Énigme Ulysse et la chance

[Juzo]

Je suis allé vite je me suis peut-être trompé.

On aurait donc :


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[Juzo]

Ce qui donnerait :



et


Ce qui est tout à fait raisonnable.

Edit : je remets la formule de mon message précédent sans l'erreur de latex

[Liet Kynes]

Ben oui 721,11 km (je sais pas pourquoi j'ai divisé cela par 2).
Si on converti on aura donc une solution (île visible) pour tout les couples compris entre 521 piles et 479 faces: reste à calculer la somme de probabilité de ces 22 couples comparée à l'ensemble de ceux qui reste parmi les 1000 couples possibles.

[invite8da976cf]

Bonjour,

tous les couples compris entre 521 piles et 479 faces

Je ne comprends pas ce que cela veut dire. Il n'y a rien compris entre les pile et les face, sauf la tranche de la pièce, qui ne perdure pas. 521 pile est lié à 479 face par le lancement de 1000 pièces. Mais s'il y a des couples entre d'autres, il faut définir les couples limites, soit deux, et ici, tu parles de couples entre un couple.

Voulais-tu dire les couples entre 521 pile (donc 479 face) et 500 de chaque, pour que ça fasse les 22 couples que tu annonces? Mais alors, il faut aussi tenir compte des cas où il y a moins de pile que de face, et alors le total des possibilités intermédiaires ne fait pas 22, mais plus, et pas non-plus le double, si l'avancée correspondant aux pile n'est pas égale à l'avancée correspondant aux face. Non ? J'ai encore compris que dalle...à la remorque quoi...

[Liet Kynes]

Oui j'ai lu un peu vite hier, j'ai compris que Juzo avait calculé une proportion entre les piles et les faces valide pour atteindre le point de visibilité de l'île.. je vais regardé cela de près car en fait les calculs sont intéressants et beaucoup plus compliqués qu'il n'y parait..

[Liet Kynes]

Bonjour un petit schémas rapide:

Capture u.JPG

La ligne rouge est l'ensemble des points de coordonnés reliés entre eux, Le nez du smiley serait à 600/400 soit 500 piles et 500 faces (le Pif est le centre de l'île de la chance ).

Le cercle est la limite pour laquelle l'île est visible. J'obtiens 41.6 donc 41 points inclus dans le segment qui traverse le cercle, pour le coup le calcul est simple à faire.
Donc 41/1000 points de coordonnés différents. La chance d'Ulysse de trouver l'île est donc la somme des probabilités des points de ce segment.
Si l'on considère que chaque point de coordonnée est équiprobable cela fait 41.6/1000 environs 4.1% .

[Liet Kynes]

J'ai calculé comme cela:

1/ entre deux points de coordonnées par exemple 600,400 correspond à 500 piles/500 faces et 598,8/400,8 à 499 piles/501 faces la distance est de soit donc (30/1,442)*2=le nombre de points atteignables pour que l'île soit visible

[Liet Kynes]

La suite et le moment ou cela se corse: (la corse c'est une île et y habiter c'est une chance )

L'idée de dire que les points de coordonnée atteignables en 1000 mouvements sont équiprobables est vite écartée car si il n'y a qu'une façon de tirer 1000 piles ou 1000 faces, tirer 1 face et 999 piles c'est déjà 1000^2 chemins différents permettant d'atteindre le point de coordonnée (999*1.2)-(1*0.8).
Donc la première étape consiste à dénombrer l'ensemble des chemins possible pour atteindre la ligne rouge en 1000 tirages.. Mais l’énoncé nous donne un autre paramètre : si Ulysse voit l'île alors il navigue vers elle = il ne fait plus de tirage.
En ce cas il faut inclure l'ensemble des chemins possibles pour atteindre les points (intersections) situés à l'intérieur du périmètre Côté B sur le dessin ci dessous (voir aussi le second dessin qui donne une idée plus précise avec les points à atteindre en forme d'étoile)

u.jpg

u2.jpg

Bref le problème donné au départ ainsi n'est peut-être pas très simple :

Bonjour,
Je vous propose une énigme de niveau facile

[Liet Kynes]

Je remet le schémas du détail des points d'entrée dans la zone de visibilité de l'île,l'autre est fait trop vite et il y a une subtilité supplémentaire dans la détermination de ces points liée à la règle de navigation: Est-Nord ou Nord-Est :

Capture u2.JPG

[invite1a73c863]

Bonjour,

Si l'on considère que chaque point de coordonnée est équiprobable cela fait 41.6/1000 environs 4.1% .

Les points de coordonnées ne sont pas équiprobables.

