Fontaine à eau

[Juzo]

Bonsoir !

Dans une cafeteria 11 personnes souhaitent remplir leurs carafes d'eau à une fontaine à eau, comme celle de la photo ci-dessous.
La fontaine est munie de deux robinets avec un bouton marche/arrêt. Lorsqu'un seul robinet est utilisé 100% du débit de la fontaine s'écoule sur ce robinet, lorsque les deux robinets sont utilisés la répartition du débit est inégal : 25% sur le robinet de gauche et 75% sur le robinet de droite (si l'un des deux robinets est arrêté à ce moment-là l'autre robinet récupère à nouveau 100% du débit).

Le débit à 100% permet de remplir une carafe en 30 secondes. Lorsqu'une personne a fini de remplir sa carafe elle met le robinet en arrêt, il s'écoule minimum 5 secondes avant que la personne suivante le remette en marche.

La question est simple : quelle stratégie doivent suivre ces 11 personnes pour que les 11 brocs soient remplis le plus rapidement possible, et combien de temps cela va-t-il prendre ?

PS : au cas où l'on me pose la question il n'est pas possible de remplir une seule carafe en le plaçant sous les deux robinets. Sauf si ça apporte un intérêt, n'hésitez pas à le signaler.
J'avais envie de vous proposer ce problème mais n'ai pas (encore) la réponse, je pourrai vous être utile seulement si il y a des imprécisions dans l'énoncé.

Bonne soirée

Fontaine à eau.jpg
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[Liet Kynes]

Bonjour,

 Cliquez pour afficher

Le premier rempli sa cruche et au moment ou il relâche le bouton du robinet A le second place sa cruche sous le robinet B et appui sur le bouton.. débit à 100 % en permanence 330 secondes et revient au même temps que si les deux cruches sont placées dés le départ sous les 2 robinets avec les transferts de débit d'un robinet sur l'autre.

[roro222]

Salut

 Cliquez pour afficher

Pour moi, peu importe la stratégie, pouvue qu'une nouvelle carafe soit prête aprés les 5 segondes de pause

[Juzo]

Bonjour,

Liet Kynes a raison, mais ça m'a fait réaliser que je n'ai pas pensé correctement mon problème. Bien joué, donc.
roro222 votre proposition n'est pas la plus optimale.

Je me permets de reformuler le problème même si ce n'est pas très élégant.

Version 2 : Le robinet de gauche a simplement un débit deux fois plus faible que celui de droite, quand les deux robinets fonctionnent, le débit de la fontaine n'est pas partagé entre les deux. Le robinet de droite permet de remplir une carafe en 30 secondes, le robinet de gauche permet de remplir une carafe en 60 secondes. Il est possible aussi de considérer 7 personnes au lieu de 11 personnes si vous le souhaitez.

Ça devrait donner lieu au type de raisonnement souhaité.

Je remets ci-dessous l'énoncé complet.


Dans une cafeteria 11 personnes souhaitent remplir leurs carafes d'eau à une fontaine à eau, comme celle de la photo ci-dessous.
La fontaine est munie de deux robinets avec un bouton marche/arrêt. Lorsqu'un seul robinet est utilisé 100% du débit de la fontaine s'écoule sur ce robinet, lorsque les deux robinets sont utilisés la répartition du débit est inégal : 25% sur le robinet de gauche et 75% sur le robinet de droite (si l'un des deux robinets est arrêté à ce moment-là l'autre robinet récupère à nouveau 100% du débit).

Le robinet de droite permet de remplir une carafe en 30 secondes, le robinet de gauche permet de remplir une carafe en 60 secondes. Lorsqu'une personne a fini de remplir sa carafe elle met le robinet en arrêt, il s'écoule minimum 5 secondes avant que la personne suivante le remette en marche.

Quelle stratégie doivent suivre ces 11 personnes pour que les 11 brocs soient remplis le plus rapidement possible, et combien de temps cela va-t-il prendre ?
Version plus light : même question pour 7 personnes.

Bonne journée

[A voir en vidéo sur Futura]

[Juzo]

Personne ? Alors je le propose sous forme de concours : 7 personnes, remplir les 7 carafes le plus vite possible.

Précision : il est possible de change de robinet pendant qu'on remplit la carafe, ça prend 0 seconde...

