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Chocs élastiques



  1. #1
    CM63

    Chocs élastiques


    ------

    Bonjour,

    Voici un petit problème : deux boules, une grosse et une petite, se déplacent sur une même ligne horizontale. Elle ne sont pas soumises à la pesanteur. A droite, se trouve un mur vertical. Les boules vont s'entre-choquer entre elles et contre le mur par des chocs parfaitement élastiques, sans perte d'énergie. Ainsi, par exemple, si une boule arrive sur le mur à une vitesse V, elle va rebondir et repartir dans l'autre sens à une vitesse -V.

    Rebonds.png

    La grosse boule (rouge) se déplace à une vitesse V constante vers le mur, alors que la petite boule (jaune) est immobile. Après quelques rebonds sur le mur, on va aboutir à la nouvelle situation stable : les deux boules se déplacent vers la gauche, la boule rouge plus vite que la jaune, cette dernière pouvant éventuellement avoir retrouvé une vitesse nulle. S'il subsistait une vitesse vers la droite à la boule jaune, elle irait rebondir sur le mur, repartirait dans l'autre sens et on serait dans cette situation stable.

    Soit K le rapport entre les deux masses :

    Question

    Quelles sont les valeurs de K pour lesquelles on a « réflexion parfaite », c'est-à-dire :
    • la petite boule est à nouveau immobile,
    • la grosse boule repart vers la gauche avec la même vitesse (-)V qu'elle avait au départ ?

    Je vais ajouter un message, car les flèches et les noms des masses ne sont pas passées dans l'image.

    -----
    Dernière modification par CM63 ; 17/01/2019 à 16h01.

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  3. #2
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Voici la nouvelle image:



    Ce petit problème m'a été suggéré cette vidéo de 3Blue1Brown. Lui s'intéresse au nombre de rebonds sur le mur.
    Images attachées Images attachées

  4. #3
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Bonjour,

    Je suis en train d'écrire les équations mais, entre temps, j'ai essayé de retrouver des valeurs de k par simulation numérique. Il y a bien sûr la valeur triviale k=1 (j'aurais du mettre une inégalité : k<=1) : si les deux masses sont égales, en percutant la boule jaune, la boule rouge reste immobile, puis la boule jaune rebondit sur le mur et recommunique sa vitesse à la boule rouge dans l'autre sens en s'immobilisant elle-même à nouveau. Dans ce cas, la boule jaune fait un seul rebond sur le mur.

    J'ai ensuite trouvé par simulation la valeur suivante de k: k=3, dans ce cas la boule jaune fait deux rebonds sur le mur. La valeur suivante, pour laquelle la boule jaune ferait 3 rebonds, n'est probablement pas entière, je trouve une valeur entre 30 et 31. A vérifier.

    Je continu la mise en équations. Merci de spoiler vos réponses.

  5. #4
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    J'ai ensuite trouvé par simulation la valeur suivante de k: k=3, dans ce cas la boule jaune fait deux rebonds sur le mur. La valeur suivante, pour laquelle la boule jaune ferait 3 rebonds, n'est probablement pas entière, je trouve une valeur entre 30 et 31. A vérifier.
    il serait intéressant que tu nous montres ta simulation.
    il me semble qu'un programme est nécessaire.
     Cliquez pour afficher
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    ...je comprend mal comment tu déduis un nb de rebonds sans ternir compte de la distance de M2 au mur !?
    Ce qui va dépendre de la distance au mur, c'est le temps mis par la boule jaune pour atteindre le mur, nullement le nombre de rebonds.

    En ce qui concerne mes simulations, c'est un peu compliqué de les poster ici, je les ai faites avec le logiciel de CAO Sketchup, complété de la plugin MSPhysics. Il faudrait enregistrer la vidéo, et je ne me souviens plus comment on fait. Je suis plutôt parti sur la mise en équations rigoureuse, effectivement en appliquant les principes de conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement, et cela n'a pas l'air très compliqué, seule la résolution des équations va l'être, d'autant plus avec les valeurs suivantes du nombre de chocs de M2 .
    Dernière modification par CM63 ; 18/01/2019 à 11h50.

  8. #6
    LeMulet

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Ce qui va dépendre de la distance au mur, c'est le temps mis par la boule jaune pour atteindre le mur, nullement le nombre de rebonds.
    Ce que j'en comprend (si je ne fais erreur) c'est que le mur est accessoire, il ne fait que délayer le moment où la petite masse revient sur la grande. On peut donc simplifier le problème en supposant que nous sommes arrivés à la situation finale demandée.
    La situation simplifiée est donc la suivante : M1 et M2 se rencontrent avec une vitesse v1 et v2, et aboutit à cet instant à v2 prime=0 et v1 prime=V.
    .
    Bonjour, et Merci.

