Exercice mathématique

[amineyasmine]

Bonjour
J’ai vu ça dans un reportage sur un labo des maths.

Prenez 2 cercles, le cercle A et le cercle B .

Tracer ce qu’on appelle les bitangentes.
Vous partez du centre du cercle A et vous tracez la droite qui est tangente au cercle B, vous voyez qu’il y une deuxième droite, vous la tracer.
Ces deux droites coupent la circonférence du cercle A en 2 points. Ces deux points donnent un segment Ai.
cercle A.jpg

Vous faites la même chose pour le cercle B et vous obtenez un autre segment Bi

Les deux segments Ai et Bi semblent, d’après les simulations informatiques, qu’ils sont parallèles et ont la même longueur
cercle simulation.jpg

La question du fil :
Je ne poste pas en maths supérieur car on ne cherchera pas démontrer le parallélisme des deux segments ni à l’égalité de leurs longueurs car l’ordinateur à fait ça et on suppose que c’est vrai.

La question est : quelle démarche utiliser pour trouver la longueur du segment Ai (bien sûr il est égal celui de Bi)

Uniquement la démarche et non le résultat
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[choom]

Bonjour. Exercice amusant, merci.
Démarche, par observation géométrique en traçant quelques cas :

1. formuler en langage courant les limites dans lesquelles le problème posé fait sens.
2. établir une liste la plus succincte possible de paramètres permettant de distinguer les cas de figure différents.
3. Formaliser les contraintes exprimées en 1. en formules mathématiques sur ces paramètres exprimés en 2.
4. Pour les cas désormais dans les limites formalisées en 3, établir les dépendances de la réponse aux paramètres exprimés en 2, et pour cela observer et nommer les éléments de géométrie intermédiaires tels que points, segments de droite, et angles directement et indirectement liés à ces paramètres. Formaliser les relations entre ces éléments, et possiblement leur relation avec la réponse.
5. Formuler une réponse, et la tester à l’aune des différents cas distincts identifiés.

Est-ce ce genre de démarche que vous attendez ?
Bien cordialement,
Choom.

[Gwinver]

Bonjour.

La question est : quelle démarche utiliser pour trouver la longueur du segment Ai (bien sûr il est égal celui de Bi)

La démarche dépend des paramètres connus listés dans les hypothèses.

[invite7a0a8d2e]

Uniquement la démarche et non le résultat

C'est presque trop facile...

 Cliquez pour afficher

On continue la série de l'ordinateur, on voit que lorsqu'on continue à avancer le petit cercle vers le grand, les deux segments finissent par coïncider, et ... coïncidence, ça fait le diamètre du petit cercle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Salut,

Uniquement la démarche et non le résultat

Je suis d'accord que c'est trop facile...

 Cliquez pour afficher

1. Faucher le mètre ruban de sa mère
2. Mesurer la longueur du segment
3. Remettre le mètre ruban à sa place, mine de rien

[invite7a0a8d2e]

Je suis d'accord que c'est trop facile...

 Cliquez pour afficher

1. Faucher le mètre ruban de sa mère
2. Mesurer la longueur du segment
3. Remettre le mètre ruban à sa place, mine de rien

J'ai pas osé.
Faut pas oser deux fois ()

[amineyasmine]

Bonjour. Exercice amusant, merci.
Démarche, par observation géométrique en traçant quelques cas :

1. formuler en langage courant les limites dans lesquelles le problème posé fait sens.
2. établir une liste la plus succincte possible de paramètres permettant de distinguer les cas de figure différents.
3. Formaliser les contraintes exprimées en 1. en formules mathématiques sur ces paramètres exprimés en 2.
4. Pour les cas désormais dans les limites formalisées en 3, établir les dépendances de la réponse aux paramètres exprimés en 2, et pour cela observer et nommer les éléments de géométrie intermédiaires tels que points, segments de droite, et angles directement et indirectement liés à ces paramètres. Formaliser les relations entre ces éléments, et possiblement leur relation avec la réponse.
5. Formuler une réponse, et la tester à l’aune des différents cas distincts identifiés.

Est-ce ce genre de démarche que vous attendez ?
Bien cordialement,
Choom.

bonjour
la démarche que tu propose est générale, elle n'est pas spécifique au problème posé.

la démarche doit correspondre au problème de la détermination du segment Ai

j'ai deux cercle de rayon différents RA et RB et séparés par une distance D.
les deux bitangentes partant du centre de A , coupent le cercle A en 2 points qui forment le segment Ai.

pour trouver la longueur du segment ma démarche est comme suit. :
je commence par (u0)
puis je fait (U1)
ensuite je ..

[amineyasmine]

Bonjour.



