Série suite décimale

[mehdi_128]

Bonjour,

On dit qu'une suite d'entiers naturels (dn) est décimale si si pour tout entier supérieur ou égal à 1 on a d0 étant un entier naturel quelconque.

1/ Démontrer que la série est convergente. On note x sa limite.

Je voulais utiliser la règle de D'Alembert mais je peux pas car un=dn / 10^n n'est pas une suite strictement positive d0 peut s'annuler...

2/ Démontrer que si la suite (dn) est finie c'est à dire tous ses termes sont nuls à partir d'un certain rang alors x est un nombre décimal.

Il existe un entier N tel que pour tout n supérieure à N on a : dn=0 donc :

Or donc donc x est décimal.

3/ Démontrer que si la suite (dn) est impropre c'est à dire que tous ses termes sont égaux à 9 à partir d'un certain rang alors x est décimal.

Il existe un entier N tel que pour tout n supérieure à N on a : dn=9 donc :



La somme de gauche est décimale il reste qu'à montrer que celle de droite l'est car D est stable par l'addition et là je bloque...

Merci.
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[Kairn]

Salut !

Pour la 1, tu peux majorer d_n pour te retrouver à étudier la convergence d'une série géométrique. Par comparaison (majoration dans ce cas, la minoration par 0 étant évidente), tu pourras conclure.

Pour la 3, tu as oublié un facteur 10^N devant la deuxième somme. Cette somme devient la somme d'une série géométrique que tu peux calculer. Et le facteur 9 devrait t'arranger pour obtenir quelque chose de décimal .

[mehdi_128]

Salut !

Pour la 1, tu peux majorer d_n pour te retrouver à étudier la convergence d'une série géométrique. Par comparaison (majoration dans ce cas, la minoration par 0 étant évidente), tu pourras conclure.

Pour la 3, tu as oublié un facteur 10^N devant la deuxième somme. Cette somme devient la somme d'une série géométrique que tu peux calculer. Et le facteur 9 devrait t'arranger pour obtenir quelque chose de décimal .

1/

La série géométrique de droite converge car q=1/10 < 1 donc par majoration d'une série convergente notre série converge.

2/ La deuxième partie de la somme :


Ca me donne :

donc x est décimale

C'est correct ?

[Kairn]

Bonjour,

Ça m'a l'air juste

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

J'arrive pas à comprendre pourquoi :



Comment il peut rester du N alors qu'on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) ?

[gg0]

Gros problème de confusion des indices, Mehdi. La somme que tu écris diverge, puisque c'est la somme d'une infinité de termes égaux (ils ne dépendent pas de l'indice de sommation n) non nuls. Maintenant, si tu rectifies, regarde ce que ça donne pour N=3 (donc on commence à n (ou k) égal à 4. C'est facile de voir ce qui se passe.

Sinon ton affirmation "on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) " est carrément fausse !!

Cordialement.

[mehdi_128]

J'arrive pas à comprendre pourquoi :



Comment il peut rester du N alors qu'on fait la limite en + inf de (1-q^(n+1))/(1-q) ?

Je rectifie je comprends pas comment calculer :

[invite51d17075]

Je rectifie je comprends pas comment calculer :

je te laisse finir.

[mehdi_128]

je te laisse finir.

Ah oui merci ! J'avais pas pensé au changement d'indice

[mehdi_128]

Y a un petit détail qui me perturbe :

on dit que la la suite (dn) décimale est finie si tout ses termes sont nuls à partir d'un certain rang :

Si je traduit ça donne

En fait dn est nul pour n=N ou n=N+1 ?

Pareil pour la suite (dn) impropre si tous ces termes sont égaux à 9 à partir d'un certain rang.

Si je traduit ça donne

dn vaut 9 pour n=N ou n=N+1 ?

[invite51d17075]

dans la définition, je crois que c'est >= N, donc nul pour N

[mehdi_128]

dans la définition, je crois que c'est >= N, donc nul pour N

Ah d'accord mais de toute façon ça changera rien au fait que x restera décimal ? Que la somme commence à N ou N+1 changera rien à la convergence.

[invite51d17075]

certes,
mais tes mess sont confus.
par exemple l'égalité que tu répètes plusieurs fois (mess #5 par ex est fausse )
ensuite , parfois tu écris à partir de N, parfois à partir de N+1.

[mehdi_128]

certes,
mais tes mess sont confus.
par exemple l'égalité que tu répètes plusieurs fois (mess #5 par ex est fausse )
ensuite , parfois tu écris à partir de N, parfois à partir de N+1.