Allez un petit effort

[Liet Kynes]

Le truc c'est que la réécriture de l’énigme reprends la première version et que du coup c'est pas très évident de s'y retrouver.

Est-ce que cette ré écriture serait ok ?

Dans une cafeteria 11 personnes souhaitent remplir leurs carafes d'eau à une fontaine à eau, comme celle de la photo ci-dessous.
La fontaine est munie de deux robinets avec un bouton marche/arrêt.

Le robinet de gauche a un débit deux fois plus faible que celui de droite, quand les deux robinets fonctionnent, le débit de la fontaine n'est pas partagé entre les deux. Le robinet de droite permet de remplir une carafe en 30 secondes, le robinet de gauche permet de remplir une carafe en 60 secondes. Lorsqu'une personne a fini de remplir sa carafe elle met le robinet en arrêt, il s'écoule minimum 5 secondes avant que la personne suivante le remette en marche.

le débit de la fontaine n'est pas partagé entre les deux signifiant qu'il est constant quelque soit la combinaison: robinet de droite ouvert et gauche fermé, l'inverse et les deux ouverts en même temps.

[Juzo]

Bonsoir Liet Lunes,

le débit de la fontaine n'est pas partagé entre les deux signifiant qu'il est constant quelque soit la combinaison: robinet de droite ouvert et gauche fermé, l'inverse et les deux ouverts en même temps.

Je ne suis pas sûr d'avoir compris. Cela signifie que les débits des deux robinets sont indépendants, comme s'il y avait deux fontaines (excepté qu'en cours de remplissage on peut passer de l'une à l'autre en 0 seconde car elles sont à côté).

PS : je suis actuellement sur le téléphone et je ne vois pas les couleurs, mais le reste de la formulation me paraît ok. Néanmoins on peut se contenter de 7 personnes pour la recherche du temps le plus court.

[invite8da976cf]

Bonjour,

Cela signifie que les débits des deux robinets sont indépendants, comme s'il y avait deux fontaines (excepté qu'en cours de remplissage on peut passer de l'une à l'autre en 0 seconde car elles sont à côté).

Juzo, je suppose que c'est la nouvelle base que tu poses, afin que l'énoncé soit enfin clair.

Puisque ce sont deux fontaines séparées, sans transfert de débit, où peut-il y avoir stratégie, au delà de puiser quand ça veut couler dans chacune et finir le dernier broc sous celle qui a le débit le plus fort ? 7 ou 17 ou 1035 brocs, quelle est la différence alors? Pourquoi parler de stratégie quand il ne s'agit que de se servir naturellement ? C'est quoi le jeu dans cette condition ?

[Juzo]

Bonjour,

7 ou 11 ou 1035 aucune différence, sauf que ça donne inutilement plus de calculs et beaucoup plus de chiffres après la virgule...

Mon énoncé manquait de clarté c'est clair... La stratégie vient du fait qu'il est possible de changer de robinet en 0 seconde si celui d'à côté est libre.

Je résume une dernière fois :
- 7 carafes à remplir
- deux robinets : un qui remplit la carafe en 60 secondes (gauche), un qui remplit la carafe en 30 secondes (droite)
- 5 secondes de pause entre une personne qui arrête de remplir sa carafe et une personne qui faisait la queue derrière pour remplir la sienne sur le même robinet
- 0 seconde pour passer d'un robinet à l'autre pendant un remplissage

Quel est le temps le plus court que l'on peut mettre pour remplir les 7 carafes ? Je devrais obtenir un résultat...

[invite8da976cf]

La stratégie vient du fait qu'il est possible de changer de robinet en 0 seconde si celui d'à côté est libre.

- 5 secondes de pause entre une personne qui arrête de remplir sa carafe et une personne qui faisait la queue derrière pour remplir la sienne sur le même robinet
- 0 seconde pour passer d'un robinet à l'autre pendant un remplissage

La stratégie vient du fait qu'il est possible de changer de robinet en 0 seconde si celui d'à côté est libre.

- 5 secondes de pause entre une personne qui arrête de remplir sa carafe et une personne qui faisait la queue derrière pour remplir la sienne sur le même robinet
- 0 seconde pour passer d'un robinet à l'autre pendant un remplissage

Quel est le temps le plus court que l'on peut mettre pour remplir les 7 carafes ? Je devrais obtenir un résultat...

