Moteur à courant continu entraînant une charge

[invite33e323a0]

Bonjour à tous !
Je suis confronté au problème de modélisation suivant:
Un moteur à courant continu déplaçant une charge par l'intermédiaire d'un système réducteur et pignon/crémaillère. La crémaillère quant à elle déplace une charge.

Si je considère que ma charge à une masse M, le PFD appliqué à cette dernière me permet d'obtenir:

m d²x/dt² = F_moteur-F_frottement

La force qu'exerce le moteur au niveau de l'axe est donc:

F_moteur =m d²x/dt²-F_frottement

Ainsi le couple exercé par l'arbre du pignon est, en notant R le rayon du pignon

C_{arbre pignon}=(m d²x/dt²-F_frottement) R

L'équation électrique du moteur est:
u=Ldi/dt+Ri+K theta

où u est la tenstion d'alim, R et L résistance et inductance de l'enroulement induit, theta la vitesse de rotation de l'arbre moteur et K une constante.

L'équation mécanique appliquée à l'arbre moteur conduit à:
C_moteur-C_charge=J dtheta/dt

où J est l'inertie du moteur

Ma question est la suivante, comment faire intervenir le couple exercé par l'arbre pignon dans l'équation suivante ? L'inertie du moteur dépend elle de cette charge ? Le couple de charge de l'équation précédente correspond il au couple de l'arbre pignon ? (dans le cas où on suppose qu'il n'y a pas de réducteur).

Je sais pas si c'est super clair

Merci!
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[invite33e323a0]

J'oubliais, le couple produit par le moteur est
Cmoteur = K i

[invitee0b658bd]

Bonjour,
pour les inerties, ce que tu as fait, c'est ramener l'inertie de la charge sur l'arbre moteur. Il te restes à prendre en compte aussi l'inertie propre du moteur.
le moment d'inertie que tu doit prendre en compte dans ton equation est donc la somme de l'inertie de la charge ramenée à l'arbre moteur et l'inertie propre du moteur.
fred

[invite33e323a0]

Merci pour ta réponse
Si je comprends bien, je peux ramener l'inertie avec un bilan d'énergie ?

1/2 J_tot Omega² = 1/2 J_{moteur à vide} Omega²+1/2 M v²
puis bilan de vitesse etc...

Mais quant au couple de frottement (constant), je le réinjecte au niveau du couple de charge ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0b658bd]

Bonjour,
oui le bilan d'energie est une methode

pour ce qui concerne le frottement constant, en automatique, on aime pas beaucoup car les equations sont pas droles, on prefere generalement (si c'est possible) modeliser un frottement visqueux, c'est beaucoup plus simple et cela n'introduit pas de discontinuité à l'invertion de sens
fred

[invite33e323a0]

Merci Fred ,
J'ai donc rattacher l'inertie totale à l'arbre moteur (dépendance affine de la masse de la charge) et il me reste le problème suivant dans ma modélisation.
En reprenant le modèle classique d'un moteur DC, et en ayant une approche automatique, le couple moteur passe dans le bloc d'inertie (1/(J_tots)) ce qui me donne la vitesse de l'arbre moteur. Cette vitesse est ensuite réduite par un réducteur. L'arbre à la sortie du réducteur est relié à un pignon qui déplace la crémaillère qui déplace ensuite la charge. Je n'ai pas de difficulté à déterminer la vitesse de la charge en fonction de celle de l'arbre moteur, cependant cette charge sera soumise à des forces constantes telle que sa masse dans le cas où le plan est incliné, ou des forces de frottement de coulomb. Ces forces sont équivalentes à des couples résistants constants sur l'arbre du pignon. Ma question est la suivante, dois-je ramener tout ces couples résistants constants sur l'arbre moteur (C_charge) de façon similaire à ce qui a été fait pour l'inertie ?

Merci d'avance!

[invitee0b658bd]

Bonjour,
la masse dans la modelisation ne pose pas de problemes particulier, cependant un frottement sec est particulièrement délicat à modeliser, il introduit de fortes non linearité au voisinage de la vitesse nulle
le frottement sec te fait sortir des hypothèses de l'automatique lineaire puisque sa valeur reste constante mais son signe dépend de celui de la vitesse, c'est en partie pour cela qu'en automatique lineaire, on modelise généralement les frottements par des frottements visqueux
fred

[invite33e323a0]

Je pense comprendre : Le couple due à la force de gravité (constant et donc ne dépendant pas du signe de la vitesse) est ramené sur l'axe moteur et le couple de frottement est modélisé par des frottements visqueux du type C_frottement=f Omega ?

Est-ce bien ça ?

[invitee0b658bd]

bonjour,
oui, cette modelisation te permet de garder des equations lineaires
aprés, c'est à toi de savoir si cette modelisation peut convenir à ton problème, cependant c'est généralement au moins une bonne approche.
Si cette modelisation ne te convient pas, il faut alors partir dans des calculs infiniment plus complexes
fred

[invite33e323a0]

Merci pour ton aide!
J'ai encore un soucis en appliquant le theoreme du moment cinétique.
Si je considere la chaîane suivante :

[Couple moteur]----[ R1 ]----[ R2 ]----[pignon/crémaillère + charge]

où R1 et R2 sont deux réducteurs. Je note avec les indices 1, 2 et 3 les trois arbres. L'inertie est J, et la vitesse de rotation V et T le couple total exercé sur l'arbre.

-Le PFD appliqué à la charge donne
M d²x/dt² = F_cremaillère-F_constante
où F_constante est une force constante (telle que la gravité dans le cas d'un plan incliné)

-Le theoreme du moment appliqué au troisieme axe conduit à
J₃ d²V₃/dt² = T₃ =R_pignonF_cremaillère = R_pignon(M d²x/dt² + F_constante)
Compte tenue de la relation entre x et V₃, il est possible de ramener le terme d'accélération sur l'arbre 3.

-J'applique ensuite le theoreme du moment au second arbre
J₂ d²V₂/dt² = T₂

Or T₂ = T₃ /R₃ et là ça me pose problème en remplacant T₃ par l'expression en fonction des forces, le moment d'inertie de l'arbre 3 n'intervient plus, il y a donc surement une erreur de logique dans mon raisonnement.

J'aurais tendance, intuitivement, à écrire
J₂ d²V₂/dt² = T₃ /R₃ -J₃/R₃ d²V₃/dt²
mais si c'était le cas, d'aprés l'équation précédente ca voudrait dire
J₂ d²V₂/dt² =0

bref je m'embrouille ... si vous pouviez encore une fois m'éclairer !
Merci