Le nenuphar et le lac

[Liet Kynes]

Un nénuphar en croissance constante recouvre la totalité d'un lac en 50 jours, le lac double de taille chaque jour: le nénuphar peut-il recouvrir la moitié du lac en 25 jours ?
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[f6exb]

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[Gwinver]

Bonsoir.

Le nénuphar est condamné à progresser aussi vite que le lac.
Si sa progression était plus rapide, il couvrirait plus que le lac à un moment donné.
Si sa progression était moins rapide, il ne pourrait jamais rattraper le lac.
Au jour 49, le nénuphar doit donc recouvrir la moitié de la surface du lac au jour 50.

[Archi3]

évidemment, les exponentielles sont des droites en échelle logarithmique, il suffit de tracer une droite de pente ln2 pour le lac et ensuite de tracer la droite qui part de S(25)/2 à 25 jours et arrive à S(50) à 50 jours pour le nénuphar. La solution analytique existe mais visuellement on se rend vite compte qu'il y en a une.

Essaie de demander à chatGPT si il la trouve

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bounoume]

le lac double de taille chaque jour:

cela permet d'affirmer que la croissance est exponentielle, et définit les paramètres ( S= S0 x 2^t soit raison=2 , exposant= 1 .et......t mesuré en jours )

par contre:

Un nénuphar en croissance constante recouvre la totalité d'un lac en 50 jours,

cet énoncé ne permet pas d'affirmer que la croissance est exponentielle...... et, si j'étais chatGPT, l'affirmerais même que la croissance est linéaire....

Je suis perplexe.....

[Archi3]

effectivement il y a ambiguïté dans "à croissance constante". Si c'est à vitesse constante, c'est linéaire et c'est impossible si le nénuphar a commencé sa croissance en même temps que le lac. Si c'est à taux de croissance constant, c'est exponentiel et la solution existe, cf ci-dessus.

[Alsete]

Bonjour,

Le nénuphar a besoin d'eau pour sa croissance, ce qui implique un abaissement du niveau du lac, et par conséquent une réduction progressive de sa surface.

Ainsi, il faut tenir compte de la proportion d'eau contenue dans un nénuphar, de la pluviométrie, de l'évaporation en fonction de la température, de l'hygrométrie et de la vitesse du vent, de la soif des grenouilles qui viennent se pavaner sur ses feuilles, etc.

Le problème qui nous est proposé est tout sauf trivial. 😄

[Liet Kynes]

effectivement il y a ambiguïté dans "à croissance constante". Si c'est à vitesse constante, c'est linéaire et c'est impossible si le nénuphar a commencé sa croissance en même temps que le lac. Si c'est à taux de croissance constant, c'est exponentiel et la solution existe, cf ci-dessus.

Cette ambiguïté est relative quand la constante possède des dépendances*: https://en-m-wikipedia-org.translate..._x_tr_pto=wapp

Cette subtilité donne au problème sa substance.

[Archi3]

l'ambiguïté me semble être plus dans le mot "croissance" que dans le mot "constante" ....

[Liet Kynes]

l'ambiguïté me semble être plus dans le mot "croissance" que dans le mot "constante" ....

Pourquoi ?

[Archi3]

parce que "croissance" peut se rapporter à une vitesse de croissance (dérivée par rapport au temps dx/dt ) ou à un taux de croissance (dérivée logarithmique ou dx/dt /x )

[Liet Kynes]

parce que "croissance" peut se rapporter à une vitesse de croissance (dérivée par rapport au temps dx/dt ) ou à un taux de croissance (dérivée logarithmique ou dx/dt /x )

L'astuce c'est que "croissance" peut admettre une solution compatible au problème posé. La croissance étant simplement une augmentation entre deux moments.
En croissance constante = qui augmente sa taille (son nombre) entre deux moments, on ne dit pas comment.

[non bwana]

Bonjour,

On pourra calculer la taille exact du nénuphar en petit plant de départ (en comparaison de celle du lac) dans un second temps.

