Intégrale définie assez curieuse

[Bleyblue]

Bonjour,

Je cherche la valeur de :



Selon mon livre d'analyse cela fait zéro mais je ne comprend pas pourquoi.

Il est vain d'essayer de trouver une primitive et moi la seule idée que j'ai eue c'est de poser :



de manière à se ramener à une intégration de - a à a et alors si la fonction obtenue après changement de variable est impaire l'intégrale vaut zéro mais malheureusement ce n'est pas le cas.

Avez-vous une idée ? Je ne vois pas la ...

merci

[inviteeecca5b6]

Bonjour,

Je cherche la valeur de :

Corrige moi si je me trompe:


D'où (et c'est là où je suis plus sur, je prend la puissance 21 des deux côtés):

Ensuite suffit de developper...

[inviteeecca5b6]

Argh...

Faudrait remplacer les = par des ?= pour etre plus correcte !

[invite4793db90]

D'où (et c'est là où je suis plus sur, je prend la puissance 21 des deux côtés):

Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteeecca5b6]

Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...

Je me souviens encore la fougue qui m'animait lors du postage...

[Bleyblue]

Ah mais oui pas bête ça.
Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément

Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :



?

Sinon :

Et la marmotte, elle met le chocolat dans le papier alu...

comment ça ? Ca n'a sans doute aucune importance mais j'aimerai comprendre ce que tu as voulut dire

merci

[invite3f53d719]

Bah on n'a pas (int(f))^n=int(f^n)! (Désolé, je ne gère pas en Latex...)

[invite52c52005]

Ah mais oui pas bête ça.
Je pensais que je commençais à bien les connaîtres mes petites intégrales mais j'en apprend tous les jours décidément

Et si donc f est continue sur [a,b] la proprité suivante est valable dans tous les cas :



?

A mon avis, c'est faux en général. En tout cas, ce n'est pas une propriété.
Prends f(x) = x², donc f^-1(x) = sur [0,1]. Alors :



D'ailleurs, ça a du m'échapper mais, même si la remarque de martini_bird est vraie, je ne vois pas en quoi elle permet de conclure que l'intégrale est nulle. Merci de m'éclairer.

[invite636fa06b]

Bonsoir,

Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété.

En outre la propriété n'est vraie que sur un intervalle [0,a] avec [f(a)=0 et f(0)=a] ou [f(a)=a et f(0)=0]

[invite52c52005]

Bonsoir,

Si tu fais un dessin, tu verras que selon l'allure des fonctions on a soit l'égalité des intégrales (continue décroissante) soit leur somme égale à 1 (continue croissante). Ton exemple vérifie bien cette seconde propriété.

En outre la propriété n'est vraie que sur un intervalle [0,a] avec [f(a)=0 et f(0)=a] ou [f(a)=a et f(0)=0]

OK, merci.
Mais je serai plus convaincu par une démonstration.

[inviteeecca5b6]

Ok, j'ai vu la faute...
C'est corrige, mais maintenant ca donne du 10^-5...

[invitec314d025]

Mais je serai plus convaincu par une démonstration.

Il suffit de faire un changement de variable y=f(x) et une intégration par partie assez évidente. Avec la formule de dérivation de la réciproque ça se fait bien.

[inviteeecca5b6]

J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

et je trouve un ordre de 10^-20

[inviteeecca5b6]

En reflechissant, c'est bizzare que je trouve ca... Probablement une erreur c'est glissee dans ma calculette !

[invite52c52005]

J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

et je trouve un ordre de 10^-20

Pourquoi fais tu ça ? x¹⁰ n'est pas la fonction réciproque de x⁹ !

[invite35452583]

à Zinia et Martini_bird, beau coup d'oeil et preuve très élégante.
Avec le dessin ce n'est pas difficile de faire une démo en bonne et due forme sans changement de variables (pour garder la généralité des fonctions continues). Quand on coupe une zone en deux, on a toujours la zone des deux petites aires égale la grande non? Et une isométrie conserve les aires, je crois.

J'ai evalue cette integrale a la calculette, je trouve un truc assez loin de l'ordre du 10^-6... Ce qui est tres largement au dessus de la resolution de la calculette... Selon moi (et ma claculette), cette integrale n'est pas egale a 0. Par exemple, j'ai fait

et je trouve un ordre de 10^-20

Et la marmotte emballe le chocolat*
Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.

*: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...

[invitec314d025]

Dans le cas général, on obtient ceci (si je n'ai pas fais d'erreur) :



Mais c'est mieux avec un dessin, pas de doute

[inviteeecca5b6]

Et la marmotte emballe le chocolat*
Vue l'allure des graphes de ces fonctions et de leur expression, ce n'est pas étonnant qu'une calculette s'y casse les puces.

*: ma version locale de la reprise de cette vieille pub. Ah, ces Jeunes...

Plutot que de parler marmottes, dis-moi pourquoi c'est "pas etonnant" comme tu le dis... Curieux de connaitre tes bons arguments !

[invitedf667161]

Eh bien x^9 et x^10 entre 0 et 1 c'est kif kif la même chose. Du moins pour une calculette.

[invite52c52005]

Oui, et ça n'a rien à voir avec le problème posé du topic où on parle d'une fonction et de sa fonction réciproque !!

merci à matthias pour les pistes pour la démonstration. Je n'ai pas encore pu regarder.
Par contre, quand tu dis que c'est mieux avec le dessin : tout à fait d'accord pour faire sentir le truc et mettre sur la piste, mais ce n'est pas une démonstration ! ??

[inviteeecca5b6]

Eh bien x^9 et x^10 entre 0 et 1 c'est kif kif la même chose. Du moins pour une calculette.

Ah ben non, 0.5^10 est 2 fois plus petit que 0.5^9 et la calculette le voit. Aussi, on trouve pas du 10^-20 (je m'etais un peu trompe), mais 0.009 environ, soit en fait 1/10 - 1/11...

Oui, et ça n'a rien à voir avec le problème posé du topic où on parle d'une fonction et de sa fonction réciproque !!

Certes, mais c'est pas ce que je regardais. Je constate seulement que la calculette donne quelque chose de ralativement loin de 0...

[invite4793db90]

Salut,

en fait, il suffit de remarquer que les fonctions et (définies sur [0, 1]) sont réciproques l'une de l'autre.

Cordialement.