Série suite décimale

**mehdi_128** · 21/06/2017, 16h14

Envoyé par gg0

Pour l'existence, il suffit de prendre les approximations décimales par défaut de x. Si x est décimal, une de ces approximations est égale à x et les suivantes aussi, sinon la suite est infinie et propre. On obtient facilement les décimales successives en multipliant le reste par 10 et prenant la partie entière.
Cette pratique très élémentaire sera ensuite à mathématiser, mais c'est ton travail, Mehdi_128.

Cordialement.

NB : Si tu n'as jamais calculé à la main, ce doit être un peu moins évident, mais ce que tu n'as pas fait quand c'était le moment reste à faire.

Je me lance même si je sais pas trop où aller : soit x un nombre décimal positif alors $x \geq 0$

Or : $d_0 \leq x < d_0 +1$ donc : $d_0 = E(x)$

Pour N=1 j'ai : $d_1 \leq 10(x-d_0) < 1+d_1$

Avec : $x-d_0 = x-E(x)$

**mehdi_128** · 21/06/2017, 16h24

D est stable par l'addition donc si x est décimal et -d0 décimal avec $0 \leq x-d_0 < 1$

Donc il existe un N entier naturel tel que : $10^N (x-d_0) \in \mathbb{N}$ avec $(x-d_0) \in [0,1[$

Et là je suis bloqué

invite51d17075 · 21/06/2017, 16h25

oui c'est ça donc d1= ? ( réponse à ton avant dernier mess )
pas compris le dernier ( mess croisés )

**gg0** · 21/06/2017, 17h01

Mehdi,

commence par essayer sur un brouillon avec un nombre simple, pour comprendre ce que tu dois faire dans le cas général. par exemple avec x=3,54; puis x=pi (environ 3,1415926); puis x=racine(2).
Tu ne peux pas généraliser immédiatement une démarche que tu n'as pas essayée de pratiquer.

**mehdi_128** · 21/06/2017, 21h12

Envoyé par ansset

oui c'est ça donc d1= ? ( réponse à ton avant dernier mess )
pas compris le dernier ( mess croisés )

Bah $d_1 = E(10(x-d_0))$ ? Mais je vois pas trop quoi en faire

**mehdi_128** · 21/06/2017, 21h24

Envoyé par gg0

Mehdi,

commence par essayer sur un brouillon avec un nombre simple, pour comprendre ce que tu dois faire dans le cas général. par exemple avec x=3,54; puis x=pi (environ 3,1415926); puis x=racine(2).
Tu ne peux pas généraliser immédiatement une démarche que tu n'as pas essayée de pratiquer.

Pour x=3,54

$d_0 = E(x)=3$

$d_1=E(10x-10d_0)=E(35,54-30)=E(5,54)=5$

Pour N=2 je trouve l'inégalité suivante : $d_2 \leq 10^2(x-d_0)-10 d_1 < 1 +d_2$

Ainsi : $d_2 = E(354-300-50)=4$

Je trouve mes bonnes décimales

**mehdi_128** · 21/06/2017, 21h35

Je dois trouver une expression générale de dn pour tout n et montrer que dn est compris entre 0 et 9 pour tout n ?

**mehdi_128** · 21/06/2017, 21h57

Pour x=3,1415926

$d_0 = E(3,1415926)=3$
$d_1=E(10x-10d_0)=E(31,415926-30)=E(1,415926)=1$
$d_2=E(100x-100d_0 -10d_1)=E(314,15926-300-10)=E(4,15926)=4$
$d_3 = E(1000x-1000d_0-100d_1 -10d_2)=E(3141,5926-3000-1000-40)=E(1,5926)=1$

ETC....

**gg0** · 22/06/2017, 08h53

C'est plus simple en utilisant le reste
$r_0=x-d_0 r_1=x-(d_0+\frac{d_1}{10}) r_2=x-(d_0+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{10^2}) \dots$

maintenant, à toi de faire, c'est ton devoir.

Cordialement.

**mehdi_128** · 22/06/2017, 09h21

Envoyé par gg0

C'est plus simple en utilisant le reste
$r_0=x-d_0 r_1=x-(d_0+\frac{d_1}{10}) r_2=x-(d_0+\frac{d_1}{10}+\frac{d_2}{10^2}) \dots$

maintenant, à toi de faire, c'est ton devoir.

