Nombre Pi !

[inviteba0a4d6e]

Salut à tous. Je ne suis pas un expert en maths, mais le nombre Pi peut-il avoir une fin ?

Je crois qu'un laboratoire au Japon est parvenu à plusieurs milliards de chiffres après la virgule, et que l'on peut trouver n'importe quelle date de naissance, ou même n'importe lequel des codages numériques (par exemple une chanson sous la forme numérique binaire d'un ordinateur) quelque part dans les décimales...

Mais se pourrait-il qu'il y ait une fin ? Ou est-ce une répétition de chiffres à un moment donné ?

Et est-ce cela un nombre d'or ? Qu'est-ce qu'un nombre d'or d'ailleurs ?

Merci pour vos réponses... Bye @pluche )

...
-----

[guy_flavien]

Pour l'instant, je crois que le nombre Pi n'a pas de fin...
Justement on se sert d'Internet pour essayer de trouver les milliards de chiffres après la virgule de Pi. Et on rassemble tout pour pouvoir à chaque fois rajouter des chiffres. Donc normalement le nombre de Pi est infini et c'est pourquoi on arrondi Pi à 3,14.

Pi n'est pas le nombre d'or ! C'est deux choses différentes, je vais d'ailleurs t'expliquer ce qu'est le nombre d'or:
Le nombre d'or ou section dorée, ou encore divine proportion est un nombre qui correspondait au partage le plus harmonieux d'une grandeur en deux parties inégales.
Pour le calculer:
Si a et b (a étant plus grand que b) sont les deux parties de la grandeur p, nous avons: a/b = p/a. Comme p = a + b, nous trouvons a/b = (a+b)/a, donc a² = ab + b². En donnant la valeur 1 au plus petit, (b), nous obtenons a² -a = 1, donc a² -a -1 = 0. La racine positive de cette équation du second degré est 1+ racine de 5 sur 2 , soit 1,618, qui est le nombre d'or.

Le nombre d'or entre fréquemment dans le rapport des longueurs, des surfaces et des formes.
Par exemple en architecture, dans les monuments comme la pyramide de Khéops, le Parthénon, le dôme de Milan, le nombre d'or est utilisé.
Même dans les escaliers où nous marchons le nombre d'or est utilisé !
Car il sert pour qu'il y est une proportion, et donc une égalité parfaite.

J'espère que j'ai pu t'aider.

[Quinto]

Pi est irrationnel, à partir de là, il est clair qu'il ne pourra jamais etre "fini".

Si les ordinateurs cherchent des décimales de Pi, c'est aussi pour mettre en avant les systèmes de calculs très poussé des machines...

[Gaétan]

La série de maclaurin d'arctan nous donne ceci,
arctan x = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...
pour |x| < 1.
Mais cette série converge aussi pour |x| = 1.
On a donc, pour x = 1,
pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...
Ou,
pi = 4 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 - 4/11 + ...
Chaque terme donne une meilleur précision sur pi. Comme il y en a une infinité, pi comporte une infinité de chiffre après la virgule.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Quinto]

Ca ne prouve pas pour autant son irrationnalité....

[Gaétan]

C'est possible. Je ne vois pas comme une telle série pourrait être rationnelle en tout cas.
On peut aussi écrire,
pi/2 = lim(n->infini) [2.2.4.4.6.6. ... .2n.2n] / [1.3.3.5.5.7. ... .(2n-1).(2n+1)]

Je sais pas si on sait le démontrer, mais c'est clairement pas rationnel.

[Theyggdrazil]

www.pi314.net

[doryphore]

Pour Gaëtan:

2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...
et pourtant son écriture n'a pas forcément une infinité de chiffres après la virgule.

[invitef63f65b5]

Pi est un nombre irrationnel (il ne peut être exprimé sous la forme d'un raport de deux nombres naturels). Une conséquence de ceci est que ses décimales ne se répètent pas (y compris pas de répétition de 0, donc elles ne se terminent pas non plus). Inversement tout nombre dont les décimales se répètent est rationnel.