Si le nénuphar met 25 jours pour recouvrir la première moitié du lac, il met aussi 50-25= 25 jours pour recouvrir la deuxième moitié.
Pour cette deuxième phase, le nénuphar démarre à une taille égale à la moitié de celle du lac.
Le lac et le nénuphar vont encore grandir pendant 25 jours, pour atteindre la taille de, si on nomme N la taille du nénuphar à j25 :
(N*2) *2^25 = N*(2^26) = 67108864 N ça fait un gros nénuphar

Le nénuphar voit sa taille multipliée chaque jour par :
67108864^1/25 = 2,05622765331

Corrigez, effacez tout ça s'il vous plaît si c'est faux.

[Archi3]

L'astuce c'est que "croissance" peut admettre une solution compatible au problème posé. La croissance étant simplement une augmentation entre deux moments.
En croissance constante = qui augmente sa taille (son nombre) entre deux moments, on ne dit pas comment.

n'empêche que quand tu dis "croissance constante", ça implique que tu mesures quantitativement la croissance par un nombre, donc il faut que tu précises si c'est la croissance absolue ou relative qui est constante.

[non bwana]

Il existe bien une constante entre les 2 progressions. Le nénuphar double son taux de recouvrement du lac tous les 25 jours. Au début du premier jour, il remplissait ainsi exactement un quart de la surface du lac (celui-ci était alors une petite mare), à j+25 exactement la moitié (à peu près une ville régionale), à j+50 les deux surfaces sont strictement égales (la terre est engloutie), à j+75 le nénuphar fera le double du lac, ( glou-glou la voie lactée).

[Liet Kynes]

n'empêche que quand tu dis "croissance constante", ça implique que tu mesures quantitativement la croissance par un nombre, donc il faut que tu précises si c'est la croissance absolue ou relative qui est constante.

La croissance peut être mesurée par un nombre puisque c'est la différence de taille du nénuphar entre deux jours ce qui est constant c'est la succession des jours. Le nénuphar croit en permanence.

[Liet Kynes]

Bon Chat GPT a compris mal mais quand même compris

Un nénuphar en croissance constante recouvre la totalité d'un lac en 50 jours, le lac double de taille chaque jour: le nénuphar peut-il recouvrir la moitié du lac en 25 jours ?

Non, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours.

Le nénuphar recouvre la totalité du lac en 50 jours, ce qui signifie qu'il recouvre la moitié du lac en 50/2=25 jours. Cela signifie que si le lac double de taille chaque jour, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours car il ne peut pas suivre la croissance du lac.

Voici un exemple de ce qui se passerait si le nénuphar recouvre la totalité du lac en 50 jours alors que le lac double de taille chaque jour :

Au jour 1, le lac fait 1 unité de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.
Au jour 2, le lac fait 2 unités de surface et le nénuphar ne recouvre que la moitié de la surface.
Au jour 3, le lac fait 4 unités de surface et le nénuphar ne recouvre que la moitié de la surface.
Et ainsi de suite jusqu'au jour 50, où le lac fait 1024 unités de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.

En résumé, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours lorsque le lac double de taille chaque jour. J'espère que cette explication vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.

2^50 n'est pas égal à 1024

Vous avez raison, 2^50 n'est pas égal à 1024. Je suis désolé pour cette erreur. Voici la bonne réponse :

Non, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours.

Le nénuphar recouvre la totalité du lac en 50 jours, ce qui signifie qu'il recouvre la moitié du lac en 50/2=25 jours. Cela signifie que si le lac double de taille chaque jour, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours car il ne peut pas suivre la croissance du lac.

Voici un exemple de ce qui se passerait si le nénuphar recouvre la totalité du lac en 50 jours alors que le lac double de taille chaque jour :

Au jour 1, le lac fait 1 unité de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.
Au jour 2, le lac fait 2 unités de surface et le nénuphar ne recouvre que la moitié de la surface.
Au jour 3, le lac fait 4 unités de surface et le nénuphar ne recouvre que la moitié de la surface.
Et ainsi de suite jusqu'au jour 50, où le lac fait 1 536 874 024 unités de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.

En résumé, le nénuphar ne peut pas recouvrir la moitié du lac en 25 jours lorsque le lac double de taille chaque jour. Je vous remercie de votre correction et je vous présente mes excuses pour l'erreur précédemment commise. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.

