Densité des univers

[Médiat]

Bonjour,

Suite à https://forums.futura-sciences.com/d...e-univers.html, il m'est venu une question trop simple pour être publié en "mathématique" et à la solution ne demandant pas de connaissance mathématique particulière : montrer que l'ensemble des nombres univers (disons en base 10, mais cela marche pour toutes bases) est dense dans IR, c'est à dire que pour tout x et tout y tels que x < y, il existe un nombre univers u tel que x < u < y

Merci aux "connaisseurs" de répondre sous spoiler

Pardon pour le titre "racoleur"
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[invite51d17075]

bjr,
n'étant pas connaisseur, je me permets d'écrire en clair.
est il envisageable de partir de la densité de Q.
d'en déduire 2 rationnels x<q1<q2<y puis de "construire" un nb univers à partir des 2 ?
et désolé si l'approche est ridicule.
Cdt

[Olivzzz]

Bonjour,
Je ne sais pas si j'ai bien compris la donnée mais je l'ai comprise ainsi : Pour tout ensemble de 2 nombres réels x et y, aussi proches soient-ils l'un de l'autre, il existe au moins 1 nombre univers plus grand que x et plus petit que y.
Ma proposition de démonstration :

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Admettons que Pi est un nombre univers. À ce moment-là, il suffit de remonter les décimales de x et y jusqu'au moment ou elles divergent, d'y insérer 1 ou 2 décimales de telle manière à être plus grand que x et plus petit que y, et de substituer les décimales suivantes par celles de Pi.

J'ajouterais même que cela démonter qu'entre 2 nombres réels x < y il existe une infinité de nombres univers

[Olivzzz]

Je précise juste la fin de mon dernier post :

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une infinité de nombres univers par la permutation des décimales de Pi.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Olivzzz : c'est l'idée (à 95%) mais il manque quelques détails (et inutile de prendre pi, puisqu'on ne sait pas, mais n'importe quel nombre univers (Constante de Champernowne par exemple)).

Attention toutes les permutations des décimales d'un nombre univers ne donnent pas un nombre univers (il y a des dizaines d'autres techniques qui conviennent)

[CM63]

Bonjour,

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Soit 0,aaa un nombre univers, aaa étant la suite (infinie) de ses décimales. Soit bbb une suite finie de chiffres. Le nombre formé par 0,bbbaaa est encore un nombre univers. CQFD non? Pour qu'on ait x < 0.bbbaaa < y il suffit de prendre bbb suffisamment long.
J'ai pris un nombre compris entre 0 et 1 mais on peut aisément généraliser.

[Médiat]

CM63 : même idée que Olivzzz, donc même réponse

[Olivzzz]

Arf oui vous avez raison pour Pi et les permutations ! Il est sympa le nombre de Champernowne, je le connaissais pas

[Deedee81]

Salut,

Il a même beaucoup plus (dans un sens précis) de nombre univers que d'autres nombres. Un nombre tiré au hasard (là aussi dans un sens précis) a une probabilité 1 d'être un nombre univers !!!!
Je ne sais pas comment on le démontre.
Mais il est assez extraordinaire dans une telle situation qu'il soit difficile de démontrer que tel ou tel nombre soit un nombre univers !!!!

[pm42]

Mais il est assez extraordinaire dans une telle situation qu'il soit difficile de démontrer que tel ou tel nombre soit un nombre univers !!!!

Dans le même genre, un nombre tiré au hasard est probablement inexprimable en un temps fini.
Tu as des réels qui existent et dont on ne peut connaitre aucun nombre.

Et une de mes favorites racontée par un prof : si tu prends une partie de N et que je veux une méthode pour choisir un élément, c'est facile. On prend le plus petit.
Idem pour Z et Q en les numérotant.

Maintenant, trouve moi une méthode qui quelque soit la partie de R que je décris va permettre d'en choisir 1 élément.

P.S : si je dis des conneries, Mediat me corrigera... Cela remonte à quelque temps pour moi.

[invite046e427d]

Bonjour,

Maintenant, trouve moi une méthode qui quelque soit la partie de R que je décris va permettre d'en choisir 1 élément.

C'est peut-être impossible du fait que quelque soit la partie de R on est confronté à une question d'infinie...

