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Nombre Pi !

  1. KarmaStuff

    Date d'inscription
    juin 2004
    Âge
    37
    Messages
    2 747

    Talking Nombre Pi !

    Salut à tous. Je ne suis pas un expert en maths, mais le nombre Pi peut-il avoir une fin ?

    Je crois qu'un laboratoire au Japon est parvenu à plusieurs milliards de chiffres après la virgule, et que l'on peut trouver n'importe quelle date de naissance, ou même n'importe lequel des codages numériques (par exemple une chanson sous la forme numérique binaire d'un ordinateur) quelque part dans les décimales...

    Mais se pourrait-il qu'il y ait une fin ? Ou est-ce une répétition de chiffres à un moment donné ?

    Et est-ce cela un nombre d'or ? Qu'est-ce qu'un nombre d'or d'ailleurs ?

    Merci pour vos réponses... Bye @pluche )

    ...

    -----

     


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  2. guy_flavien

    Date d'inscription
    juin 2004
    Localisation
    Paris
    Messages
    112

    Smile Re : Nombre Pi !

    Pour l'instant, je crois que le nombre Pi n'a pas de fin...
    Justement on se sert d'Internet pour essayer de trouver les milliards de chiffres après la virgule de Pi. Et on rassemble tout pour pouvoir à chaque fois rajouter des chiffres. Donc normalement le nombre de Pi est infini et c'est pourquoi on arrondi Pi à 3,14.

    Pi n'est pas le nombre d'or ! C'est deux choses différentes, je vais d'ailleurs t'expliquer ce qu'est le nombre d'or:
    Le nombre d'or ou section dorée, ou encore divine proportion est un nombre qui correspondait au partage le plus harmonieux d'une grandeur en deux parties inégales.
    Pour le calculer:
    Si a et b (a étant plus grand que b) sont les deux parties de la grandeur p, nous avons: a/b = p/a. Comme p = a + b, nous trouvons a/b = (a+b)/a, donc a² = ab + b². En donnant la valeur 1 au plus petit, (b), nous obtenons a² -a = 1, donc a² -a -1 = 0. La racine positive de cette équation du second degré est 1+ racine de 5 sur 2 , soit 1,618, qui est le nombre d'or.

    Le nombre d'or entre fréquemment dans le rapport des longueurs, des surfaces et des formes.
    Par exemple en architecture, dans les monuments comme la pyramide de Khéops, le Parthénon, le dôme de Milan, le nombre d'or est utilisé.
    Même dans les escaliers où nous marchons le nombre d'or est utilisé !
    Car il sert pour qu'il y est une proportion, et donc une égalité parfaite.

    J'espère que j'ai pu t'aider.
     

  3. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    34
    Messages
    1 796

    Re : Nombre Pi !

    Pi est irrationnel, à partir de là, il est clair qu'il ne pourra jamais etre "fini".

    Si les ordinateurs cherchent des décimales de Pi, c'est aussi pour mettre en avant les systèmes de calculs très poussé des machines...
     

  4. Gaétan

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Corroy-le-Château
    Âge
    37
    Messages
    613

    Re : Nombre Pi !

    La série de maclaurin d'arctan nous donne ceci,
    arctan x = x - x³/3 + x5/5 - x7/7 + ...
    pour |x| < 1.
    Mais cette série converge aussi pour |x| = 1.
    On a donc, pour x = 1,
    pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
    Ou,
    pi = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...
    Chaque terme donne une meilleur précision sur pi. Comme il y en a une infinité, pi comporte une infinité de chiffre après la virgule.
     

  5. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    34
    Messages
    1 796

    Re : Nombre Pi !

    Ca ne prouve pas pour autant son irrationnalité....
     


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  6. Gaétan

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Corroy-le-Château
    Âge
    37
    Messages
    613

    Re : Nombre Pi !

    C'est possible. Je ne vois pas comme une telle série pourrait être rationnelle en tout cas.
    On peut aussi écrire,
    pi/2 = lim(n->infini) [2.2.4.4.6.6. ... .2n.2n] / [1.3.3.5.5.7. ... .(2n-1).(2n+1)]

    Je sais pas si on sait le démontrer, mais c'est clairement pas rationnel.
     