Si les 5 secondes ne sont pas opposées à celui qui change de robinet, mais comme dans l'énoncé, seulement à celui qui fait la queue derrière, alors il est possible, sauf étourderie de ma part, de remplir les 7 pichets en 2 min 36 s.
Si les 5 secondes lui sont aussi opposées, ça ne change pas grand-chose bizarrement, c'est peut-être ça que tu voulais montrer ?, il faudra 2 min 40 s, toujours sauf à avoir joué l'étourderie.

[Juzo]

Si les 5 secondes ne sont pas opposées à celui qui change de robinet

Tu veux dire si la personne qui change de robinet n'a pas 5 secondes à attendre ? En effet c'est le cas.

Est-ce que tu pourrais donner la technique que tu as utilisée en spoilers ?

2 minutes et 36 secondes c'est une très bonne avancée mais il est possible de faire moins.

Je remets les bases du problème pour celles et ceux qui voudraient tenter.

- 7 carafes à remplir
- deux robinets : un qui remplit la carafe en 60 secondes (gauche), un qui remplit la carafe en 30 secondes (droite)
- 5 secondes de pause entre une personne qui arrête de remplir sa carafe et une personne qui faisait la queue derrière pour remplir la sienne sur le même robinet
- 0 seconde pour passer d'un robinet à l'autre pendant un remplissage

[invite970080bb]

Ça n'a pas l'air facile

[RomVi]

Tu veux dire si la personne qui change de robinet n'a pas 5 secondes à attendre ? En effet c'est le cas.

Bonjour

Ce n'est pas très clair, est ce que ça signifie qu'en changeant de robinet on réinitialise complètement la tempo, ou les 5 secondes continuent à s'appliquer pour le robinet qui vient d'être arrêté ?

[Resartus]

Bonjour,
Le temps minimum théorique de remplissage des 7 seaux est 20*7 * soit 140 mn, facile à obtenir en optimisant les transferts entre robinet
On a toujours 5 passages à un nouveau seau à effectuer (je suppose que les deux premiers seaux n'ont pas eu besoin de ces 5 mn).
En répartissant correctement temps de transfert et temps de remplissage, on aura donc 2,5*5=12,5 mn à rajouter
Total 152,5 mn (2 h 32 mn, 30 s) qui est le minimum incompressible
Il n'est pas trop difficile, puisque les changements de robinet pour un même seau ne coutent rien, d'obtenir ce minimum...


*1/20=1/60+1/30

[Juzo]

Bonjour,

Ça n'a pas l'air facile

J'ai pu calculer un temps théorique, mais la "construction" d'une solution détaillée me semble difficile.

Ce n'est pas très clair, est ce que ça signifie qu'en changeant de robinet on réinitialise complètement la tempo, ou les 5 secondes continuent à s'appliquer pour le robinet qui vient d'être arrêté ?

Si j'ai bien compris la question, lorsqu'un robinet est libéré par une personne changeant de robinet, oui il faut en effet 5 secondes à la personne suivante qui attendait pour utiliser le robinet libéré.

-> Supposons qu'une personne A utilise le robinet de gauche, une personne B utilise le robinet de droite. Si le robinet de gauche est libéré par la personne A la personne B peut changer de robinet en 0 seconde (pour utiliser le robinet de gauche). Une personne C qui attendait doit attendre quant à elle 5 secondes pour utiliser le robinet A qui se libère, ou le robinet B si celui-ci est libéré par la personne B qui a changé de robinet.

Le temps minimum théorique de remplissage des 7 seaux est 20*7 * soit 140 mn, facile à obtenir en optimisant les transferts entre robinet
On a toujours 5 passages à un nouveau seau à effectuer (je suppose que les deux premiers seaux n'ont pas eu besoin de ces 5 mn).
En répartissant correctement temps de transfert et temps de remplissage, on aura donc 2,5*5=12,5 mn à rajouter
Total 152,5 mn (2 h 32 mn, 30 s) qui est le minimum incompressible
Il n'est pas trop difficile, puisque les changements de robinet pour un même seau ne coutent rien, d'obtenir ce minimum...