Cordialement.

Je ne comprends pas à quoi correspond votre reste et d'ailleurs il n'est pas entier.

Comment calculer vous r1 si vous notez r0 = x -d0 ?

invite51d17075 · 22/06/2017, 10h02

Envoyé par mehdi_128

Je ne comprends pas à quoi correspond votre reste et d'ailleurs il n'est pas entier.

Comment calculer vous r1 si vous notez r0 = x -d0 ?

en fait, tu es en train de retrouver indirectement "à la main" l'équation du calcul de dn que j'avais déjà proposée au mess 20 et que je pensais que tu comprenais.

**gg0** · 22/06/2017, 16h16

" Je ne comprends pas à quoi correspond votre reste et d'ailleurs il n'est pas entier." Oui, et alors ?
"Comment calculer vous r1 si vous notez r0 = x -d0 ? " Comme c'est écrit !

Autrement dit, tu ne lis pas ce qui est écrit, tu t'en fais une idée à priori et tu poses des questions à propos de ce qui n'a rien à voir.
Pas du tout sérieux !!! Tu es en trains de faire une usine à gaz d'une question élémentaire (notion vues souvent en collège).

**mehdi_128** · 22/06/2017, 20h16

Envoyé par gg0

" Je ne comprends pas à quoi correspond votre reste et d'ailleurs il n'est pas entier." Oui, et alors ?
"Comment calculer vous r1 si vous notez r0 = x -d0 ? " Comme c'est écrit !

Autrement dit, tu ne lis pas ce qui est écrit, tu t'en fais une idée à priori et tu poses des questions à propos de ce qui n'a rien à voir.
Pas du tout sérieux !!! Tu es en trains de faire une usine à gaz d'une question élémentaire (notion vues souvent en collège).

Vous sortez d'où les restes r0 r1 r2 ? A quoi correspondent t-ils ? Je comprends même pas comment les obtenir.

Bah comment c'est posé c'est une usine à gaz on y comprend rien. J'ai montré ça à un prof de maths titulaire il a même pas réussi à trouver la réponse.

**mehdi_128** · 22/06/2017, 20h26

Je crois avoir compris :

$\frac{d_1}{10} \leq r_0< \frac{1+d_1}{10}$

Pourquoi appeler vous r0 le reste ? Ca correspond à quoi concrètement ?

Pour x=2,54 on a d0=2 et d1=5 et d2=4 ca me donne : $0,5 \leq 0,54 <0,6$

$\frac{d_2}{10^2} \leq r_1< \frac{1+d_2}{10^2}$

$0,02 \leq 0,04 <0,05$

Ca marche bien

invite51d17075 · 22/06/2017, 20h32

faute de frappe d2/10² = 0,04

**mehdi_128** · 22/06/2017, 20h39

Par contre on a pas utilisé que x est un nombre décimal positif ? !!!!

Sinon j'obtiens : $r_n = x - \sum_{k=0}^n \frac{d_k}{10^k}$

Et là je bloque

**mehdi_128** · 22/06/2017, 22h36

J'ai enfin trouvé en essayant plusieurs exemples sans utiliser rn :

$10^N (x-d_0)=\sum_{k=1}^N d_k 10^{N-k}=d_1 10^{N-1}+d_2 10^{N-2}+...+d_N$

**gg0** · 22/06/2017, 22h43

Envoyé par mehdi_128

Vous sortez d'où les restes r0 r1 r2 ? A quoi correspondent t-ils ? Je comprends même pas comment les obtenir.

On dirait que tu n'as toujours pas lu ma proposition (approximations décimales) et que tu ne comprends pas le mot "reste". Ce sont pourtant des mots simples !! Tu ne réfléchis pas vraiment ! c'est quoi, un reste ????

Bah comment c'est posé c'est une usine à gaz on y comprend rien. J'ai montré ça à un prof de maths titulaire il a même pas réussi à trouver la réponse

Si tu lui as montré l'énoncé (pas tes explications approximatives), c'est un titulaire qui ne devrait pas l'être.

Bon je te laisse continuer à patauger sans réfléchir ...

