Pythagore: un théoréme ?

[dragoon76p]

Bonjour à tous,

Je pensait aujourd'hui pendant un cour de math (sur les espaces metriques ^^ ) que pythagore n'est pas un théoréme mathématique à proprement dit mais plutot une définition.

Je m'explique, que dit pythagore? Il dit que dans R² la norme de (a,b) est (a²+b²)^1/2. Hors ceci n'est qu'une définition et à fortiriori, la définition de la norme 2, qui n'est qu'une norme parmi l'infinité que l'on peut définir.

Ce que je veux dire c'est qu'il n'y a pas de définition rigoureuse de systéme mathématique (classique) dans lequel Pythagore est effectivement un théorème (se déduisant/demontrant à partir des axiomes) et non pas un axiome.

Pour moi Pythagore est plutôt un théorème de physique qui dirait: Dans le monde extérieur la distance entre 2 points d'un plan de coordoné (a,b) et (c,d) dans un repére orthonormé; c'est a dire le plus cour chemin entre ces 2 points à pour expression ((a-c)²+(b-d)²)^1/2 .

Voila, je me suis dit ca aprés je voullait savoir si ce que je dit semble vrai ou si je suis totalement à coté de la plaque

qu'en pensez vous?
-----

[invite6754323456711]

Bonjour,

Exemples de démonstrations géométriques du théorème de Pythagore dans la théorie axiomatique d'Euclide :

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv...%A9monstration
http://www.palais-decouverte.fr/index.php?id=858
http://www.maths.ac-aix-marseille.fr...classique.html

...

On considère que les éléments d'Euclide sont le premier exemple de théorie axiomatique, même si quelques axiomes étaient restés implicites.
http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l...ts_d%27Euclide

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

Un fil intéressant sur le théorème de Pythagore : http://forums.futura-sciences.com/ma...pythagore.html

Patrick

[dragoon76p]

bonjour, merci pour tes réponses:

Comme tu l'as dit les 5 axiomes d'euclides ne sont en fait pas sufisant pour définir rigoureusement un systeme mathématique. A moins que je me trompe euclide ne définie meme pas la longeur d'un ségment (sinon j'aimerai bien la connaitre). Et en mathématique on ne peut pas parler et faire de calcul sur quelque-chose (ici la longeur d'un ségment) si il n'as pas été définie rigoureusement !

je vais regarder ce topic

+

[A voir en vidéo sur Futura]

[dragoon76p]

Je voullait ajouter que le raisonement mathématique ne doit pas se baser sur la perception et doit meme en etre détachée. Alors avant de faire des dessin et de faire des demonstration sur ces dessin il faut définir correctement un ensemble mathématique et démontrer que cet ensemble peut etre représenté par ces dessin.

Donc je serait intérressé de connaitre la définition compléte et précise (si elle existe) de la géométire d'euclide, définissant notemment ce qu'est un point,un segment ,une distance , une droite, un cercle, et tout ce dont on parle dans cette géométrie. Pour comprendre dans quel contexte pythagore peut etre un théoréme

+

[Thorin]

Cherche du côté des espaces vectoriels, des espaces euclidiens, des espaces affines...

[dragoon76p]

J'ai éfféctivement toruvé dans l'autre topic un espace dans lequel pythagore n'est pas directement un axiomes (bien que pas loin car le niveau de déduction n'est pas trés éllevé):

en gros dans l'espace vectoriel R² on definit un produit scalaire par (x,y).(x',y')=x*x'=y*y'. (il s'agit apparement alors d'une géometrie d'euclide celon l'autre topic)
et la norme d'un vecteur sexprime ||(x,y)||²=(x,y).(x,y)

On a alors ||(x,y)||= (x*x+y*y)^(1/2)=(x²+y²)^(1/2) d'ou pythagore.

Pythagore se deduirai alors de la définition du produit scalaire, mais c'est pas trés réchérché. Car je pense que à la base le produit scalaire a plutot été définie pour correspondre à pythagore que l'inverse, (d'ou pythagore une définition).

Deplus a mes yeux je n'est toujours pas trouvé de validité mathématique (si il en existe une) pour les demonstration sur les dessin.

