Existe-t-il une infinité de nombres premiers ?

[inviteb47fe896]

A François
Je vais sur 77 alors ?..
Merci pour l'intention et bon courage pour la recherche : c'est ce qui est important
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[invite6de5f0ac]

La formule de Minac et Willans donne tous les nombres premiers dans l'ordre (et rien que des nombres premiers):
Sinon il y a aussi des formules un peu plus simples, qui ne donnent que des nombres premiers (mais pas forcément tous, ou alors avec répétition).

Bouffre... ce n'est pas précisément ce que j'appelle "simple", mais bon, après tout, même les groupes simples sont compliqués (c'était la blague de Michel Denisot).

Je suis quand même étonné de voir (sur mathworld) qu'il est relativement facile de construire des fonctions pour énumérer les nombres premiers, même si elles sont inutilisables en pratique.

Gag: Il est peut-être possible de faire quelque chose en partant de la Constante de François (modestie mise à part):
f=2,35711131719232931374143475 3...
Comment ça, c'est de la triche?

-- françois

[leg]

bonjours a tous .
pour rester dans le sujet, et pour faire simple dans l'infinité des N premiers.
on peut donc dire que si la suite croissante des entiers naturels N > 0, tel qu'il existe toujours N +1 c'est par ce qu'il existe une infinité de N premiers!

les nombres premiers produisent et déterminent la place des n composés afin qu'ils puissent s'intercaler en respectant l'ordre naturel croissant : N + 1
d'où l'algorithme P(30).

[matthias]

C'est un peu prendre le problème à l'envers. Comment tu définis les nombres premiers sans savoir ce qu'est un entier naturel ?

[leg]

la démonstration d'Euclide ne fait pas état de ta question, ni d'ailleurs les autres démonstrations existant sur l'infinité des n premiers..
je ,ne pense pas prendre le problème a l'envers c'est la simple conclusion de l'infinité des N.premiers..non ?
si j'ecrit sur une droite de 1 a l'infini l'ensemble des entiers naturel, ex:
1,2, puis par ex 4, , 8,seul le nombre premier 3 peu s'intercaler entre 2 et 4 , puis le produit de 2 et 3 =6 ,il me faut intercaler a nouveau un nombre premier 5,
ce n'est donc que la conclusion évidente, sinon l'algorithme P(30) ne fonctionnerait pas.
Ou si tu veux c'est la simple conclusion de la démonstration d'Euclide...
Maintenant, sur Wiquipédia il y a la réponse a ta question!

[invited04d42cd]

Moauis, ca ressemble à du Erastosthène

[matthias]

La démonstration d'Euclide considère des nombres de la forme p1.p2 ......pn + 1, qui ne signifie rien si on a pas déjà l'ensemble des entiers naturels, la multiplication et l'addition sur cet ensemble.

Maintenant, sur Wiquipédia il y a la réponse a ta question!

Quelle question ?

Soit je suis particulièrement borné, soit tu t'exprimes très mal (comme d'hab quoi ...).

[leg]

Comment tu définis les nombres premiers sans savoir ce qu'est un entier naturel ?

comme d'habitude ...je vais sur Wikipédia...!
c'est bien une question..que tu me pose ?

en faisant référence a la démo d'Euclide et aux premiers post de ce fil

si j'écrit les entiers naturel 1,2,3,4,5...12..31 n et n+1
si le nombre de n premiers était fini, est ce qu'il y aurait toujours une différence de 1 entre deux entiers naturels consécutif ?

donc si je prend ces 5 premiers entiers naturels que sont 1.2.3.4.5, quel entier ou quel produit je peux faire avec ces nombres, 6,8,9,10,12 pour les plus petit..etc

quel sont les entiers naturels qui manquent pour respecter l'ordre croissant n+1 : des entiers naturels PREMIERS 7,11 ..etc etc; c'est bien le principe même de la Démo d'Euclide.

(et si comme d'habitude je m'exprime mal ,tu as toujours le besoin d'en rajouter..a moins que ce forum ne soit réservé qu'aux nanti.)

[invitefbde31ad]

Je ne sais pas sur quoi exactement vous arguez, cependant je propose mon énoncé de la preuve (sans doute y avez-vous déjà répondu dans les posts précédents, mais ça me fera voir s'il y a une faille dans l'énoncé de "mon" raisonnement) :

On suppose qu'il existe un nombre premier plus grand que tous les autres, nommé P. On considère le produit (noté N) de tous les nombres premiers compris entre 2 et P, P inclus.
N = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... x P

On considère maintenant N+1. Montrons que N+1 est premier : on raisonne par l'absurde. Supposons que N+1 n'est pas un nombre premier, N+1 pourrait alors s'écrire comme produit de nombres premiers. N+1 serait donc divisible par un nombre premier inférieur à lui, qu'on note M. Mais M divise N (par définition de N). On en conclut qu'en divisant N+1 par M, il nous reste un reste égal à 1. Ce qui est une contradiction avec le fait que M divise N+1. Donc N+1 est bien premier.

On vient donc de montrer que N+1 est premier supérieur à P, ce qui est contraire à la définition que l'on a posé de P.