En plus d'être irrationnel (comme la racine carrée de 2), pi est transcendental, c'est à dire qu'il n'est pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (alors que la racine de 2 est solution de x^2 - 2 = 0). e est aussi un exemple de nombre transcendental.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_irrationnel

Pour la démonstration :
http://ns3131.ovh.net/~pi314/sitepdf/lambert.PDF

[Quinto]

On parle plutot de nombre transcendant non?
En opposition aux nombres algébriques qui sont des racines d'élements de Z[X]

[Gaétan]

Pour Gaëtan:

2=1+1/2+1/4+1/8+1/16+...
et pourtant son écriture n'a pas forcément une infinité de chiffres après la virgule.

Ben, je sais bien. J'ai pas dit que j'avais démontré quoi que ce soit, n'y même que je savais comme m'y prendre.
Dans la première expression du nombre pi, interviennent les inverses de tout les nombres impaires, parmis lesquels tous les nombres premier. Pour moi, ce fait est garant qu'il n'y a aucune périodicité possible dans les décimales.
Je ne sais pas si mon raisonnement ressemble à quelque chose et je ne le mets sûrement pas là en temps que démonstration.

[invite980a875f]

Salut,
dans un bouquin, j'ai lu une démonstration de l'irrationnalité de pi avec une suite d'intégrales. C'était trop compliqué pour moi, mais on faisait une intégrale de 0 à pi d'une fonction en supposant que pi était rationnel (de la forme a/b), et on voyait que c'était impossible. Si je me rappelle bien, il y avait une contradiction sur la convergence de la suite.

[invited04d42cd]

En plus d'être irrationnel (comme la racine carrée de 2), pi est transcendental, c'est à dire qu'il n'est pas solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers (alors que la racine de 2 est solution de x^2 - 2 = 0). e est aussi un exemple de nombre transcendental.

Je croyais que la différence entre les nombres irrationnels algébriques et les nombres irrationnels transcendants était que les transcendant ne pouvait être représenté graphiquement, contrairement aux nombres algébriques

[Jeanpaul]

Plus précisément un nombre algébrique peut être construit avec une règle et un compas. Par exemple racine(2) est obtenu comme la diagonale d'un carré de côté 1.

[Gaétan]

Pi est un nombre algébrique alors ? On peut le construire avec un compas.

[azt]

Pi est un nombre algébrique alors ? On peut le construire avec un compas.

Eh, non.
Quand on dit construire avec la régle et un compas,
La mesure se fait avec la régle en ligne droite et non pas en suivant une courbe (un cercle par exemple).

[Gaétan]

Ok ! Merci Mais il faut avouer que c'est pas très rigoureux comme définition.

[invited04d42cd]

Si pi était algébrique, la quadrature du cercle aurait été résolu depuis lgtps :P

[Jeanpaul]

Le problème de la quadrature du cercle a été résolu depuis un siècle : on a démontré que c'était impossible, donc on a résolu le problème.

[invited04d42cd]

Quand je disais résolution, je parlais de la trouvaille d'une solution. en effet, si pi est algébrique, il existe des solutions, puisqu'il a été démontré qu'il est transcendant, il n'y en a aucune.

[invite37968ad1]

Plus précisément un nombre algébrique peut être construit avec une règle et un compas. Par exemple racine(2) est obtenu comme la diagonale d'un carré de côté 1.

attention à la confusion: un nombre constructible est un nombre algébrique mais un nombre algébrique n'est pas forcément constructible (cf problème de la duplication du cube)
voir http://www.sciences-en-ligne.com/mom...1/Wantzel.html

[invitef6b6d2a1]

Alors, pour te répondre simplement, le nombre Pi est un nombre transcendental (!!). Cela signifie simplement qu'il a une infinité de décimales. Mais il n'existe pas que Pi qui est comme cela, racine(2) aussi et beaucoup d'autres. En réalité, les nombres transcendentaux ne peuvent pas se mettre sous le forme d'une fraction. Voilà j'éspère avoir répondu à ta question

[Coincoin]

les nombres transcendentaux ne peuvent pas se mettre sous le forme d'une fraction

Ca c'est la définition d'un nombre irrationnel Un nombre transcendant est un nombre qui n'est pas racine d'un polynôme à coefficients entiers. racine(2) n'est pas transcendant (il est donc algébrique) car il est racine de x²-2, par contre Pi est transcendant.

[invitef5cfbc87]

Pi n'est pas le nombre d'or ! C'est deux choses différentes, je vais d'ailleurs t'expliquer ce qu'est le nombre d'or:
Le nombre d'or ou section dorée, ou encore divine proportion est un nombre qui correspondait au partage le plus harmonieux d'une grandeur en deux parties inégales.