Voila ou j'en suis
+

[Thorin]

On s'en fout que à la base, le produit scalaire ait été ou non fait pour respecter pythagore plutôt que l'inverse. L'important est qu'avec nos définitions, on arrive à le retrouver. Et puis normalement, on est habitué à considérer pythagore comme cas particulier depuis la première S (cas particulier d'Al Kashi)

[erik]

Car je pense que à la base le produit scalaire a plutot été définie pour correspondre à pythagore que l'inverse

Oh, pas du tout (je pense que tu ne connais pas la définition d'un produit scalaire), le produit scalaire a été introduit assez tardivement en math (et pas pour faire plaisir à Mr Euclide), il est définie comme une forme bilinéaire symétrique définie positive.

Des produits scalaires, on peut en définir des masses, sans aucun rapport avec Pythagore, jette un oeil ici : http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_pr%C3%A9hilbertien

[dragoon76p]

C'est exactement ce que j'ai dit erik, on peut définir une infinité de produit scalaire, mais on a choisit celui-ci comme produit scalaire usuel car avec celui-ci pythagore (qui est considéré comme vrai depuis des centaines d'années) reste vrai.

(en fait quand j'ai dit "Car je pense que à la base le produit scalaire a plutot été définie pour correspondre à pythagore que l'inverse" je voullait parler du produit scalaire usuel).

je sais pertinament que la produit scalaire a été défini bien aprés pythagore et euclide. c'est pour ca que je dit que pythagore n'a pas été deduis de la définition du produit scalaire usuel, mais a été considéré comme vrai car ca semble vrai dans une base otrhonormé dans le monde extérieur

[erik]

mais on a choisit celui-ci comme produit scalaire usuel car avec celui-ci pythagore reste vrai

Non on choisit celui ci (le plus souvent), parce que ce produit scalaire permet de définir une distance, et cette distance correspond à notre expérience quotidienne.

En choisissant un autre produit scalaire le tunnel sous la manche risque d'arriver au milieu de l'atlantique, le pont de l'ile de Ré en alaska ....

Il y'a une distance naturelle, celle que tu mesures avec ton décimètre, et cette distance est liée à la définition du produit scalaire "usuel"

[dragoon76p]

Oui on definie ce produit scalaire parcequ'il correspond à la distance qui correspond a notre experrience quotidiénne, ce qui correspond a pythagore.

La distance intuitive c'est celle qui correspond à la norme 2 definie par ... pythagore (||(x,y)||= (x²+y²)^1/2 )

C'est pour moi ce que dit pythagore, il dit la distance intuitive correspond à la norme 2 et au produi scalaire définie par (x,y).(x',y')=x*x'+y*y'

[invité576543]

J'ai effectivement trouvé dans l'autre topic un espace dans lequel pythagore n'est pas directement un axiomes

Il me semble que la méthode proposée revient à définir un espace muni d'un produit scalaire et respectant les axiomes, plutôt qu'une démonstration de la construction d'une distance à partir des axiomes.

Or une telle construction doit exister. Je n'ai pas creusé les détails, ni n'ai de source, mais la piste qu'il me semble raisonnable de suivre consiste à construire une classe d'équivalence entre paire de points, comme suit :

- Si O est le centre d'un cercle, A et B deux points de ce cercle alors (O,A) == (O,B)

- Si (A, B, C, D) est un parallélogramme alors (A,B)==(C,D)

Ce qui doit suffire pour définir complètement la relation.

Les notions de cercle et de parallélogrammes sont définies ou définissables à partir des axiomes d'Euclide.

L'étape suivante consiste à construire une application f de ces classes sur R, en imposant la propriété suivante

(P1) si A,B,C sont sur la même droite dans cet ordre alors f(A,B)+f(B,C) = f(A,C)

Une fois l'existence de f démontrée et f construite, on en choisit une, on l'appelle "distance", les coordonnées cartésiennes peuvent être définies et le théorème de Pythagore démontré.

---

Maintenant, sur le fond, je suis d'accord avec toi : la distance, en tant qu'application dans R, demande quelque chose de plus des axiomes d'Euclide. Ceux-ci permettent de construire l'équivalence entre bipoints, mais pas l'application entre les classes et R, pas même à un coefficient multiplicatif près. Dans la construction ci-dessus, la distance est définie (à un coefficient multiplicatif près) par P1, qui n'est pas quelque chose d'imposé par les axiomes d'Euclide.

Autrement dit, les axiomes permettent de définir l'égalité de distance entre deux paires de points, mais pas une valeur numérique de cette distance. (Et le théorème de Pythagore porte sur des valeurs.)