La démarche dépend des paramètres connus listés dans les hypothèses.

bonjour
il ne faut pas se placé comme dans un exercice en salle.
mais comme un mathématicien indépendant devant un problème simple.
les données sont issus des objets mathématique à manipuler,
il y a deux cercles donc RA et RB la distance qui les séparent donc D

[amineyasmine]

C'est presque trop facile...

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On continue la série de l'ordinateur, on voit que lorsqu'on continue à avancer le petit cercle vers le grand, les deux segments finissent par coïncider, et ... coïncidence, ça fait le diamètre du petit cercle.

bonjour

 Cliquez pour afficher

oui c'est une première remarque
quel est la distance entre le centre de A et ce lui de B quant les deux segment coïncidence ?

[amineyasmine]

Salut,



Je suis d'accord que c'est trop facile...

 Cliquez pour afficher

1. Faucher le mètre ruban de sa mère
2. Mesurer la longueur du segment
3. Remettre le mètre ruban à sa place, mine de rien

 Cliquez pour afficher

oui ca ce passe comme ca
mais il faudra d'abord tracer les cercles avec (je ne me rappelle pas quoi)
pour les bitangentes il suffit d'une règle et une bonne vision pour être vraiment à la tangente

le ruban fera l'affaire en ce moment mais uniquement pour les deux patates tracé à la main

tracer d'autres cercle et rebelote

[Deedee81]

Salut,

Pour aller plus loin, peut-être faudrait-il préciser quelle genre de démarche tu recherches/demandes et pourquoi ?

Sinon, je ne sais pas trop pourquoi, mais ça me rappelle les bonnes vieilles fausses démonstrations. Une géométrique (pour rester dans le sujet) très connue mais que je trouve formidable :
http://villemin.gerard.free.fr/GeomL...l/DemoFala.htm

La leçon à tirer de ça est "en mathématique, rigueur, précision et abstraction sont les trois jambes du mathématicien"

[amineyasmine]

Salut,

Pour aller plus loin, peut-être faudrait-il préciser quelle genre de démarche tu recherches/demandes et pourquoi ?

Sinon, je ne sais pas trop pourquoi, mais ça me rappelle les bonnes vieilles fausses démonstrations. Une géométrique (pour rester dans le sujet) très connue mais que je trouve formidable :
http://villemin.gerard.free.fr/GeomL...l/DemoFala.htm

La leçon à tirer de ça est "en mathématique, rigueur, précision et abstraction sont les trois jambes du mathématicien"

Bonjour
Parmi les démarches possibles Il y a une que je préfère.

La longueur du segment Ai est une fonction de RA, RB et D (les rayons des cercles et la distance entre les centre des cercles)

On écrit Ai = F(RA,RB,D)
En cherche à trouver cette fonction

Première observation que je constate et que l’orque D augment Ai diminué (pour D infini Ai = 0
La fonction F est donc un quotient ou le D est au dénominateur

Il y a d’autres observations qui limitent les possibilités de F jusqu’à la rendre visible

[Deedee81]

Heu, oui, mais ça ne répond pas vraiment à ma question.

[Verdurin]

Je me permet une remarque : un choix judicieux des notations est une aide au raisonnement.
Noter Ai et Bi les deux segments en cause me semble particulièrement maladroit.

[amineyasmine]

Bonjour
Parmi les démarches possibles Il y a une que je préfère.

La longueur du segment Ai est une fonction de RA, RB et D (les rayons des cercles et la distance entre les centre des cercles)

On écrit Ai = F(RA,RB,D)
En cherche à trouver cette fonction

Première observation que je constate et que l’orque D augment Ai diminué (pour D infini Ai = 0
La fonction F est donc un quotient ou le D est au dénominateur

Il y a d’autres observations qui limitent les possibilités de F jusqu’à la rendre visible

bonjour
je continu la démarche
le "D" est au dénominateur mais pas uniquement, j'ai vérifier avec geogebra (logiciel) et je trouve que Ai*D est une constante

geogebra.PNG

donc D est sans puissance ni racine c'est juste un "D" simple.

je reviens et je garde "D" constant et le RB aussi constant, si j'augment RA, je vois que le Ai augmente (le cercle grandit donc le segment Ai augmente) et je constate aussi que le rapport Ai/RA est une constante

donc le RA est au numérateur de la la formule et en plus il n'a ni puissance ni racine c'est juste un "RA" simple, et puisque le comprtement du RA est identique à celui de RB si je garde RA constant je conclus qu'au numérateur de la formule il ya la produit RA*RB

ma formule est donc Ai = k*RA*RB/D (k est une constante )

je trouve K à l'aide de quelque exemple en choisissant au hasard des RA; RB et D j'ai trouvé K = 1/2

conclusion Ai = 2*RA*RB/D