**mehdi_128** · 22/06/2017, 23h33

Envoyé par gg0

On dirait que tu n'as toujours pas lu ma proposition (approximations décimales) et que tu ne comprends pas le mot "reste". Ce sont pourtant des mots simples !! Tu ne réfléchis pas vraiment ! c'est quoi, un reste ????
Si tu lui as montré l'énoncé (pas tes explications approximatives), c'est un titulaire qui ne devrait pas l'être.

Bon je te laisse continuer à patauger sans réfléchir ...

Je connais que le reste d'une division euclidienne de a par b : a=bq+r

invite51d17075 · 22/06/2017, 23h44

bousoir medhi,
j'essayerai de te faire un recap ( de l'itération ) avec les "restes" demain.
bonne nuit.

ps : tout a été expliqué et de différentes manières, suffit de remettre de l'ordre la dedans !

**mehdi_128** · 24/06/2017, 11h54

Envoyé par ansset

bousoir medhi,
j'essayerai de te faire un recap ( de l'itération ) avec les "restes" demain.
bonne nuit.

ps : tout a été expliqué et de différentes manières, suffit de remettre de l'ordre la dedans !

Merci

Moi j'ai trouvé avec une autre méthode : $10^N (x-d_0)=\sum_{k=1}^N d_k 10^{N-k}=d_1 10^{N-1}+d_2 10^{N-2}+...+d_N$

Donc $x=d_0+\fra{d_1}{10}+...+\fra{d_N}{10^N}$

invite51d17075 · 24/06/2017, 12h58

Moi j'ai trouvé avec une autre méthode : $10^N (x-d_0)=\sum_{k=1}^N d_k 10^{N-k}=d_1 10^{N-1}+d_2 10^{N-2}+...+d_N$

Donc $x=d_0+\fra{d_1}{10}+...+\fra{d_N}{10^N}$

tu répètes ton message 47.
pour revenir sur les "restes" que tu dis ne pas avoir compris.

$(x-d_0)=\sum_{k=1}^N d_k 10^{-k}$
soit pour x=3,1415926
$(x-3)=0,1415926$
ce que qu'on peut appeler le premier reste $r_0$
$10r_0=\sum_{k=1}^N d_k 10^{1-k}$
$d_1=E(10r_0)$
soit ici
1,415926 donc $d_1=1$
puis
$(x-d_0-d_1 10^{-1})=\sum_{k=2}^N d_k 10^{-k}$
c'est le second reste $r_1$
$10^2 r_1=\sum_{k=2}^N d_k 10^{2-k}$
$d_2=E(10^2 r_1)$
soit ici
4,15926 donc $d_2=4$
etc......

**mehdi_128** · 24/06/2017, 13h14

Envoyé par ansset

tu répètes ton message 47.
pour revenir sur les "restes" que tu dis ne pas avoir compris.

$(x-d_0)=\sum_{k=1}^N d_k 10^{-k}$
soit pour x=3,1415926
$(x-3)=0,1415926$
ce que qu'on peut appeler le premier reste $r_0$
$10r_0=\sum_{k=1}^N d_k 10^{1-k}$
$d_1=E(10r_0)$
soit ici
1,415926 donc $d_1=1$
puis
$(x-d_0-d_1 10^{-1})=\sum_{k=2}^N d_k 10^{-k}$
c'est le second reste $r_1$
$10^2 r_1=\sum_{k=2}^N d_k 10^{2-k}$
$d_2=E(10^2 r_1)$
soit ici
4,15926 donc $d_2=4$
etc......

Ah d'accord j'ai compris la méthode, ça provient des inégalités d'avant, j'avais pas vu qu'il fallait multiplier rn par 10^(n+1) et finalement prendre la partie entière.

invite51d17075 · 24/06/2017, 15h54

cela est pourtant logique et même "visuel".
supposons ( j'écris avec .... pour l'illustration )
$x=d_0 , d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}.....d{n}d_{n+1}.....d_N$
et que les $d_k$ soient connus jusqu'au rang n
la valeur intermédiaire connue est donc
$x_n=d_0 , d_{1}d_{2}d_{3}d_{4}.....d{n}$
et le reste
$r_n= x-x_n$
$r_n=0,000....00d_{n+1}....d_N$ avec n 0 après la virgule.
du là
$10^{n+1}r_n=d_{n+1} , d{n+2}.......d_{N}$
On en déduit $d_{n+1}$

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