Cordialement,

[invité576543]

Non on choisit celui ci (le plus souvent), parce que ce produit scalaire permet de définir une distance, et cette distance correspond à notre expérience quotidienne.

En choisissant un autre produit scalaire le tunnel sous la manche risque d'arriver au milieu de l'atlantique, le pont de l'ile de Ré en alaska ....

Il y'a une distance naturelle, celle que tu mesures avec ton décimètre, et cette distance est liée à la définition du produit scalaire "usuel"

C'est un raisonnement de physicien, cela n'a rien à voir avec l'axiomatique.

Tu es juste en train de dire que la géométrie d'Euclide avec la distance qui va bien est un bon modèle physique, ce qui explique l'importance qu'on y donne. Mais cela ne dit pas grand chose sur la relation entre les axiomes et la distance, à part leur compatibilité mutuelle.

Cordialement,

[dragoon76p]

Michel -> je suis pas sur d'avoir compris tout ce que tu a dit mais:

pour moi,

- Si O est le centre d'un cercle, A et B deux points de ce cercle alors (O,A) == (O,B)

- Si (A, B, C, D) est un parallélogramme alors (A,B)==(C,D)

ca n'as rien a voir avec la définition d'un distance mais c'est la définition du cercle et d'un parallélograme.

deplus l'allignement de point correspond a la colinéarité , habituellement definie par ||u||=a*||v|| avec a apartenant à K .

Sinon si tu veux la définition classique d'un distance c'est la suivante:

On appelle distance toute appliquation d de E² -> R (E un espace vectoriel)
tel que:

1°) pour tout (x,y) de E d(x,y)=0 <=> x=y
2°) pour tout (x,y) de E d(x,y)=d(y,x)
3°) pour tout (x,y,z) de E d(x,y)<=d(x,z)+d(z,y)

je commence vraiment a me dire que au moins pour ce théoréme pythagore n'est pas un mathématicien mais un physicien

voila

[invité576543]

ca n'as rien a voir avec la définition d'un distance mais c'est la définition du cercle et d'un parallélograme.

Tu le prends à l'envers, par habitude de la distance, j'imagine.

Les axiomes d'Euclide définissent le cercle et le parallélogramme sans référer à la distance. Le cercle a droit à un axiome juste pour lui, et le parallélogramme se définit à partir de l'axiome des parallèles (le fameux cinquième).

deplus l'alignement de point correspond à la colinéarité ,

Pareil. L'alignement est défini par les axiomes d'Euclide sans référer à la distance!

---

Si tu veux vraiment te poser la question si Pythagore se déduit des axiomes d'Euclide, il est impératif que tu partes des axiomes eux-mêmes et que tu comprennes quelles sont les notions qui dérivent des axiomes sans référer du tout à la notion de distance!

Si ce qui t'intéresse est autre chose que les axiomes d'Euclide, il faudrait que tu précises en détail de quels axiomes tu désires partir.

Cordialement,

[dragoon76p]

Moi je veux bien raisonner sur n'importe quel axiomatique.

mais la tu parle de "cercle" ou de "parallélogramme" sans définir ce que c'est.

Pour moi un cercle c'est l'ensemble des point situé a la meme distance du centre. Mais c'est la distance que tu définie par cette propriété il faut nessécairement défnir le cercle d'un autre maniére. On peut pas se permettre de raisonner sur des objet sans défninir ce que c'est.

comment définirai tu c'est objets dans ta défnition d'euclide?

[Médiat]

Pour avoir une vision un peu plus moderne qu'Euclide, il y a Hilbert (1900) et en particulier "Les principes fondamentaux de la géométrie" :
Hilbert
On peut y lire :

La valeur de cet axiome [axiome d'intégrité] au niveau des principes tient donc à ce que l'existence de tous les points limites en est une conséquence et que, par suite cet axiome rend possible la correspondance univoque et réversible des points d'une droite et de tous les nombres réels

La dessus, Hilbert précise qu'il n'utilise pas cet axiome dans lereste de cet ouvrage.

A tout hasard, le théorème de pythagore n'y est pas démontré, mais seulement évoqué comme une conséquence élémentaire d'autres théorèmes (chapitre 4 §19).

[invité576543]

mais la tu parle de "cercle" ou de "parallélogramme" sans définir ce que c'est.