*1/20=1/60+1/30

Je précise que ce sont des carafes pas des seaux, et des secondes pas des minutes
Je vois d'où viendrait le 20 x 7, mais pas le 2,5 x 5, pouvez-vous préciser ?

Le temps n'est pas loin mais sauf erreur on peut faire mieux, je vais re-vérifier.

[Juzo]

Edit : vérification faite, il devrait effectivement être possible de mettre moins de 2 minutes.

[Resartus]

Bonjour,
Oui, je le suis un peu pris les pieds entre mn et secondes et carafes et seaux

Et en effet, ma réponse était fausse, car je n'avais pas pris en compte le fait que le remplissage est plus rapide d'un coté.
L'optimum se situe en mettant tous les transferts du coté lent (soit 25 s), Pendant ce temps on aura pu remplir 5/6 carafe au robinet rapide
cela laisse à remplir les 6+ 1/6 carafe à 20mn par carafe, soit 123,33 s
Donc total final 148,33 s
C'est mon dernier mot jean pierre...

[Juzo]

Donc total final 148,33 s
C'est mon dernier mot jean pierre...

Eh bien il devrait être possible de faire moins.

[Juzo]

vérification faite, il devrait effectivement être possible de mettre moins de 2 minutes

Désolé Resartus je me suis trompé, j'ai obtenu 2 minutes 30 ! Pas concentré tout à l'heure.

L'optimum se situe en mettant tous les transferts du coté lent (soit 25 s), Pendant ce temps on aura pu remplir 5/6 carafe au robinet rapide
cela laisse à remplir les 6+ 1/6 carafe à 20mn par carafe, soit 123,33 s
Donc total final 148,33 s
C'est mon dernier mot jean pierre...

Par contre votre raisonnement ne va pas, parce que si on fait 5 transferts de carafes, ça signifie que la dernière carafe se remplira toute seule sur le robinet de droite et le robinet de gauche ne fonctionnera pas pendant ce temps...

[Resartus]

Bonsoir

Par contre votre raisonnement ne va pas, parce que si on fait 5 transferts de carafes, ça signifie que la dernière carafe se remplira toute seule sur le robinet de droite et le robinet de gauche ne fonctionnera pas pendant ce temps...

Ce n'est pas un problème si on peut (ce qui ne semble pas interdit dans vos règles), permuter les deux carafes à un instant précis pour optimiser leur remplissage
La séquence :
Tps Rap Lent
0 A B
30 B t
35 B C
45 C t
50 C D
70 D t
75 D E
90 E t
95 E F
112,5 F t
117,5 F G
119,17 G F permutation
148,33 fin fin

[Juzo]

permuter les deux carafes à un instant précis pour optimiser leur remplissage

Ah oui bien sûr, pas bête ! La permutation arrange bien des choses en effet...

On retrouve le temps de 2 min 28,333 s en posant les équations :
x le temps de remplissage en minutes avec le robinet lent, y le temps de remplissage en min avec le robinet rapide, y correspond aussi au temps total :

On a : x + 2y = 7
et y = x + 25/60 -> x = 37/18 min = 2 min 3,333 s et y = 2 min 28,333 s

Mais n'ayant pas pensé à permuter les carafes j'avais une pause en plus ce qui me faisait perdre... 1,666 s. Bravo.

[invite8da976cf]

Bonsoir,

Joli, Resartus.

J'avais pris le truc de travers, pensant que la permutation n'était pas permise à cause de ceci, que j'ai mal interprété :

La stratégie vient du fait qu'il est possible de changer de robinet en 0 seconde si celui d'à côté est libre.

Le problème que tu nous a proposé est vraiment amusant, Juzo, mais du coup, avec la permutation, je ne comprend pas ceci :

Mais n'ayant pas pensé à permuter les carafes j'avais une pause en plus ce qui me faisait perdre... 1,666 s.

Sans faire de permutation, ce n'est plus 5 pauses de 5 secondes sur le petit robinet dont il s'agit, ok, mais pas de 6 pauses de 5 secondes sur celui-ci non-plus, c'est pourquoi je ne comprends pas cette différence de 1,666 s.
Il s'agit plutôt de 5 pauses intermédiaires de ce type, + une pause finale sur ce petit robinet plus longue, qui va courir jusqu'au remplissage total de la 7ème carafe, la 6ème remplie, et écartée comme les autres, lui ayant cédé la place sur le gros robinet. Autre raison pour laquelle il ne peut y avoir 6 pauses intermédiaires, c'est qu'alors, seulement 6 carafes sont allées sous le petit robinet (la première ayant effectué son remplissage en entier sous le gros).