[matthias]

est ce qu'il y aurait toujours une différence de 1 entre deux entiers naturels consécutif ?

C'est bien ce que je dis tu prends le problème à l'envers. Tu parles d'entiers naturels, donc tu supposes leur existence. Donc tu supposes en même temps que la différence entre deux entiers naturels consécutifs est 1, parce que c'est comme ça que sont construits les entiers naturels.

Donc deux solutions pour moi:
- soit ce que tu essaies de faire est une démonstration de l'infinité des nombres premiers par l'absurde assez obscure,
- soit tu essaies de reconstruire l'ensemble des entiers naturels d'une manière différente en postulant d'abord l'existence de nombres que nous appelerons "premiers", et là j'attends de voir.

Sinon tu te réfères sans arrêt à Wikipedia, mais aurais-tu une page à proposer qui aille dans ton sens ?

(et si comme d'habitude je m'exprime mal ,tu as toujours le besoin d'en rajouter..a moins que ce forum ne soit réservé qu'aux nanti.)

Désolé, mais tu es un des rares qui parle de choses relativement simples sans que je n'en comprenne un mot.
Et c'est quoi le rapport avec les nantis ?

[matthias]

On vient donc de montrer que N+1 est premier supérieur à P, ce qui est contraire à la définition que l'on a posé de P.[/I]

Non N+1 n'est pas nécessairement premier, mais admet nécessairement un diviseur premier strictement supérieur à P.
Voire les posts précédents.

[invitefbde31ad]

Oui, mais ma démonstration se base sur le fait que P est supposé le plus grand nombre premier. C'est très important dans la démonstration (M est donc inférieur à P!). Et c'est grâce à ça que je conclus, au final, par l'absurde, que P n'est pas le plus grand nombre premier.

[matthias]

Oui, mais ma démonstration se base sur le fait que P est supposé le plus grand nombre premier.

Oui pardon, j'ai lu un peu rapidement. Ca a l'air de fonctionner.

[inviteb47fe896]

Merci Metame ; je ne me souvenais pas exactement de la démonstration que j'avais apprise en Mat Elem ;il y a donc longtemps déjà ; je savais que la conclusion était que N était alors premier, le reste était un peu dans les brumes.

[leg]

:

On suppose qu'il existe un nombre premier plus grand que tous les autres, nommé P. On considère le produit (noté N) de tous les nombres premiers compris entre 2 et P, P inclus.
N = 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x ... x P

On considère maintenant N+1. Montrons que N+1 est premier : on raisonne par l'absurde. Supposons que N+1 n'est pas un nombre premier, N+1 pourrait alors s'écrire comme produit de nombres premiers. N+1 serait donc divisible par un nombre premier inférieur à lui, qu'on note M. Mais M divise N (par définition de N). On en conclut qu'en divisant N+1 par M, il nous reste un reste égal à 1. Ce qui est une contradiction avec le fait que M divise N+1. Donc N+1 est bien premier.

On vient donc de montrer que N+1 est premier supérieur à P, ce qui est contraire à la définition que l'on a posé de P.

bonjours a tous,

à moins d'une erreur de ma part, pourquoi N+1 serait premier?

M divise N , donc M serait bien un nombre premier compris entre 2 et P ou = P, donc effectivement il ne divise pas N+1 , mais cela ne fait pas pour autant de N+1 un nombre premier,(exempl 30031) mais par contre il existe effectivement un nombre premier X > P et < N+1, en supposant tel que cela est précisé que N + 1 serait le produit de nombres premiers ; au début de la supposition il n'est pas dit que P est le dernier nombre premier jusqu'à N, il est inclu dans N ! Mais si et seulement si c'est le cas, alors oui N +1 est premier!

Matthias
je n'ai pas cherché à démontrer l'infinité des premiers , la démonstration d'Euclide est largement suffisante est claire, ni de réecrire les entiers naturels ,
mais un simple constat si N+1 existe c'est bien par ce qu'il existe une infinité de premier, sinon quel nombre serait N+1...et on ne pourrait pas écrire la démonstration d'Euclide...

[invitefbde31ad]

M divise N , donc M serait bien un nombre premier compris entre 2 et P ou = P, donc effectivement il ne divise pas N+1 , mais cela ne fait pas pour autant de N+1 un nombre premier,(exempl 30031) mais par contre il existe effectivement un nombre premier X > P et < N+1, en supposant tel que cela est précisé que N + 1 serait le produit de nombres premiers ; au début de la supposition il n'est pas dit que P est le dernier nombre premier jusqu'à N, il est inclu dans N ! Mais si et seulement si c'est le cas, alors oui N +1 est premier!

Effectivement, 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031 n'est pas un nombre premier, mais 13 n'est pas le plus grand nombre premier non plus. D'où l'importance de l'hypothèse du départ. Du reste, P est supposé le plus grand nombre premier, il est donc inférieur à N et N+1.