[Deedee81]

Salut,

C'est peut-être impossible du fait que quelque soit la partie de R on est confronté à une question d'infinie...

Ce n'est pas là raison car :
- il existe des parties finies de R
- il existe des parties infinies de N, et là, la difficulté ne se pose jamais

La difficulté est liée au caractère non dénombrable de R. Par exemple, si je définit "'choix = le plus petit élément de X" (X partie de R).
Alors j'ai un soucis car il y a des parties X de R sans plus petit élément !!!!
On pourrait dire : définissons un "bon ordre" de R (c'est un ordre tel que, selon cet ordre, pour toute partie il existe un plus petit élément).
Problème : on ne peut pas décrire cet ordre sans l'axiome du choix qui est justement "choisir un élément dans une partie" (sans préciser comment).
Donc, on se mord la queue.
La question de pm42 est sacrément sympa car la réponse est effectivement impossible mais le démontrer fait appel à des trucs pointus.

[Deedee81]

Autre truc "bizarre".

Supposons que je veuille définir une mesure additive sur l'ensemble E, tel que mu(X) sont un réel positif ou nul et X une partie de l'ensemble, avec les propriétés suivantes :
mu(vide) = 0
mu(E) = 1
mu(X) = mu(X1) + mu(X2) si X1 et X2 sont disjoints
il existe une valeur mu(X) pour toute partie X.

Alors on peut définir une telle mesure sur R, sur R² ..... mais pas sur R³ !!!!
(cela conduit d'ailleurs au fameux paradoxe de Banach-Tarski)
La question est : pouvez-vous en termes simples expliquer pourquoi sur R³ ça ne peut pas marcher ?
(moi je ne saurais pas mais si quelqu'un a une explication simple je suis preneur )

[Médiat]

Bonjour,

Je réponds rapidement à trois points : le problème avec IR n'est pas lié à sa "non dénombrabilité" mais au fait qu'il n'existe pas de bon ordre sur IR qui soit exprimable sans AC

Un exemple de famille de sous ensembles de IR pour lesquels on ne peut (sans AC) donner un moyen de choisir un élément : les classes de la relation xRy ssi x-y est rationnel.

Toute phrase commençant par "si on tire un réel au hasard" ou équivalente, est condamnée, à moins qu'on ne m'explique comment on fait

[Deedee81]

Je réponds rapidement à trois points : le problème avec IR n'est pas lié à sa "non dénombrabilité" mais au fait qu'il n'existe pas de bon ordre sur IR qui soit exprimable sans AC

Les deux ne sont pas liés ? Je veux dire, sans AC, on peut construire un bon ordre sur des ensembles dénombrables. (sauf si je me trompe !)

Toute phrase commençant par "si on tire un réel au hasard" ou équivalente, est condamnée, à moins qu'on ne m'explique comment on fait

Moi j'utilise la fonction random
Sinon, tu as raison, dans plusieurs articles j'ai vu des notions de "au hasard" ou de "aléatoire" mais toujours avec une définition stricte (explicite ou implicite avec des références).
Comme dans un article qui présentait une équation diophantienne dont les solutions étaient "équivalentes à un tirage à pile ou face" (mais où là aussi il y avait un définition stricte)
Ca n'a rien de trivial.

[Médiat]

Salut

Dans la mesure ou un ensemble est dénombrable s'il existe une bijection entre lui et IN qui lui peut être muni d'un bon ordre, cela définit un bon ordre sur l'ensemble de départ et cela est dû à sa dénombrabilité je suis d'accord, mais dans l'autre sens cela ne marche pas : "non dénombrabilité" n'entraîne pas que l'on ne puisse pas définir un bon ordre ( par exemple)

[Deedee81]

Ah d'accord, j'aurais cru que ça marchait dans les deux sens. Merci pour ce contre-exemple.

[Olivzzz]

Salut,

Il a même beaucoup plus (dans un sens précis) de nombre univers que d'autres nombres. Un nombre tiré au hasard (là aussi dans un sens précis) a une probabilité 1 d'être un nombre univers !!!!
Je ne sais pas comment on le démontre.
(..)