Le problème a été optimisé dans le cadre d'une permutation, de main de maître.
Acceptes-tu tout de même de le poursuivre dans le cadre où aucune permutation n'a lieu, une résolution graphique est évidemment simple, et arrive à ce temps que j'avais proposé de 2 min 36 s. (155,625 s et sauf erreur étourdie ) Ceci donne une simplicité totale quand au moment où le dernier changement de robinet a lieu, puisque c'est à remplissage complet de la précédente carafe. Mais par contre, pour calculer par les maths le temps total, c'est une autre paire de manche, je rame grave dessus...
Merci. Cordialement.

[Juzo]

Sans faire de permutation, ce n'est plus 5 pauses de 5 secondes sur le petit robinet dont il s'agit, ok, mais pas de 6 pauses de 5 secondes sur celui-ci non-plus, c'est pourquoi je ne comprends pas cette différence de 1,666 s.

Si l'on ne fait pas de permutation, alors il faut une 6ème pause sur le robinet lent, pour mettre une carafe partiellement remplie sous le robinet lent pendant que la 7ème carafe se remplit sous le robinet rapide.

Le système d'équations devient :
x + 2y = 7
et y = x + 30/60= x + 1/2

on a donc : x + 2(x + 1/2) = 7 -> 3x = 6 -> x = 2 min.

Le temps total y est alors : x + 30 s = 2 min et 30 s, soit 1,666... s de plus que le temps de Resartus.

Est-ce que cette solution te convient ? En laissant le robinet lent en attente pendant le remplissage de la dernière carafe, ça ferait un temps total de 2 min et 35,625 s sauf erreur. (j'ai modélisé la situation en calculant les temps des différentes étapes).


Une généralisation amusante pourrait être de considérer n robinets, le i-ème robinet met i minutes à remplir une carafe, et de se demander quel serait le temps optimal de remplissage pour m carafes, avec m > n dans un premier temps ?

[invite8da976cf]

Si l'on ne fait pas de permutation, alors il faut une 6ème pause sur le robinet lent

pour mettre une carafe partiellement remplie sous le robinet lent pendant que la 7ème carafe se remplit sous le robinet rapide.

Elle sort d'où, cette huitième carafe ? et cette huitième personne ? En effet, selon le timing donné par Resartus, et sur lequel nous sommes tous exactement d'accord pour les cinq premières carafes, celles-ci sont complètement remplies. Sans permutation entre la 6ème et la 7ème, la sixième finit également son remplissage sur le gros robinet (comme les cinq précédentes), sinon où, alors ? Si elle allait sous le petit robinet, ce serait une permutation, puisque quoi qu'il arrive, la 7 ème finit sous le gros...

Et il n'y a pas huit carafes, ni huit personnes, d'après ton énoncé :

7 personnes, remplir les 7 carafes le plus vite possible.

D'autant que tu parles d'une carafe partiellement remplie. Remplie où et quand, jusqu'à où ? Et comment fais-tu pour savoir à quel moment il faut arrêter de remplir, à la fin, sans tomber sur une carafe entièrement remplie? Dans ton modèle de solution, tu sembles finir sur deux carafes partiellement remplies (dont une avait déjà de l'eau...)Leur seule graduation est le plein.

En laissant le robinet lent en attente pendant le remplissage de la dernière carafe, ça ferait un temps total de 2 min et 35,625 s sauf erreur. (j'ai modélisé la situation en calculant les temps des différentes étapes).

Il y a peu de risque que tu aies fait une erreur ici, où alors nous faisons, par grand hasard, la même, c'était le temps que j'affichais aussi dans mes messages n° 10 et 22.

[Juzo]

Elle sort d'où, cette huitième carafe ? et cette huitième personne ?

Si la carafe partiellement remplie placée sous le robinet lent provient d'un changement de robinet, alors il s'agit d'une permutation. Si l'on veut éviter une permutation, en considérant qu'il est compliqué de permuter 2 carafes en 0 secondes, par exemple, alors il faut placer une carafe qui avait était partiellement remplie et mise en attente. La 6ème pause sert donc à replacer cette carafe sous le robinet lent, pas à placer une 8ème carafe.

