Pb théorie du chaos, orbite de planète....

[invite18fc3b6c]

comment décrit-on la position d'une planète sur son orbite en fonction du temps?
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[mort_khan/Triskaël]

C'est une ellipse. Petit rapel : formule d'une ellipse : X²/a²+Y²/b²=1
Maintenant, te peux parametrer cette équation :
x(t)=a*cos(t)
y(t)=b*sin(t)
avec a le demi grand axe de l'ellipse et b le demi petit axe.
Bon courrage.

[invite18fc3b6c]

merci beaucoup...mais qu'est ce que t?je suppose c'est une durée?quel est la différence entre a et le b...comment puis je les trouver?

[Sephi]

Vu le titre du sujet, il convient d'apporter quelques informations ...

L'orbite d'un corps autour d'un autre liées gravitationnellement est une ellipse, mais ce n'est que dans le cas de 2 corps uniquement ... Le système solaire est composé de plusieurs planètes, qui interagissent entre elles, en plus d'interagir avec le soleil autour duquel elles gravitent. Toutes ces interactions sont extrêment complexes, et les orbites ne sont plus des ellipses.

En réalité, le régime d'un système de plusieurs corps massifs liés gravitationnellement est un régime chaotique, càd que les mouvements observés actuellement ne seront pas les mêmes dans le futur ... d'ailleurs, il est même impossible de prévoir l'évolution du système solaire.

Henri Poincaré a été le 1er à étudier ce problème de gravitation entre plusieurs corps, qui mène à un comportement imprévisible (chaotique), il a étudié ça dans son "problème des 3 corps". Maintenant, je ne connais pas les équations du système, donc je ne saurais pas en dire plus ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[deep_turtle]

Alors pour aller juste un peu plus loin dans le détail :

En réalité, le régime d'un système de plusieurs corps massifs liés gravitationnellement est un régime chaotique,

Disons que certaines configurations appartiennent à ce régime, d'autres non. Allez voir ici pour de magnifiques illustrations de configurations non chaotiques : cliquez ça vaut vraiment le coup...

[BioBen]

Oui, la Lune par exemple a une orbite chaotique autour de la Terre.
a+
ben

[invite18fc3b6c]

oui merci pour toutes ces précisions je comprends bien, c'est d'ailleur ce que je veux montrer en prenant un système a 2corps par exemple mars et une planète situé a coté d'elle et montré qu'avec leur équation qu'il aurait possibilité qu'elles se rencontrent car leur ellipse peuvent varié....

[yat]

C'est une ellipse. Petit rapel : formule d'une ellipse : X²/a²+Y²/b²=1
Maintenant, te peux parametrer cette équation :
x(t)=a*cos(t)
y(t)=b*sin(t)
avec a le demi grand axe de l'ellipse et b le demi petit axe.

Ca c'est une équation paramétrique d'une ellipse.

Dans un problème à deux corps, les planètes suivent bien des orbites elliptiques, mais les coordonnées en fonction du temps n'ont rien à voir avec ce que tu indiques. En effet, un corps aura une vitesse beaucoup plus grande à un bout de l'ellipse qu'à l'autre.

Je me suis pas mal creusé sur ce problème récemment, mais je n'ai rien trouvé. La question a d'ailleurs été posée il y a quelque semaines sur un autre fil, mais n'y a pas eu de réponse directe. Soit dit en passant, si quelqu'un a la solution, je suis également très intéressé.

deep_turtle, ton lien est absolument hallucinant !

[Sephi]

Ben c'est une équation différentielle newtonienne à résoudre, pour trouver une solution elliptique ...

F=ma=Gm1m2/r²

[yat]

Ben c'est une équation différentielle newtonienne à résoudre, pour trouver une solution elliptique ...

F=ma=Gm1m2/r²

On peut effectivement trouver en partant de là (et en passant en coordonnées polaires, pour pas trop se prendre la tête), la trajectoire du corps, ainsi que les deux autres lois de Kepler.