En parlant du nombre d'or, il y a un tres bon dossier sur ce site traitant du sujet.

[Quinto]

On parle de nombres transcendants (et pas transcendantaux).
Et ce ne sont pas ceux qui ne peuvent pas se mettre sous forme de fraction, mais ceux qui ne peuvent pas etre solution d'un polynôme à coefficients entiers.

Racine de 2 comme l'a dit très justement dit coincoin est solution de X²-2=0

Tout nombre rationnel est algèbrique c'est assez simple, si x est rationnel, il existe (p,q) dans ZxZ*, x=p/q et donc qx=p et qx-p=0 et donc ce nombre est solution de qX-p=0

Ce qui permet de remarquer que tout nombre transcendant est irationnel, mais bien entendu que le contraire n'est pas vrai, pour preuve racine de 2.

On peut même introduire le degré de tels nombre, comme le degré du polynôme à coefficients entiers minimal de ces nombres, ainsi pour tout x de Q-{0} x est de degré 1.
Racine de 2 est alors de degré 2... et on voit bien qu'il n'est pas transcendant par définition, et qu'il est irationnel (puisque de degré > 1 )

Un nombre pour lequel on ne connait rien sur sa nature algébrique est le nombre gamma appelé constante d'Euler-Mascheroni, qui est la limite de la somme des 1/k pour k de 1 à n - ln(n) pour n tendant vers l'infini.

On ne sait en effet pas à l'heure actuelle s'il est algébrique ou non, et en fait on ne sait meme pas s'il est rationnel ou pas ....
Pour ceux que ca amusent, ils peuvent chercher

[invitef6b6d2a1]

Bien joué pour le racine(2) qui n'est pas un nombre transcendental : t'as raison !

[invitefcfe9c77]

Humm j'allais demander si y'avait une démonstration général pour savoir si un nombre quelconque est transcendant ou non, mais après le post de quinto je me suis dit qu'il devait pas y en avoir . Mais est-ce qu'il y a des méthodes qui marchent pour plusieurs nombre, ou est-ce qu'il faut vraiment y aller au cas par cas ?
Sinon est-ce que vous auriez une démonstration de la transcendance (transcendantalité, transcendure ?), de pi, du même niveau que celle de son irrationalité ?
en tout ça je trouve très interessant moi ces problèmes de nombre transcendants (comment ça on s'en fout ?).

[Quinto]

RäF: transcendants !!!!!!!!

Cartman: non on a pas de tels algorithmes, en revanche on a des fonctions transcendantes connues, ce qui veut dire que ces fonctions "prisent" en certains points (entiers ou rationnels) sont des nombres transcendants.
C'est le cas des fonctions sinus cosinus ln et exp notamment.
On a démontré que e était transcendant, ainsi que tout nombre a_i de la forme ke^a1+k2a^2+....+kna^n=0 avec k_n et a_n non tous nuls (en fait ca fait longtemps que j'ai pas touché à ces trucs, je crois que c'est ce que nous racconte le théorème, c'est à confirmer...)

Ainsi on montre que Pi est transcendant puisque e^(IPi)+1=0

On a cos(n) et sin(n) transcendant ainsi que ln(n) et ainsi de suite...
ca s'en déduit.

[invitefcfe9c77]

Humm, si tu trouve un lien pour la démo avec les nombre de la forme
ke^a1+..... je serais bien preneur elle a l'air sympa )). C'est vrai que maintenant que tu le dit, une fois qu'on démontré a e transcendant (si t'as une démo je suis encore preneur !!!), les cos sin et ln (avec les valeurs qu'il faut) en découle.
J'aimerais quand même voir la démo, parce qu'on a vu en cours (j'était qu'un petit terminale), que la notation e^"irrationel", ou a^"irrationel", était justemment une simple notation sans "valeur mathémique", on doit se trouver confronté à ça non à un moment ? (du moins j'ai l'impression ...).
Encore merci pour ces infos quinto (et les autres d'ailleurs).

[doryphore]

Faut rester tout de même prudent. A ma connaissance l'ensemble des nombres transcendants n'est pas doté d'une structure algébrique très intéressante.
Est-ce au moins un groupe additif ??