[Liet Kynes]

Bonjour,



Les points de coordonnées ne sont pas équiprobables.

Oui c'est la dessus que repose toute l’énigme: quand j'écris "Si l'on considère que chaque point de coordonnée est équiprobable cela fait 41.6/1000 environs 4.1% ." c'est pour marquer la transition vers le calcul et sa méthode.. Je reprends en #56 en expliquant pourquoi il n'y a pas d'équiprobabilité.

Pour l'instant le nombre total de chemins possibles menant vers 1000 points que je trouve est de 2^1000.

[Liet Kynes]

Bonjour,

dommage que plus personne ne continu à tenter d'aider Ulysse dans sa stratégie de navigation..

J'ai continué un peu la réflexion pour comparer trois stratégies. J'ai réduis le nombre de tirages à 20 en gardant un déplacement pile 1.2 km vers l'ouest et face 0.8 km vers le nord. La réduction du nombre de tirage étant liée au fait que je ne sais pas trouver une formule pour réduit les résultats en proportions. J'ai choisi les abords de l'île à 2.4 km = île visible à 2.4 km

Du coup:

- première stratégie on ne se souci pas des abords de l'île: Ulysse joue à pile ou face 20 fois il va avoir 2^20=1048576 chemins possibles et son objectif sera atteint s'il tire dix piles ou dix faces ce qui donne 20!/10!^2= 184756 chemins pour atteindre l'île. Chances d'arriver sur l'île en jouant à pile ou face: (184756/1048576)*100= 17.61% --> plutôt risqué!

Seconde variante Ulysse doit jouer strictement 1000 fois mais gagne s'il est aux abords de l'île il est arrivé. J'obtiens alors (20!/10!^2)+2*(20!/(9!*11!)=520676 toujours pour un total de 2^20 chemins possibles en 20 tirages.. cela donne (520676/10485.76)*100=49.65% de chances de réussite.

Voilà la carte de navigation pour ces deux variantes:

ucalc 11.jpg

Pour la troisième solution il s'agit de dire que dés qu'Ulysse voit l'île c'est à dire qu'il se trouve à 2.4 km dans le cadran O-O,S/N-N,E il a atteint son but.
Là cela devient un peu plus compliqué et les calculs ne sont plus les mêmes..pour cette variante, je vous propose ma carte de navigation + le pourcentage de réussite + le conseil que j'adresse à Ulysse pour ne pas tomber sous des vents du hasard contraires à son cap:

La carte de navigation:

ucalc 22.jpg

Chances de réussites: (156037/538078)*100=28,99


Conseil: navigues de telle sorte que ta position rendent les coordonnées de l'île égales entre le nord et l'ouest puis seulement à ce moment commences à jouer, ne regardes pas l'horizon trop tôt.

Que pensez vous de ces conseils?

[Liet Kynes]

Petit édit je remplace les images des cartes (l'export sous forme d'image bug sous calc) :

Variante 1 et 2:

ucalc 111.JPG

Variante 3 :

ucalc 222.JPG

[Juzo]

Bonsoir, désolé de ne pas y être revenu plus tôt.

Il n'est pas nécessaire de faire tout cela. Le nombre de Piles suit une loi binomiale de paramètres (1000 ; 0,5). (1 000 le nombre de lancers ; 0,5 la probabilité de faire Pile).
Pour 1 000 lancers on avait calculé qu'il fallait à la louche entre 479 et 521 Piles pour qu'Ulysse arrive en vue de l'île.

Cette loi peut être approximée par la loi Normale centrée réduite en utilisant le théorème de Moivre-Laplace.
Théorème Moivre-Laplace.PNGThéorème Moivre-Laplace.PNG


Après avoir centré la variable en enlevant l'espérance 1000*0,5 = 500 et l'avoir réduite en divisant par l'écart-type on a notre nouvel encadrement.

La variable centrée réduite doit se trouver entre et .

En se référant aux tables de la loi normale centrée réduite on trouve qu'Ulysse a une probabilité de 0,9082 - 0,0918 = 0,8164 d'atteindre son objectif, soit 81,64% de chances. (sauf erreur)

[Liet Kynes]

Bonjour,

Reste le problème des abords de l'île car si l'on garde l'idée qu'à une distance de 30 km Ulysse voit l'île et navigue vers elle cela signifie qu'il arrête de faire des tirages.
Il y a alors une complexité géométrique supplémentaire qui est assez gratinée mais super interessante.
Pour la loi normale centrée réduite c'est l'outil que je cherchai.. j'ai trouvé un bon support ici avec le développement du jeu pile ou face en exemple: http://serge.mehl.free.fr/anx/loi_normale.html