Pour les coordonnées en fonction du temps, je ne pense pas que ça soit si simple.

[Sephi]

En résolvant cette équation, on obtient une solution en fonction du temps. On trouve l'accélération (en fct du temps) que l'on intègre 2x pour obtenir la position (en fct du temps).

[yat]

En résolvant cette équation, on obtient une solution en fonction du temps. On trouve l'accélération (en fct du temps) que l'on intègre 2x pour obtenir la position (en fct du temps).

Là il va falloir que tu sois un peu plus explicite. Rien trouvé par moi-même, rien trouvé dans les bouquins de prépa ou de fac, rien trouvé sur ce forum... je pense que plusieurs personnes ici attendent avec impatience que tu dévoiles la solution.

[Sephi]

Il s'agit du problème de Kepler, attraction gravitationnelle entre 2 corps. Le principe, c'est qu'on se place en l'un des corps, et on considère le mouvement de l'autre. On se trouve alors dans le cas d'un champ de force central donné par :



On calcule le potentiel effectif de cette force, càd le potentiel modifié par l'ajout d'une valeur issue de la loi des aires, on obtient :



où est la vitesse aréolaire constante (car des aires égales sont balayées en temps égaux, càd que la variation de l'aire balayée en fct du temps est constante).

Le graphe de ce potentiel effectif donne 2 types de mouvements différents selon l'énergie totale du système. La solution pour la trajectoire est :



En intégrant explicitement cette expression et en faisant plusieurs changements de variables, on obtient une solution finale :



où est une constante, l'excentricité, et des coordonnées polaires en fonction du temps. Cette expression est celle d'une conique, et lorsque le mouvement est borné, elle devient celle d'une ellipse.

Effectivement, on n'a pas calculé la solution à partir de l'accélération directement, on est passé par les potentiels. Ceci dit, on a quand-même dû intégrer 2x depuis l'expression initiale contenant l'accélération afin d'obtenir le mouvement en fonction du temps (ce qui est logique). Mais c'est vrai que ce n'est pas si intuitif que cela.

[yat]

(...)

En intégrant explicitement cette expression et en faisant plusieurs changements de variables, on obtient une solution finale :



où est une constante, l'excentricité, et des coordonnées polaires en fonction du temps. Cette expression est celle d'une conique, et lorsque le mouvement est borné, elle devient celle d'une ellipse.

Effectivement, on n'a pas calculé la solution à partir de l'accélération directement, on est passé par les potentiels. Ceci dit, on a quand-même dû intégrer 2x depuis l'expression initiale contenant l'accélération afin d'obtenir le mouvement en fonction du temps (ce qui est logique). Mais c'est vrai que ce n'est pas si intuitif que cela.

Oui, ce sont bien les résultats qu'on obtient, mais j'avais déjà eu l'occasion d'en avoir la confirmation dans les livres.

Maintenant, je me répète : cela permet d'avoir une relation entre et . Dans tes calculs comme dans les miens, le t disparait très vite, et au final, si on n'a pas en fonction du temps, on n'a pas non plus en fonction du temps, et réciproquement.

On se retrouve donc toujours avec une équation de trajectoire, mais pas celle du mouvement.

[Sephi]

C'est un exemple classique de résolution de mouvement à 2-3 dimensions en mécanique analytique. Ça m'étonne que tu n'aies rien trouvé dans les bouquins de prépa/fac (ceci dit, je ne sais pas en quelle année est abordée la mécanique analytique de ce type, je suis en Belgique avec un système différent).

[deep_turtle]

Pour faire intervenir le temps, tu peux utiliser la conservation du moment cinétique, par exemple, qui te permet de relier et , et donc d'avoir une forme intégrale pour la fonction . C'est ce genre de truc qui te manque ?