Je répète : le cercle est défini par un des axiomes d'Euclide (le troisième sur la liste du Wiki), et on définit un parallélogramme à partir des quatre intersections de deux paires de droites parallèles (avec les restrictions qui vont bien), toutes ces notions (droites, parallèles, intersections) étant définies par les axiomes d'Euclide (dont le cinquième).

Avec les axiomes d'Euclide, il n'y a absolument pas besoin de la notion de distance pour ces deux notions.

Cordialement,

[dragoon76p]

je vais réfléchir un peu sur les 5 axiomes d'euclide:

1. Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques.
2. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite.
3. Etant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre.
4. Tous les angles droits sont congruents.
5. Si deux lignes sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.

tu remarquera d'abord qu'il ne parle pas du tout de parallélogramme.

Mais en tous les cas si la somme de ces 5 axiomes plus la définition de la distance que tu a donné tout à l'heure est l'axiomatique, je ne vois pas comment démontrer pythagore.

C'est a dire qu'il faudrait pourvoir faire une combinaison logique des axiomes et arriver au théoréme. (on peut ecrire formellement qu'un théoréme est une "somme" d'axiomes).

comment démontrerai tu alors rigoureusement pythagore dans conditions la?

parceque les petits dessin ne démontrent rien du tout par rapport à cet axiomatique

[invité576543]

tu remarquera d'abord qu'il ne parle pas du tout de parallélogramme.

Ni même de triangle ou de quadrilatère... Mais on y parle de droites parallèles, ce qui permet de définir un quadrilatère dont les faces opposées sont parallèles. Prends le comme tu veux, mais la notion de distance n'est pas nécessaire pour bonne partie de la géométrie!

comment démontrerai tu alors rigoureusement pythagore dans conditions la?

En construisant un repère cartésien à partir de deux droites orthogonales et la distance entre l'intersection des droites et les projections sur ces droites. Cela permet une bijection avec R², et on montre que l'application sur le plan définie à partir de celle (définie algébriquement) sur R² respecte la congruence et la propriété P1.

Cordialement,

[invité576543]

Je corrige mon dernier message :

Cela permet une application du plan vers R², et on montre que la distance sur le plan définie à partir de celle (définie algébriquement) sur R² respecte la congruence et la propriété P1.

Cordialement,

[Médiat]

comment démontrerai tu alors rigoureusement pythagore dans conditions la?

Regarde le livre de Hilbert Chapitre 4 §19

[dragoon76p]

Alors justement sur les 5 postulat que j'ai citée il y en a pas un qui parle de droite paralléle ce qui me fait me demander si il s'agit des bon postulat. c'est pourtant ce que j'ai trouvé sur wikipédia et sur pas mal d'autre sites.( http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89l...ts_d%27Euclide )

si je comprend bien ton raisonnement:
-Il existe au moins 2 droite formant un angle droit on en prend 2: d1 d2 (ce qui n'est pas dit dans les postulat mais bon admeton le...)
- Pour tout point M il existe qu'un seul point a l'intersection de d1 et des parralléle à d2 passant par M (ce qui n'est pas non plus démontrable par les postulat car ils ne parlent pas de parralléle mais bon...)
-on a donc un "projeté" sur d1 et d2 pour tout point M que l'on note Mx et My on peut alors définir une appliquation de l'ensemble des points vers R² : M-> (d(O,Mx);d(O,My)). Avec O l'intersection de d1 et d2 (en considerant qu'elle est reduite à un seul point ce qui reste également a démontrer si possible).

Alors aprés avoir fait toutes ces aproximation je suis trés content car je retombe sur quelque chose que je connais. Mais maintenant il va me falloir calculer d(0,M) en fonction des coordonés pour démontrer pythagore. Et la bah je suis bien embété puisque comme tu le dit la distance n'est pas définit numériquement meme pas a une constante prés.

...

[invité576543]

Alors justement sur les 5 postulat que j'ai citée il y en a pas un qui parle de droite paralléle ce qui me fait me demander si il s'agit des bon postulat. c'est pourtant ce que j'ai trouvé sur wikipédia

Sur le wiki que tu cites :

Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », a toujours semblé moins évident que les autres.

Parallèles étant défini comme "non sécantes".

---

Et la bah je suis bien embété puisque comme tu le dit la distance n'est pas définit numériquement meme pas a une constante prés.