[Liet Kynes]

J'ai regardé le calcul qui donne 81% de chances et je reste assez dubitatif. En faisant abstraction du paramètre "abords de l'île" et se concentrant juste sur la probabilité d'obtenir 50% de piles et donc autant de faces plus le nombre de tirage augmente plus cette probabilité diminue.
n tirages donne n combinaisons de k piles parmi n ou (n-k) faces parmi n.
Il s'agit de compter les chemins sur un quadrillage : https://www.youtube.com/watch?v=deX1GehWktI
Sur 20 tirages j'arrive à cette courbe pour la probabilité d'obtenir 50%piles/50% faces:
ucalc.jpg

Si je prends les "abords" et que ceux ci sont une distance fixe correspondant à l'encadrement pour n tirages de k=(n/2)-1 (en rouge dans le tableau) la courbe reste de probabilité d'atteindre l'objectif reste descendante ( de moins en moins de chances):
ucalc2.jpg

Du coups il faut que l'encadrement augmente aussi avec le nombre de tirages: Ulysse devrait avoir une vue qui s'améliore en proportion du nombre de tirages ce qui est incompatible avec le fait que plus Ulysse voyage plus il vieillit et plus sa vue devrait baisser.

[Juzo]

se concentrant juste sur la probabilité d'obtenir 50% de piles et donc autant de faces plus le nombre de tirage augmente plus cette probabilité diminue.

C'est une très grosse erreur mathématique. La loi des grands nombres indique que plus le nombre de tirage est grand, plus la répartition de Pile et de Face a de chances de se rapprocher de la répartition théorique (50/50).

En fait je crois que tu es en train de réinventer des maths qui existent déjà, mais en faisant des erreurs. 
Pour contester mon résultat il faut d'abord assimiler les théorèmes que j'utilise, puis s'en servir.

Lorsqu'on veut estimer la probabilité qu'une variable aléatoire suivant une loi binomiale (ici le nombre de Pile) se trouve entre telle et telle valeur, alors il faut approcher la loi binomiale par la loi normale centrée réduite* en utilisant le théorème de Moivre-Laplace, puis se reporter à la table de probabilités de la loi normale centrée réduite.

*Cette approximation ici est justifiée car la répartition de probabilité de la loi binomiale donne une cloche symétrique autour de la valeur de 500 Pile, on ramène cette courbe en la décalant et en la "compressant" à la loi normale centrée réduite, une cloche centrée autour de zéro.

[Liet Kynes]

Sur cette page les choses expliquées me semblent pourtant justes: http://serge.mehl.free.fr/anx/loi_normale.html

Lire à partir de "Loi binomiale et trompeuse intuition... : "

[Juzo]

Pas de contradiction dans ce passage, la probabilité d'obtenir exactement 50% de Pile est effectivement faible mais la probabilité d'en être proche est grande.

[Liet Kynes]

Oui en fait il faut nuancer pas mal de choses et c'est ce qui est sympa dans cette énigme.
Pour une distance fixée de l'île, plus le nombre de tirages est grand et plus l'encadrement permet d'avoir de chances de réussite.
Mais dans la relation plus l'île est éloignée = plus il faut de tirages, la valeur fixée au départ pour l'encadrement détermine un seuil pour lequel le nombre de tirages serra déterminant.
Ci dessous le tableau de variation obtenu avec les données du problème , il faut arrondir le nombre de points de l'encadrement à l'entier inférieur.
Je fais varier par un facteur de 10 la distance de l'île et par le même facteur de 10 le nombre de tirages: En bleu c'est le nombre de points formé par l'encadrement en fonction de la distance de l'île et du nombre de tirages utilisés. En rouge la proportion du nombre de points de l'encadrement par rapport au nombre de points total (qui est le nombre de tirages)


Pièce jointe 427605

[Liet Kynes]

Un petit ajout: concernant le nombre de points de l'encadrement, une difficulté apparait si celui ci est paire.
Concernant la stratégie d'Ulysse l’énoncé est imparfait sachant qu'il a la connaissance en permanence de sa position et de la position de l'île et que la règle est de laisser le hasard faire en grande partie, c'est à dire que l'influence du hasard est > à 50 % des bords tirés à pile ou face pendant le voyage: Ulysse laisse donc le hasard dicter son cap sur au plus 51% de la distance... cela devient assez compliqué à résoudre dans ces conditions: le choix de reprendre la main sur le hasard étant libre= 3 premiers coups vers le nord=>Ulysse décide de 3 coups à l'est = l'encadrement sera in fine réduit avec 51% des coups liés la pièce et 49% à Ulysse.