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  10. #7
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Chocs élastiques

    tu as raison pour la distance. ( suis allé trop vite )
    ensuite:
     Cliquez pour afficher
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  11. #8
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Tout-à-fait, une procédure dédiée est relativement simple à écrire. Je me suis simplement amusé avec Sketchup, c'était marrant de voir les rebonds intempestifs de la petite boule, dans le cas où le rapport de masses est élevé. 3Blue1brown, dans sa vidéo, reproduit même le bruit émis par de tels rebonds, un sifflement à fréquence croissante, puis à nouveau décroissante. Avec Sketchup, j'ai rapidement un problème de pénétration de matière du à l'erreur de discrétisation.
    Bon, je retourne à mes équations.

  12. #9
    NicoEnac

    Re : Chocs élastiques

    Bonjour,

    J'adore ce problème.
     Cliquez pour afficher
    Dernière modification par NicoEnac ; 18/01/2019 à 17h45.
    "Quand les gens sont de mon avis, il me semble que je dois avoir tort."O.Wilde

  13. #10
    JPL
    Responsable des forums

    Re : Chocs élastiques

    Bien entendu on oublie que dans son trajet la bille va aussi descendre un peu à cause de Newton...
    Rien ne sert de penser, il faut réfléchir avant - Pierre Dac

  14. #11
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par JPL Voir le message
    Bien entendu on oublie que dans son trajet la bille va aussi descendre un peu à cause de Newton...
    Oui, cela fait partie des hypothèses.

  15. #12
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Bravo NicoEnac pour cette démonstration . Comme avec Excel tu fais moins d'erreur que mois avec Sketchup, car ce sont des formules directes (pas d'intégration discrète), peux-tu vérifier le résultat de 3Blue1Brown : si alors le nombre de rebonds de la petite boule "écrit les n premières décimales de ", à moins qu'il ne s'agisse de n-1, et je ne sais pas si c'est le nombre total de choc ou uniquement ceux de la petite boule (regarder la vidéo).

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  17. #13
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Toit tu fé moins d'erreur que mois

  18. #14
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Bonjour,

    @NicoEnac, j'ai fait mes calculs, je trouve la même chose que toi, donc on peut penser que nous ne nous sommes pas trompés. Ça a l'air de marcher pour K=1, je vais regarder pour K=3.

  19. #15
    LeMulet

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par CM63 Voir le message
    Ça a l'air de marcher pour K=1, je vais regarder pour K=3.
    Non, "ça ne peut pas marcher" pour k=1, étant données les hypothèses de départ (bien que ce résultat soit effectivemment trivial sans l'hypothèse k>1).
    Citation Envoyé par CM63
    Soit K le rapport entre les deux masses :
    Bonjour, et Merci.

  20. #16
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Chocs élastiques

    non , ça marche pour k=1 , la masse M1 s’arrête au premier choc , puis M2 poursuit sa route avec la vitesse initiale de M1 et revient avec la même vitesse et percute de nouveau M1 , s'arrête et envoie balader M1? tj à la même vitesse.

    reste la question 2) initiale sur le nb de rebonds en fct de k car NicoEnac a bien résolu la première sur la simple base suggérée de l'application des deux lois, mais pas la deuxième question qui intéresse aussi CM63.

    ps: dire tout cela est "trivial" est peu respectueux des personnes qui ont fait l'effort de résoudre cette petite énigme.
    d'ailleurs, sauf s'il s'agit de l'application bête ( en une ou deux lignes ) d'un truc de cours, l'emploi du mot "trivial" peut souvent être considéré comme méprisant, et j'évite de l'utiliser.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  21. #17
    LeMulet

    Re : Chocs élastiques

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    non , ça marche pour k=1 ,
    Toi pas comprendre français ?
    Bonjour, et Merci.

  22. #18
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : Chocs élastiques

    effectivement , lu trop vite.
    et le trivial s'appliquait je suppose au cas k=1 !!!
    avec mes excuses.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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  24. #19
    CM63

    Re : Chocs élastiques

    Oui, j'avais écrit au départ , mais par la suite j'ai corrigé en incluant le cas k=1, qui est un cas "trivial", pas au sens "vulgaire" bien sûr, mais au sens des mathématiciens "trop facile", sens qui contient de l'humour, et, je dirais, l'humour efface le mépris .

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