Ce qui est défini (et c'est même mis en premier dans l'approche de Hilbert dans le livre indiqué par Médiat) c'est la notion de congruence, de classe d'équivalence "même longueur", des segments.

L'approche que je proposais était de définir une longueur numérique à partir de cela.

Mais ce qu'indique Médiat et décrit par Hilbert est qu'on peut démontrer le théorème de Pythagore sans la notion de distance, en définissant une notion d'égalité d'aire entre polygones, et en prenant comme version du théorème de Pythagore l'égalité de l'aire du carré construit sur l'hypothénuse et de la "somme" des aires des carrés construits sur les autres côtés. Et cela se démontre alors par des "petits dessins" décomposant judicieusement ces carrés en triangles.

Sous cette version, non analytique, du théorème, il suffit de définir la notion d'aire comme indiqué dans le livre de Hilbert.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Bonsoir,

On trouve aussi une démonstration à l'aide de la notion d'aire dans wikipédia : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A...e_de_Pythagore

Patrick

[dragoon76p]

merci pour vous réponses,

Bon je suis toujours pas convaicu, j'ai peut etre une facon de penser bizar...

Ce qui me derange c'est que apres avoir définie toute les notion aussi bien que vous voullez, dans ce cas des "petit dessins", la disposition des points est jugé "possible" parecque c'est dessinable sur une feuille. Ca ne dépend alors plus d'une définition mathématique mais du monde exterieur.
Et non seulement dans les axiomes et les définition rien n'indique qu'il existe nessecerement une disposition des point et segment comme indiqué sur les dessins
Mais en plus dans ces axiomes rien ne dit qu'il ne peut pas exister de dispositions des points ABC tel que l'angle ABC est droit et d(A,B)=d(B,C)=d(A,C)=2. Dans ce dernier cas vous allez me dire cette disposition est impossible uniquement car on ne peut pas le dessiner et donc car ca ne marche pas dans le monde exterieur.

voila en fait je pense que j'aurait compris , une fois que je saurait avec quel axiome la disposition précedente des points serait en contradiction.

+

[Thorin]

rien ne dit qu'il ne peut pas exister de dispositions des points ABC tel que l'angle ABC est droit et d(A,B)=d(B,C)=d(A,C)=2. Dans ce dernier cas vous allez me dire cette disposition est impossible uniquement car on ne peut pas le dessiner et donc car ca ne marche pas dans le monde exterieur.

Ah non, moi, je dis que cette disposition est impossible car elle ne respecte pas le théorème de pythagore ; et je n'ai nul besoin de dessin pour démontrer le théorème pythagore, en partant des structures habituelles d'espace euclidien.

[dragoon76p]

Ah non, moi, je dis que cette disposition est impossible car elle ne respecte pas le théorème de pythagore

c'est assez ironique car je démande avec quel(s) axiome(s) c'est en contradiction et tu me repond avec pythagore lol, (alors que vous tenter de montrer que pythagore n'est pas un axiome mais un théoréme)

et je n'ai nul besoin de dessin pour démontrer le théorème pythagore, en partant des structures habituelles d'espace euclidien.

C'etait pas ce qu'avait l'air de dire michel et u100fil. J'aimerai bien entendre cette demonstration. mais qu'appelle-tu "les structures habituelles d'espace euclidien" si il s'agit des espace vectoriel et du produit scalaire on retombe sur ce que je disait il y a une 15éne de messages et ou je disait que le produit scalaire usuel avait été défini pour correspondre a pythagore (et ou on m'as dit que dans la géométrie d'euclide pythagore se démontrait avec les 5 axiomes de bases).

+

[Thorin]

Ce sont 2 visions parfaitement indépendantes.
soit on peut faire avec les axiomes d'euclide, soit on refait tout avec les espaces vectoriels, sans parler des axiomes d'euclides ; on définit alors ce qu'est un produit scalaire, puis ce que sont des vecteurs orthogonaux, et le théorème de pythagore version vectoriel est alors une évidence. Peu importe que à la base, le produit scalaire ait été construit pour marcher avec pythagore, l'important, c'est qu'on peut tout reconstruire en définissant d'abord le produit scalaire, que le théorème de pythagore peut se démontrer à partir du produit scalaire, sans avoir à parler de théorème de pythagore dans la construction du produit scalaire.