Remplie où et quand, jusqu'à où ? Et comment fais-tu pour savoir à quel moment il faut arrêter de remplir, à la fin, sans tomber sur une carafe entièrement remplie?

Pour ça on considère que la 5ème carafe, au lieu d'être placée sous le robinet rapide pendant 21,25 secondes pour être remplie entièrement (cf. la solution de Resartus), est laissée pendant 21,25 - x secondes.
On répercute ce temps enlevé sur le temps de remplissage des carafes suivantes pour avoir le temps de remplissage de la dernière carafe en fonction de x, puis on résoud l'équation pour que 2x (le temps restant à remplir la carafe incomplète au robinet lent) soit égal au temps de la dernière carafe sous le robinet rapide.

[invite8da976cf]

Ok, en sortant du remplissage pour faire la queue derrière, c'est possible .
Je vais essayer de trouver quel valeur il faut alors donner à x, sans aide d'un support graphique, c'est loin d'être évident...Si Resartus ou toi veut bien le mettre sous spoiler, j'irai tricher.

[Liet Kynes]

Faites attention quand même car "tant va la cruche à l'eau..."

[invite8da976cf]

Faites attention quand même car "tant va la cruche à l'eau..."

Bonjour Liet Kynes. Je n'ai pas compris, j'espère qu'il n'y avait pas de mauvaises choses dans mes petits écrits... Que ce n'est pas l'expression d'un "ras-le-bol" mais juste une blague, envoyée gentiment dans le vent...

[Juzo]

Si Resartus ou toi veut bien le mettre sous spoiler, j'irai tricher.

Erratum : la 5ème carafe est laissée sous le robinet 22,5 - x secondes au lieu de 22,5 secondes, est l'équation posée correspond à 2x + 5 = temps de remplissage de la dernière carafe sous le robinet rapide.

Raisonnement et calculs en spoiler :

 Cliquez pour afficher

Dans la situation initiale où l'on laisse la dernière carafe se remplir sous le robinet rapide pendant que le robinet lent est à l'arrêt, les temps de remplissage sous le robinet rapide sont les suivants :
- 5 ème carafe : 22,5 s
- 6ème carafe : 21,25 s
- 7ème carafe : 21,875 s

Nouvelle version avec les deux robinets utilisés dans la dernière phase de remplissage :
La 5ème carafe est laissée 22,5 - x secondes sous le robinet rapide puis retirée et mise de côté.
La 6ème carafe devra donc être laissée 21,25 + x/2 s. (x/2 correspond au temps x qu'elle n'a pas passé sous le robinet lent et qui doit donc être rattrapé, le temps de remplissage de la 6ème carafe sous le robinet rapide est donc plus long de x/2 que dans la version initiale)
La 7ème carafe devra donc être laissée 21,875 - x/4 s (elle a bénéficié de x/2 s de plus sous le robinet lent, ce qui réduit le temps restant sous le robinet rapide de x/4 s)

Or la dernière phase de remplissage doit durer précisément 5 (-> pause) + 2x s pour que la 5ème carafe finissent de se remplir pendant ce temps-là.

On a donc l'équation : 2x + 5 = 21,875 - x/4.
Soit x = 7,5 s

On donc le déroulement précis des différentes phases à partir de la situation initiale :

..0 B A
30 t B
35 C B
45 t C
50 D C
70 t D
75 E D
90 t E
95 F E
105 t F -> E est mise de côté
110 G F
130 t G
135 E G
150 fin fin

On remarque que E finit bien de se remplir en 15 secondes sous le robinet lent, ce qui est normal car on l'avait retirée du robinet rapide 7,5 s avant la fin du remplissage.
Cette fois-ci tous les temps sont des multiples de 5.

[invite8da976cf]

Superbe. Clair et intelligible pour les branquignoles même en math débutante de mon espèce. Et la cerise en dernière ligne vend le gâteau...

A l'affût de l'étape suivante qui mènera à la solution seulement par les équations, sans graphisme donnant la valeur préalable de E dans la version initiale.

Ca donne envie d'essayer, même sans illusion de mon côté, je tricherai alors sûrement de nouveau par dépit le moment venu.
et merci.