J'ai une idée de démonstration pour ça, je ne sais pas ce que ça vaut et à mon avis c'est très incomplet . L'ensemble des nombres réels R est non-discret, un ensemble continu, un objet à 1 dimension et ininterrompu, on pourrait dire que R a un "poids" de 1. Or chaque nombre pris isolément est une entité discrète, un objet à 0 dimension. L'ensemble inférieur, les nombres rationnels Q, est donc une collection certes infinie mais d'entités discrètes à 0 dimensions, donc le "poids" de Q est 0. Si l'on choisit (au hasard) un point (à 0 dimensions) sur la ligne des R, on a zéro probabilités de tomber sur un nombre rationnel puisque leur dimension est 0, au même titre qu'on a zéro probabilités de tomber sur un nombre réel en particulier.

Par contre je ne sais pas trop comment démontrer qu'un nombre univers en est un. La seule piste que je vois est que, par défaut, les nombres réels n'ont aucune propriété, et que, par exemple, un nombre réel qui ne contiendrait pas la suite "9999" dans ses décimales possède précisément cette propriété-là. On peut donc imaginer un sous-ensemble de R (par exemple R-) qui contiendrait tous les R qui ont une propriété, quelle qu'elle soit.... et on se retrouve à nouveau avec une collection infinie mais d'entités discrètes à 0 dimensions, donc une collection de "poids" 0.

[Olivzzz]

Après réflexion sur comment démontrer qu'un nombre réel pris au hasard est un nombre univers, il me vient l'idée suivante, par analogie à mon précédent post.

Le nombre de décimales de la totalité des réels est inifinie (1 est en réalité 1,00000...). Or toute suite finie de nombres entiers est par définition...finie. On peut donc dire que l'ensemble des décimales est de dimensions 1, et toute suite d'entiers est de dimensions 0. Ce n'est pas tout à fait vrai mais le résultat est le même. L'ensemble des décimales continent donc un nombre infini de suites d'entiers de même longueur que celle qu'on y cherche. Jusque là ça me parait simple.

Ensuite, il n'y a plus qu'à appliquer la loi des probabilités. Soit n la longueur de la suite finie d'entiers que je cherche. Dans cette infinité de suites finies d'entiers, la probabilité d'y trouver celle que je cherche est de infini / n = 1. Sauf si cette infinité de décimales a une propriété particulière (que des zéros, ou jamais telle suite finie d'entiers).

J'en reviens donc à mon ensemble "R-" des nombres réels ayant une propriété particulière, quelle qu'elle soit. Si on considère l'ensemble R comme une droite infinie et qu'on la dessine ainsi, on se rend bien compte que elle est pareille en tout point et qu'aucune propriété particulière n'apparait nulle part. Pour qu'un point acquière une propriété, il faut un référentiel. Le nombre 1 (1.000...) n'a de propriété particulière sur la droite des R que si l'on définit arbitrairement un zéro et un 2 : il sera le point médian. Mais en lui-même, rien ne distingue 1.000... de n'importe quel nombre univers. L'ensemble "R-" est donc un ensemble purement artificiel de nombres à qui l'on a donné une propriété particulière, les privant ainsi du statut par défaut de nombre univers.

Voila.... peut-être et probablement que j'enfonce des portes ouvertes mais pour moi la chose est plus claire qu'elle ne l'était il y a 2 heures.

[Médiat]

Bonsoir

je précise les détails qui me manquaient dans les réponses de Olivzzz et CM63 :

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Soit x < y, dont on considère le développement décimal propre, on recherche dans les décimales de x, le premier chiffre qui diffère de la décimale correspondante de y (qui existe puisque x < y), puis on cherche le premier chiffre (suivant) de x qui soit différent de 9 (qui existe puisque l'on considère le développement propre), on ajoute 1 à ce chiffre (on obtient donc un nombre > x et < y) et on remplace toutes les décimales suivantes par celles d'un nombre univers quelconque ; on obtient donc un nombre > x et < y et, bien sûr, univers.

[Merlin95]

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... on recherche dans les décimales de x, le premier chiffre qui diffère de la décimale correspondante de y (qui existe puisque x < y)...

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Cette décimale de x est d'ailleurs supérieure à la décimale correspondante de y.

[Merlin95]

correction :

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Cette décimale de x est d'ailleurs inférieure à la décimale correspondante de y.