que tout choc entre M1 et M2 se suit d'un rebond, on peut grouper les événements Choc et Rebond dans la suite des vitesses, et noter et les vitesses de M1 et M2 après le n-ième événement choc+rebond :


Ou encore :


Je n'ai pas le temps de finir mais il me semble maintenant qu'il "suffit" de diagonaliser la matrice (quand c'est possible).
On détermine ainsi que V1 et V2 sont des combinaisons linéaires de suites géométriques.
On pourra ensuite solutionner le cas "il existe N>0 tel que V2(N) = 0"

J'ai modélisé ça (sous Excel) et ça me calcule la vitesse finale de la boule M2 en fonction de K.
Pour info, les valeurs de K pour lesquelles j'ai trouvé que M2 est immobile à l'issue de la simulation :
3
5,828427124
9,472135959
13,92820324
19,19566936
25,27414238
32,16343746
39,86345818
48,37415012
57,69548054
67,82742908
78,7699823
90,52313095

[JPL]

Bien entendu on oublie que dans son trajet la bille va aussi descendre un peu à cause de Newton...

[CM63]

Bien entendu on oublie que dans son trajet la bille va aussi descendre un peu à cause de Newton...

Oui, cela fait partie des hypothèses.

[CM63]

Bravo NicoEnac pour cette démonstration . Comme avec Excel tu fais moins d'erreur que mois avec Sketchup, car ce sont des formules directes (pas d'intégration discrète), peux-tu vérifier le résultat de 3Blue1Brown : si alors le nombre de rebonds de la petite boule "écrit les n premières décimales de ", à moins qu'il ne s'agisse de n-1, et je ne sais pas si c'est le nombre total de choc ou uniquement ceux de la petite boule (regarder la vidéo).

[CM63]

Toit tu fé moins d'erreur que mois

[CM63]

Bonjour,

@NicoEnac, j'ai fait mes calculs, je trouve la même chose que toi, donc on peut penser que nous ne nous sommes pas trompés. Ça a l'air de marcher pour K=1, je vais regarder pour K=3.

[invite6486d7bd]

Ça a l'air de marcher pour K=1, je vais regarder pour K=3.

Non, "ça ne peut pas marcher" pour k=1, étant données les hypothèses de départ (bien que ce résultat soit effectivemment trivial sans l'hypothèse k>1).

Soit K le rapport entre les deux masses :

[invite51d17075]

non , ça marche pour k=1 , la masse M1 s’arrête au premier choc , puis M2 poursuit sa route avec la vitesse initiale de M1 et revient avec la même vitesse et percute de nouveau M1 , s'arrête et envoie balader M1? tj à la même vitesse.

reste la question 2) initiale sur le nb de rebonds en fct de k car NicoEnac a bien résolu la première sur la simple base suggérée de l'application des deux lois, mais pas la deuxième question qui intéresse aussi CM63.

ps: dire tout cela est "trivial" est peu respectueux des personnes qui ont fait l'effort de résoudre cette petite énigme.
d'ailleurs, sauf s'il s'agit de l'application bête ( en une ou deux lignes ) d'un truc de cours, l'emploi du mot "trivial" peut souvent être considéré comme méprisant, et j'évite de l'utiliser.

[invite6486d7bd]

non , ça marche pour k=1 ,

Toi pas comprendre français ?

[invite51d17075]

effectivement , lu trop vite.
et le trivial s'appliquait je suppose au cas k=1 !!!
avec mes excuses.

[CM63]

Oui, j'avais écrit au départ , mais par la suite j'ai corrigé en incluant le cas k=1, qui est un cas "trivial", pas au sens "vulgaire" bien sûr, mais au sens des mathématiciens "trop facile", sens qui contient de l'humour, et, je dirais, l'humour efface le mépris .