  7. Theyggdrazil

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    31
    Messages
    341

    Re : Nombre Pi !

     

  8. doryphore

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Compiègne (60)
    Âge
    39
    Messages
    1 844

    Smile Re : Nombre Pi !

    Pour Gaëtan:

    2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...
    et pourtant son écriture n'a pas forcément une infinité de chiffres après la virgule.
     

  9. Seldo

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Lyon
    Âge
    42
    Messages
    3

    Re : Nombre Pi !

    Pi est un nombre irrationnel (il ne peut être exprimé sous la forme d'un raport de deux nombres naturels). Une conséquence de ceci est que ses décimales ne se répètent pas (y compris pas de répétition de 0, donc elles ne se terminent pas non plus). Inversement tout nombre dont les décimales se répètent est rationnel.

    En plus d'être irrationnel (comme la racine carrée de 2), pi est transcendental, c'est à dire qu'il n'est pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (alors que la racine de 2 est solution de x^2 - 2 = 0). e est aussi un exemple de nombre transcendental.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel

    Pour la démonstration :
    http://ns3131.ovh.net/~pi314/sitepdf/lambert.PDF
     

  10. Quinto

    Date d'inscription
    septembre 2003
    Localisation
    Québec
    Âge
    34
    Messages
    1 796

    Re : Nombre Pi !

    On parle plutot de nombre transcendant non?
    En opposition aux nombres algébriques qui sont des racines d'élements de Z[X]
     

  11. Gaétan

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Corroy-le-Château
    Âge
    37
    Messages
    613

    Re : Nombre Pi !

    Citation Envoyé par doryphore
    Pour Gaëtan:

    2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...
    et pourtant son écriture n'a pas forcément une infinité de chiffres après la virgule.
    Ben, je sais bien. J'ai pas dit que j'avais démontré quoi que ce soit, n'y même que je savais comme m'y prendre.
    Dans la première expression du nombre pi, interviennent les inverses de tout les nombres impaires, parmis lesquels tous les nombres premier. Pour moi, ce fait est garant qu'il n'y a aucune périodicité possible dans les décimales.
    Je ne sais pas si mon raisonnement ressemble à quelque chose et je ne le mets sûrement pas là en temps que démonstration.
     

  12. Sharp

    Date d'inscription
    janvier 2004
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    Paris 19
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    29
    Messages
    623

    Re : Nombre Pi !

    Salut,
    dans un bouquin, j'ai lu une démonstration de l'irrationnalité de pi avec une suite d'intégrales. C'était trop compliqué pour moi, mais on faisait une intégrale de 0 à pi d'une fonction en supposant que pi était rationnel (de la forme a/b), et on voyait que c'était impossible. Si je me rappelle bien, il y avait une contradiction sur la convergence de la suite.
     

  13. easythomas

    Date d'inscription
    janvier 2004
    Messages
    186

    Re : Nombre Pi !

    En plus d'être irrationnel (comme la racine carrée de 2), pi est transcendental, c'est à dire qu'il n'est pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (alors que la racine de 2 est solution de x^2 - 2 = 0). e est aussi un exemple de nombre transcendental.
    Je croyais que la différence entre les nombres irrationnels algébriques et les nombres irrationnels transcendants était que les transcendant ne pouvait être représenté graphiquement, contrairement aux nombres algébriques
     

  14. Jeanpaul

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Banlieue parisienne
    Messages
    10 538

    Re : Nombre Pi !

    Plus précisément un nombre algébrique peut être construit avec une règle et un compas. Par exemple racine(2) est obtenu comme la diagonale d'un carré de côté 1.
     

  15. Gaétan

    Date d'inscription
    avril 2004
    Localisation
    Corroy-le-Château
    Âge
    37
    Messages
    613

    Re : Nombre Pi !

    Pi est un nombre algébrique alors ? On peut le construire avec un compas.
     


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