Pourquoi le nénuphar ne peut pas suivre la croissance du lac ?

Le nénuphar ne peut pas suivre la croissance du lac parce qu'il a une croissance constante alors que le lac a une croissance exponentielle.

La croissance constante signifie que le nénuphar grandit de la même manière chaque jour, par exemple en recouvrant une surface de 1 unité de surface par jour. La croissance exponentielle signifie que le lac grandit de manière exponentielle, c'est-à-dire que sa surface double chaque jour.

Ainsi, si le lac fait 1 unité de surface au jour 1 et 2 unités de surface au jour 2, cela signifie qu'il a doublé de taille entre ces deux jours. Si le nénuphar a une croissance constante et qu'il recouvre une surface de 1 unité de surface par jour, il ne peut pas suivre la croissance du lac et ne recouvre donc pas toute la surface du lac.

Je vous remercie de votre question et j'espère que cette explication vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.


Et si la croissance du nénuphar est permanente ?

Si la croissance du nénuphar est permanente, cela signifie qu'il grandit sans interruption, sans jamais s'arrêter. Dans ce cas, le nénuphar pourrait finir par recouvrir la totalité du lac, même si celui-ci a une croissance exponentielle.

Toutefois, il faut noter que la croissance permanente est une hypothèse simplificatrice qui ne tient pas compte des limites physiques et biologiques de la croissance. En réalité, toute croissance a des limites et est soumise à des facteurs tels que l'espace disponible, les ressources et les contraintes environnementales.

Par exemple, si le lac a une croissance exponentielle et que le nénuphar a une croissance permanente, il est possible que le nénuphar ne puisse pas suivre la croissance du lac s'il n'y a pas suffisamment de nutriments et d'eau disponibles pour assurer sa croissance. De même, le nénuphar pourrait être limité par l'espace disponible sur le lac et ne pas pouvoir se développer de manière permanente.

En résumé, bien que la croissance permanente soit une hypothèse théorique intéressante, elle ne tient pas compte des limites réelles de la croissance et ne peut pas être considérée comme une situation réaliste. Je vous remercie de votre question et j'espère que cette explication vous a été utile. Si vous avez d'autres questions

Et si la croissance du nénuphar est permanente, peut-il recouvrir le lac en 25 jours?

Si la croissance du nénuphar est permanente et qu'il recouvre une surface de 1 unité de surface par jour, alors oui, il pourrait recouvrir la moitié du lac en 25 jours.

Voici comment cela se passerait si le lac a une croissance exponentielle et que le nénuphar a une croissance permanente :

Au jour 1, le lac fait 1 unité de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.
Au jour 2, le lac fait 2 unités de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.
Au jour 3, le lac fait 4 unités de surface et le nénuphar recouvre toute la surface.
Et ainsi de suite jusqu'au jour 25, où le lac fait 33 554 432 unités de surface et le nénuphar recouvre la moitié de la surface.

Il faut noter que cette hypothèse de croissance permanente est une simplification théorique qui ne tient pas compte des limites réelles de la croissance et des contraintes environnementales. En réalité, toute croissance a des limites et est soumise à des facteurs tels que l'espace disponible, les ressources et les contraintes environnementales.

Je vous remercie de votre question et j'espère que cette explication vous a été utile. Si vous avez d'autres questions, n'hésitez pas à me poser.

[Archi3]

La croissance peut être mesurée par un nombre puisque c'est la différence de taille du nénuphar entre deux jours ce qui est constant c'est la succession des jours. Le nénuphar croit en permanence.

ça revient à dire que tu donnes au mot croissance le sens de croissance absolue, mais ce n'est pas la seule possibilité. La croissance économique, par exemple, ce n'est pas la différence de PIB entre deux années, c'est la différence de PIB divisée par le PIB initial, ce qui n'est pas la même chose.

Notons que si un être vivant croit par division cellulaire, sa croissance initiale est plus exponentielle que linéaire. Si tu prends la croissance linéaire de l'embryon initial humain, ça mettrait beaucoup de trop de temps avant de former un bébé.