Bonjour à toutes et à tous ,
Voici le passage de wikipiedia qui le mentionne cette erreur:
En mathématiques, le logarithme complexe est une fonction généralisant la fonction logarithme naturel (définie sur ]0,+∞[) au domaine ℂ* des nombres complexes non nuls.
Plusieurs définitions sont possibles. Aucune ne permet de conserver, à la fois, l'univocité, la continuité et les propriétés algébriques de la fonction logarithme.
Il faut néanmoins être prudent, parce que certaines propriétés familières du logarithme réel ne sont plus vérifiées pour le logarithme complexe. Par exemple, L(ez) n'est pas toujours égal à z, et L(zw) n'est pas toujours égal à L(z) + L(w).
Source:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_complexe
Il disent qu'il n'y a aucun définition possible qui ne permet de conserver, à la fois, l'univocité, la continuité et les propriétés algébriques de la fonction logarithme.
Mais voici deux contre exemple :
Voici la solution de l'équation Arctan(x-1) + arctan(x) +arctan(1+x)=pi/2
on a Arctan(x)=1/2i*ln(1+ix)/(1-ix)
Arctan(x-1) + arctan(x) +arctan(1+x)=1/2i*(ln(1+i(x-1))/(1-i(x-1))+ln(1+ix)/(1-ix)+ln(1+i(x+1))/(1-i(x+1)))
=1/2i*(ln( ((1+i(x-1))/(1-i(x-1)))*((1+ix)/(1-ix))*((1+i(x+1))/(1-i(x+1)))
=1/2i*(ln(1+i(x-1))(1+ix)((1+i(x+1))/ (1-i(x-1)))*(1-ix))*(1-i(x+1))
=1/2i*(ln((4*x-x^3)*i+2-3*x^2/(-4*x+x^3)*i+2-3*x^2))=pi/2
donc ln((4*x-x^3)*i+2-3*x^2/(-4*x+x^3)*i+2-3*x^2))=i*pi
(4*x-x^3)*i+2-3*x^2/(-4*x+x^3)*i+2-3*x^2))=exp(i*pi)=-1
donc (4*x-x^3)*i+2-3*x^2+(-4*x+x^3)*i+2-3*x^2)=4-6*x^2=0
donc x^2=2/3 donc x=+-racine(2/3)
Mais seule la solution positive est exacte par vérifiction selon les autres méthodes de résolution de ce problème aboutissent aux mêmes deux solutions et écartent la solution négative par vérification.
Et voici un autre exemple:
pour démontrer que 16atan(1/5)-4atan(1/239)=pi
On posant atan(1/5)=1/2i ln((1+i/5)/(1-i/5))
et atan(1/239)=1/2i ln(1+i/239)/(1-i/239))
Puis j'aurais 16atan(1/5)-4atan(1/239)=4/2i(ln((1+i/5)/(1-i/5))^4/((1+i/239)/(1-i/239))
puis en développe (ln((1+i/5)/(1-i/5))^4/(1+i/239)/(1-i/239))=ln((1+i)/(1-i))=ln(i) =i*pi/2.
Donc 16atan(1/5)-4atan(1/239)=pi.
Ici en observe que les propriétés familières du logarithme réel sont vérifiées pour le logarithme complexe pour ses exemples
Alors Wikipédia a-t-elle fait une erreur ?
-----
Envoyé par stefjm 