[Sephi]

Bon alors on reprend : la base de tout, c'est l'expression de l'énergie totale avec le potentiel effectif :



On isole , on l'inverse en , on fait passer le dans l'autre membre, on intègre et on obtient :



En calculant l'intégrale explicitement à l'aide de moult changements de variables (avec l'introduction d'une variable dite "régularisante" donnée par où est le demi-grand axe calculable à partir de et plus haut), on obtient après, avoir transpiré, l'expression de en fonction du temps, à l'aide du paramètre :




A partir de là, on peut aussi obtenir l'expression explicite de en fonction du temps, avec la relation entre et .

[yat]

Pour faire intervenir le temps, tu peux utiliser la conservation du moment cinétique, par exemple, qui te permet de relier et , et donc d'avoir une forme intégrale pour la fonction . C'est ce genre de truc qui te manque ?

Ben... ici, la conservation du moment cinétique, ça aboutit directement à la deuxième loi de Kepler, non ? Et ça ne me permettait pas d'aboutir. Mais je n'ai pas mes calculs ici...

[yat]

Bon alors on reprend : la base de tout, c'est l'expression de l'énergie totale avec le potentiel effectif :



On isole , on l'inverse en , on fait passer le dans l'autre membre, on intègre et on obtient :



En calculant l'intégrale explicitement à l'aide de moult changements de variables (avec l'introduction d'une variable dite "régularisante" donnée par où est le demi-grand axe calculable à partir de et plus haut), on obtient après, avoir transpiré, l'expression de en fonction du temps, à l'aide du paramètre :




A partir de là, on peut aussi obtenir l'expression explicite de en fonction du temps, avec la relation entre et .

Eh bien apparemment elle est là la solution ! Bon, va falloir que je reprenne le tout à tête reposée, mais en attendant merci beaucoup !

J'espère que la réponse conviendra également à milie

[invite18fc3b6c]

je sui légérement paumé je compren bien tous les calcul ms pkoi o début on dit que l'éllipse c: "x(t)=a*cos(t)
y(t)=b*sin(t)
avec a le demi grand axe de l'ellipse et b le demi petit axe." pui on dit : "F=ma=Gm1m2/r²" pour arrivé a ca:
"En calculant l'intégrale explicitement à l'aide de moult changements de variables (avec l'introduction d'une variable dite "régularisante" donnée par où est le demi-grand axe calculable à partir de et plus haut), on obtient après, avoir transpiré, l'expression de en fonction du temps, à l'aide du paramètre :




A partir de là, on peut aussi obtenir l'expression explicite de en fonction du temps, avec la relation entre et .[/QUOTE]"
si quelqu'un peu m'expliquer simplement je cherche juste le a et b de la première équation si elles st bonne pour montrer que dans le temps il y a risque de collision entre certaine planète que en réalité le système solaire n'est pas stable. c'est pour mon TPE de mon année de Terminale S...si quelqu'un peu me dire ou trouvé dc ce a et ce b pr la première mais aussi dernière équation ca serait gentil san trop se perdre dans le détail....merci beaucoup

[yat]

si quelqu'un peu m'expliquer simplement je cherche juste le a et b de la première équation si elles st bonne pour montrer que dans le temps il y a risque de collision entre certaine planète que en réalité le système solaire n'est pas stable. c'est pour mon TPE de mon année de Terminale S...si quelqu'un peu me dire ou trouvé dc ce a et ce b pr la première mais aussi dernière équation ca serait gentil san trop se perdre dans le détail....merci beaucoup

Le problème c'est que la première équation est fausse. Enfin, en tout cas si t représente le temps. C'est juste une équation de la trajectoire, mais cela n'a rien à voir avec la vitesse réelle du déplacement des planètes. Pour déterminer les risques de collision, ça ne risque donc pas de t'être utile.

Maintenant, c'est clair que pour la méthode de Sephie, je suis pas sur que ça soit vraiment accessible en terminale.

[invite18fc3b6c]

oui voila le problème. bon merci quand vais éssayé de la reprendre calmement et tranqillement pour la comprendre.merci quand même...