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Série suite décimale

  1. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
    Âge
    30
    Messages
    920

    Série suite décimale

    Bonjour,

    On dit qu'une suite d'entiers naturels (dn) est décimale si si pour tout entier supérieur ou égal à 1 on a d0 étant un entier naturel quelconque.

    1/ Démontrer que la série est convergente. On note x sa limite.

    Je voulais utiliser la règle de D'Alembert mais je peux pas car un=dn / 10^n n'est pas une suite strictement positive d0 peut s'annuler...

    2/ Démontrer que si la suite (dn) est finie c'est à dire tous ses termes sont nuls à partir d'un certain rang alors x est un nombre décimal.

    Il existe un entier N tel que pour tout n supérieure à N on a : dn=0 donc :

    Or donc donc x est décimal.

    3/ Démontrer que si la suite (dn) est impropre c'est à dire que tous ses termes sont égaux à 9 à partir d'un certain rang alors x est décimal.

    Il existe un entier N tel que pour tout n supérieure à N on a : dn=9 donc :



    La somme de gauche est décimale il reste qu'à montrer que celle de droite l'est car D est stable par l'addition et là je bloque...

    Merci.

    -----

    Dernière modification par mehdi_128 ; 16/06/2017 à 16h56.
     


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  2. Kairn

    Date d'inscription
    février 2016
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    Messages
    159

    Re : Série suite décimale

    Salut !

    Pour la 1, tu peux majorer d_n pour te retrouver à étudier la convergence d'une série géométrique. Par comparaison (majoration dans ce cas, la minoration par 0 étant évidente), tu pourras conclure.

    Pour la 3, tu as oublié un facteur 10^N devant la deuxième somme. Cette somme devient la somme d'une série géométrique que tu peux calculer. Et le facteur 9 devrait t'arranger pour obtenir quelque chose de décimal .
     

  3. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
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    30
    Messages
    920

    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par Kairn Voir le message
    Salut !

    Pour la 1, tu peux majorer d_n pour te retrouver à étudier la convergence d'une série géométrique. Par comparaison (majoration dans ce cas, la minoration par 0 étant évidente), tu pourras conclure.

    Pour la 3, tu as oublié un facteur 10^N devant la deuxième somme. Cette somme devient la somme d'une série géométrique que tu peux calculer. Et le facteur 9 devrait t'arranger pour obtenir quelque chose de décimal .
    1/

    La série géométrique de droite converge car q=1/10 < 1 donc par majoration d'une série convergente notre série converge.

    2/ La deuxième partie de la somme :


    Ca me donne :

    donc x est décimale

    C'est correct ?
     

  4. Kairn

    Date d'inscription
    février 2016
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    21
    Messages
    159

    Re : Série suite décimale

    Bonjour,

    Ça m'a l'air juste
     

  5. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
    Localisation
    Paris
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    Messages
    920

    Re : Série suite décimale

    J'arrive pas à comprendre pourquoi :



    Comment il peut rester du N alors qu'on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) ?
     


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  6. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    20 313

    Re : Série suite décimale

    Gros problème de confusion des indices, Mehdi. La somme que tu écris diverge, puisque c'est la somme d'une infinité de termes égaux (ils ne dépendent pas de l'indice de sommation n) non nuls. Maintenant, si tu rectifies, regarde ce que ça donne pour N=3 (donc on commence à n (ou k) égal à 4. C'est facile de voir ce qui se passe.

    Sinon ton affirmation "on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) " est carrément fausse !!

    Cordialement.
    Dernière modification par gg0 ; 18/06/2017 à 21h31.
     

  7. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    J'arrive pas à comprendre pourquoi :



    Comment il peut rester du N alors qu'on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) ?
    Je rectifie je comprends pas comment calculer :

     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par mehdi_128 Voir le message
    Je rectifie je comprends pas comment calculer :




    je te laisse finir.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message



    je te laisse finir.
    Ah oui merci ! J'avais pas pensé au changement d'indice

     

  10. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Série suite décimale

    Y a un petit détail qui me perturbe :

    on dit que la la suite (dn) décimale est finie si tout ses termes sont nuls à partir d'un certain rang :

    Si je traduit ça donne

    En fait dn est nul pour n=N ou n=N+1 ?

    Pareil pour la suite (dn) impropre si tous ces termes sont égaux à 9 à partir d'un certain rang.

    Si je traduit ça donne

    dn vaut 9 pour n=N ou n=N+1 ?
     

  11. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Série suite décimale

    dans la définition, je crois que c'est >= N, donc nul pour N
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  12. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    dans la définition, je crois que c'est >= N, donc nul pour N
    Ah d'accord mais de toute façon ça changera rien au fait que x restera décimal ? Que la somme commence à N ou N+1 changera rien à la convergence.
     

  13. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    22 040

    Re : Série suite décimale

    certes,
    mais tes mess sont confus.
    par exemple l'égalité que tu répètes plusieurs fois (mess #5 par ex est fausse )
    ensuite , parfois tu écris à partir de N, parfois à partir de N+1.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  14. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    920

    Re : Série suite décimale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    certes,
    mais tes mess sont confus.
    par exemple l'égalité que tu répètes plusieurs fois (mess #5 par ex est fausse )
    ensuite , parfois tu écris à partir de N, parfois à partir de N+1.
    Oui j'avais fait une erreur de frappe. La correction donne

    Pour dn finie ils considèrent la somme nul de N+1 à +infini

    Pour dn impropre ils remplacent dn par 9 dans la somme de N à +infini

    Du coup c'est bizarre.
     

  15. mehdi_128

    Date d'inscription
    août 2005
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    Paris
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    920

    Re : Série suite décimale

    Ensuite je bloque sur une autre question :

    On admet une pour tout entier N positif, si (dn) est une suite décimale propre on a : avec égalité si et seulement si dk=9

    Montrer que si x est un réel vérifiant : alors la suite (dn) vérifiant cette égalité est unique.

    Je vois pas du tout comment faire.
     


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