Calcul variation d'un moment quadratique d'une poutre à section variable

[invite1fbef901]

Bonjour à tous !

Je suis nouveau sur ce forum que j'ai découvert par 'lintermédiaire d'un collègue (thibault34).

Je ferai ma présentation dans la section adéquatte le moment venu, mais pour lemoment j'ai un problème urgent et j'ai besoin des compétences d'ames charitables.


Mon problème est le suivant :

Je cherche à calculer l'équation du moment quadratique ( de flexion ) pour une poutre de section variable de profil rectangle.

Si la section n'était pas variable, ca serait (bh^3)/12

Dans quel but je veux faire ce calcul:

Je travaille comme thibault34 sur un projet qui consiste à améliorer la rigidité et l'inertie d'un bras de robot.

A l'aide d'un logiciel CAO j'ai déterminé un Iy ( flexion) minimum me permettant d'obtenir la raideur désirée en fonction des propriétés matériaux d'un matériau anisotrope ( bois ), jusqu'à la aucun problème.

A partir de l'équation de la flêche dans un cas de poutre en flexion ( encastrement à 1 extrémitée de poutre , reste libre ), j'ai EI(flêche)''=-MFZ. Cette équation marche pour une section constante.

Mais voila mon projet: Faire varier un paramètre de la section, ( Ici h) afin d'alléger et de déplacer le centre d'inertie du bras au plus proche du centre de rotation (encastrement) afin de minimiser son inertie.

On sait bien que le Iy peut varier selon l'intensité des efforts intérieurs.

L'équation EI(flêche)''=-MFZne marche plus car I n'est plus cst. J'ai bien essayé de l'intégrer deux fois mais je ne comprends plus vraiment ce que je fais à partir de ce moment la.

Voila si qqun peut me décoincer ca serait sympa.

Désolé d'avoir écrit autant mais j'essaye d'être le plus précis possible pour bien me faire comprendre.



Je veux trouver une équation du I intégrant h pour définir un profil de poutre optimal répondant à mes critères de rigidité tout en minimisant L'inertie.
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[invite348a38cd]

La question est vraiment très claire, j'ai tout compris, cependant je suis incapable d'y répondre... désolé.
Instinctivement, j'essaierai un profile de poutre parabolique. Plat sur le dessus, et la section diminue plus on s'éloigne du centre de rotation (diminue d'abord "fortement" puis en réduisant avec l'éloignement)... ce n'est qu'empirique, rien de scientifique
Sinon, changer le bois pour du carbone ; et là, le problème d'inertie se change en problème de portefeuille !
Désolé, bon courage.

[invitefb5606d3]

Oh la la c'est bien loin tout ça,
le profil de la poutre ne doit-il pas suivre
celui de la courbe de moment flechissant...?
ou de la déformée...?
C'est vraiment loin!

[invitea2955c80]

............calculer l'équation du moment quadratique ( de flexion ) pour une poutre de section variable de profil rectangle..... Faire varier un paramètre de la section, ( Ici h) afin d'alléger et de déplacer le centre d'inertie du bras au plus proche du centre de rotation (encastrement) afin de minimiser son inertie.........

Bonsoir,
Pour obtenir une contrainte constante il faut :
6 P x / b h² = 6 P L / b H²

H est la hauteur de la poutre à l’extrémité encastrée

Donc , h² = H² x / L

Dans ces conditions, la flèche à l’extremité devient y = ( 2/3 ) PL^3 / E II moment quadratique à l’encastrement

( d'après Résistance des matériaux de Timoshenko)

[A voir en vidéo sur Futura]

[polo974]

La contrainte constante permet d'avoir une courbure constante (approx. tant que la flèche est faible).

Mais la même courbure à l'encastrement aura un effet bien plus important qu'en bout de poutre en terme de flèche (Par contre, en terme de rotation du point extrême, l'influence est la même).

Sinon saucissonner la poutre et calculer tronçon par tronçon en intégrant l'angle de courbure puis la flèche (avec un tableur par ex et en 1ère ligne la variation de section).

[mécano41]

Bonjour,

Non seulement, je ne sais pas résoudre ton problème mais je vais te poser une question qui pourrait le compliquer

Ton bras de robot a donc un sens de déplacement (ou plutôt d'accélération) préférentiel pour que tu optimises la raideur uniquement dans le sens de la hauteur de la section, la largeur restant constante?

Cordialement

[polo974]

J'ai joué avec excel
Pour une épaisseur (b) constante, par rapport à une poutre de section constante et pour un même volume de matière, la flèche est de:

• 59.3% pour une poutre dont l'épaisseur varie en racine(1-x/l) épaisseur à la base 150%
• 61.6% pour une poutre dont l'épaisseur varie linéairement de 160% à la base à 40% en extrémité

Soit une différence de 4% entre l'optimal elliptique et le trapèze simplifié.

Pour le cas h = b (afin d'avoir le même résultat sur 2 axes) comme l'a proposé (de façon sous-entendue) mécano41:

• 65.8% pour une poutre dont b et h égaux varient paraboliquement de 134% à la base à 45.5% en extrémité et (oh surprise) 100% en milieu de poutre.
• 67.3% pour une poutre dont b et h égaux varient linéairement de 138% à la base à 56.5% en extrémité (en tronc de pyramide).

Soit une différence de 2.2% entre l'optimal tronc de pyramide elliptique et le tronc de pyramide droit. Pour passer à une section circulaire, c'est juste une règle de 3...

Tout ça bien sûr si je ne me suis pas planté...