Oui j'avais fait une erreur de frappe. La correction donne

Pour dn finie ils considèrent la somme nul de N+1 à +infini

Pour dn impropre ils remplacent dn par 9 dans la somme de N à +infini

Du coup c'est bizarre.

[mehdi_128]

Ensuite je bloque sur une autre question :

On admet une pour tout entier N positif, si (dn) est une suite décimale propre on a : avec égalité si et seulement si dk=9

Montrer que si x est un réel vérifiant : alors la suite (dn) vérifiant cette égalité est unique.

Je vois pas du tout comment faire.

[invite51d17075]

On admet une pour tout entier N positif, si (dn) est une suite décimale propre on a : avec égalité si et seulement si dk=9
.

ce n'est pas clair du tout.
quel est la phrase exacte ?

[mehdi_128]

Ensuite je bloque sur une autre question :

On admet une pour tout entier N positif, si (dn) est une suite décimale propre on a : avec égalité si et seulement si dk=9

Montrer que si x est un réel vérifiant : alors la suite (dn) vérifiant cette égalité est unique.

Je vois pas du tout comment faire.

Je rectifie :

On admet que pour tout entier N positif, si (dn) est une suite décimale propre on a : avec égalité si et seulement si pour tout k >= N+1 : dk=9

Montrer que si x est un réel vérifiant : et (dn) est une suite décimale propre alors la suite (dn) vérifiant cette égalité est unique.

[invite51d17075]

sorry,
je dois partir.
a faire en incrémentant n( qu'on appellera N ) et en encadrant le sigma de la formule ...

[mehdi_128]

sorry,
je dois partir.
a faire en incrémentant n( qu'on appellera N ) et en encadrant le sigma de la formule ...

Pas trop compris

[invite51d17075]

Montrer que si x est un réel vérifiant : alors la suite (dn) vérifiant cette égalité est unique.

On chercher à le montrer pour chaque
début :

donc

si la seconde inégalité est une égalité alors tout les ( n sup à 1) =9 . Et la suite est écrite ou bien la suite est impropre ??? (*)
On suppose donc une inégalité stricte.

donc

d'où d_0 unique =E[x]
la suite est une récurrence , on suppose que tous les sont uniques jusqu'au rang N et

soit


donc unique aussi.

(*) c'est ambigu parce que cela correspondrait à une suite impropre. ( énoncé un peu curieux )
l'interprétation est donc qu'il y a tj inégalité stricte

[mehdi_128]

On chercher à le montrer pour chaque
début :

donc

si la seconde inégalité est une égalité alors tout les ( n sup à 1) =9 . Et la suite est écrite ou bien la suite est impropre ??? (*)
On suppose donc une inégalité stricte.

donc

d'où d_0 unique =E[x]
la suite est une récurrence , on suppose que tous les sont uniques jusqu'au rang N et

soit


donc unique aussi.

(*) c'est ambigu parce que cela correspondrait à une suite impropre. ( énoncé un peu curieux )
l'interprétation est donc qu'il y a tj inégalité stricte

Oui l'inégalité est bien stricte avec égalité si et seulement si dk=9.

J'arrive pas à comprendre pourquoi :

Si je prends un exemple x=2,1 donc pour N = 1 on a : ça marche pas je comprends rien.

Enfin pour l'unicité comment vous savez que d(N+1) est unique ? Il faut simplifier ?

[gg0]

Manifestement, tu mélanges un peu tout ! Ce n'est pas x à l'intérieur de l'inégalité. Relis ton énoncé.

Si tu prends x=2,1, tu es mal parti, car il y a justement 2 développements. lequel est propre ? As-tu les conditions de ton énoncé sur ce développement propre ?
Il vaut mieux partir avec une suite d_n qui correspond aux conditions de ton énoncé, par exemple d_n=3 pour tout n, et regarder ce que donne ton énoncé à ce propos.

mais il y a un problème sur cet énoncé, puisque si d_n est une suite propre, on ne peut pas avoir le cas où tous les d_n sont égaux à 9 à partir d'un certain rang.

Cordialement.

[mehdi_128]

nd.png
nb2.png

C'est les questions 4.4 et 5 qui me bloquent.

[mehdi_128]

Pour la question 4.4 je pensais à une autre méthode pour l'unicité après 1 journée de réflexion

Considérons 2 suites décimales propres distinctes (dn) et (dn') : et

Soit N=min{n appartenant à N tel que dn différent de dn'}

donc :

Si on considère alors

Or (dN) est propre donc :



or les décimales pour n<N sont égales pour dn et dn' alors x <x' d'où l'unicité ...