[inviteb47fe896]

Le raisonnement d'Euclide est typiquement un raisonnement "par l'absurde". On suppose que p est le plus grand nombre premier et on montre que "dans ce cas" il existe un nombre premier plus grand que lui et que ce nombre est le produit de tous les nombres premiers augmenté de un. Dans la réalité les choses sont différentes bien entendu.
Point barre, comme a dit quelqu'un avant moi.

[leg]

donc tu supposes que P < N est le plus grand de la suite qui commence avec 2, dans ton hypothèse de départ!

Ce qui sous entend par supposition qu'il n'y en a pas d'autre jusqu'à N.

donc effectivement N+1 ne peut être que premier.

[inviteb47fe896]

Non, on montre que si l'on suppose que " P est le plus grand de tous les nombres premiers" alors cette supposition est "absurde" puisque dans "ce cas" on peut produire un nombre premier qui est plus grand que P.

[engeneermath]

Bonjour,
Est ce que ce forum existe toujours et merci.

[albanxiii]

Bonjour et bienvenue sur le forum,

Oui, si vous aviez lu des discussions récentes vous l'auriez remarqué. Là vous avez remonté un fil vieux de 17 ans ! Je pense que c'est le record, ou en tout cas pas loin.

[engeneermath]

Bonsoir,
Tout d'abord, merci de m'avoir inscrit dans ce forum.
Est ce que je peux vous proposer une autre démonstration de l’infinité de l’ensemble des nombres premiers et merci.
Cordialement.

[gg0]

Bonjour.

Depuis la preuve d'Euclide, il y a 2300 ans, il y en a eu pas mal d'autres. Si tu penses que ta preuve peut apporter quelque chose, ou bien si tu doutes de ton raisonnement, tu peux bien sûr publier cette démonstration. Vérifie quand même qu'il n'y a pas d'erreur grossière.

Cordialement.

[engeneermath]

Bonjour,
Veuillez trouver trouver ci-joint la démonstration en question et merci.
Cordialement.
RA

[gg0]

Bonjour.

Voilà ce que j'en pense :
* une preuve en 3 pages pour ce que Euclide, il y a 2300 ans prouvait en quelques lignes, est-ce utile ?
* la rédaction est bâclée. Par exemple pour pouvoir dire p_m divise n-p_m ==> p_m<n-p_m il faut que m soit suffisamment grand, or aucune taille de n ou m n'est précisée.
* la preuve n'est pas faite dans les règles, la fin se perd dans un baratin non mathématique.
* la preuve n'est pas structurée, on ne sait pas où on va.

Finalement, un texte sans grand intérêt, qui utilise le même argument qu'Euclide sans avoir la même efficacité.
Tu ne donnes pas ton âge, ni tes compétences, et tu utilises des arguments de lycéen. Si tu es lycéen, c'est une bonne idée d'avoir essayé.

Cordialement.

[engeneermath]

Bonjour,
Je m'excuse je me suis trompé de forum,
Si on ne sait pas que si un nombre divise un autre alors le premier est inférieur au deuxième (ça n'a rien à voir avec la taille ni de m ni de n!!!) alors là franchement je me retire.
Cordialement.

[gg0]

Effectivement, il vaut mieux que tu ailles ailleurs que sur un forum de maths. Car tu as écrit < ce qui est faux pour m=2 : 3 divise 6-3 mais 3<6-3 est faux.

[engeneermath]

Des futilités: inférieur ou inférieur ou égal tu as pris le seul cas où ils sont égaux et tu veux généraliser : quelle critique destructive et non constructive.
D'ailleurs même si tu as vu et je ne crois pas parce qu'à mon avis tu fais partie des chasseurs d'erreurs(le diable se cache entre les lignes) et de ceux qui cherchent à rendre erroné une démonstration coûte que coûte pour une raison ou une autre, j'ai bien cité dans ma preuve qu'on prend pm aussi grand que l'on veut et automatiquement n>>>.
Ça montre que vous faites partie de ceux qui sont aveuglés par la déraison.
D'autre part, tu n'est pas le doyen des forums de mathématiques pour me dire où je dois aller.
Apparemment tu es le seul membre de ce forum.
Tu as cité lycéen, je doute que tu es peut-être au courant d'un autre écrit sur le même sujet.

[gg0]

1) Je ne suis pas le seul membre de ce forum, même si je réponds souvent.
2) J'ai montré un exemple de rédaction floue, tu es venu contester avec une affirmation fausse. Tu prends des bâtons pour te faire battre.
3) Je ne suis pas "aveuglé[s] par la déraison", pas plus à ton propos que d'habitude. Mais cette expression montre que tu croyais avoir fait quelque chose de génial. Désolé, ce n'est pas le cas.
4) Ta dernière phrase n'a aucun sens.
5) Je suis effectivement un "chasseur[s] d'erreurs" puisque je fais des maths. Et qu'une démonstration doit être sans erreur. C'est la première responsabilité de celui qui l'écrit.

Cordialement.

[engeneermath]

Non pas du tout, je ne cherche pas à montrer que j'ai trouvé quelque chose de génial mais plutôt lorsqu'on aborde un sujet mathématique sous plus ou moins un autre angle même s'il est déjà traité, personnellement j'aime solliciter l'avis des autres.
Cordialement.