[invite51d17075]

désolé medhi, mais tu dis ne pas comprendre ce que j'écris en recopiant de manière erronée ce que j'ai écrit.
et ça prend du temps d'écrire en latex pour moi.
alors je vais essayer de le dire avec des mots :

déjà ce n'est pas x au milieu de mes inégalités.

la première inégalité est due simplement au fait que x est supérieur à la somme partielle jusqu'à N+1
donc (somme jusqu'à N)+(terme en N+1) <=x soit
(terme en N+1)<=x-(somme partielle jusqu'à N )
la deuxième inégalité concerne le reste à partir N+1 soit
x=(somme partielle jusqu'à N)+ ( reste à partir de N+1 ) donc
x-(somme partielle jusqu'à N)= ( reste à partir de N+1) que l'on peut majorer avec la formule donnée.
au final on a

(terme en N+1)<=x-(somme partielle jusqu'à N )< majorant du reste de (N+1 à l'inf )
et ce quel que soit N , les deux inégalités donne une seule valeur de d(N+1) possible.

j'espère que c'est clair parce que j'arrète.

[mehdi_128]

désolé medhi, mais tu dis ne pas comprendre ce que j'écris en recopiant de manière erronée ce que j'ai écrit.
et ça prend du temps d'écrire en latex pour moi.
alors je vais essayer de le dire avec des mots :

déjà ce n'est pas x au milieu de mes inégalités.

la première inégalité est due simplement au fait que x est supérieur à la somme partielle jusqu'à N+1
donc (somme jusqu'à N)+(terme en N+1) <=x soit
(terme en N+1)<=x-(somme partielle jusqu'à N )
la deuxième inégalité concerne le reste à partir N+1 soit
x=(somme partielle jusqu'à N)+ ( reste à partir de N+1 ) donc
x-(somme partielle jusqu'à N)= ( reste à partir de N+1) que l'on peut majorer avec la formule donnée.
au final on a

(terme en N+1)<=x-(somme partielle jusqu'à N )< majorant du reste de (N+1 à l'inf )
et ce quel que soit N , les deux inégalités donne une seule valeur de d(N+1) possible.

j'espère que c'est clair parce que j'arrète.

Oui c'est clair donc la valeur de d(N+1) est :



Ca peut se simplifier ?

[invite51d17075]

oui c'est juste, mais on ne te demande pas de donner la valeur , juste de montrer l'unicité pour tout N (*)
ce qui peut se déduire en écrivant les deux inégalités pour un N ( ou N+1) qcq.
j'ai prononcé le mot récurrence, celle si n'est pas forcement nécessaire en fait.

(*) si tu l'écrit ainsi ( c'est possible) , il te faut justifier qu'il y avait avant unicité jusqu'à N. ( ce qui demande d'écrire le raisonnement comme une récurrence )
tout cela revient en fait au même il suffit d'écrire proprement les choses.

[mehdi_128]

oui c'est juste, mais on ne te demande pas de donner la valeur , juste de montrer l'unicité pour tout N (*)
ce qui peut se déduire en écrivant les deux inégalités pour un N ( ou N+1) qcq.
j'ai prononcé le mot récurrence, celle si n'est pas forcement nécessaire en fait.

(*) si tu l'écrit ainsi ( c'est possible) , il te faut justifier qu'il y avait avant unicité jusqu'à N. ( ce qui demande d'écrire le raisonnement comme une récurrence )
tout cela revient en fait au même il suffit d'écrire proprement les choses.

Ah d'accord merci, les dn sont uniques pour tout n inférieur ou égal à N par hypothèses de récurrence donc forcément d(N+1) est unique

Avez vous une idée de piste pour la dernière question ? Montrer que pour tout nombre décimal positif x, il existe une unique suite décimale (dn) avec 0 =<n=<N telle que :

[invite51d17075]

désolé pas ce soir , d'autant que j'ai fait une grave chute la sem dernière , passé par l'hosto , cotes fêlées , douleur violente dans tout le dos et ralenti par les antalgiques maousse costaud...
Cdt

[gg0]

Pour l'existence, il suffit de prendre les approximations décimales par défaut de x. Si x est décimal, une de ces approximations est égale à x et les suivantes aussi, sinon la suite est infinie et propre. On obtient facilement les décimales successives en multipliant le reste par 10 et prenant la partie entière.
Cette pratique très élémentaire sera ensuite à mathématiser, mais c'est ton travail, Mehdi_128.

Cordialement.

NB : Si tu n'as jamais calculé à la main, ce doit être un peu moins évident, mais ce que tu n'as pas fait quand c'était le moment reste à faire.