Suite et Série

invite340b7108 · 07/12/2010, 11h04

Bonjour,

J'ai un exercice pour un DM que je n'arrive pas à faire :

Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On suppose $u_n > 0$ et $v_n > 0$ pour tout $n \ge 1$ et qu'il existe un entier $N \ge 1$ tel que :

$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n}$ pour tout $n \ge N$

1) Montrer qu'on a : $u_n \le v_n \frac{u_N}{v_N}$ pour tout $n \ge N$

2) En déduire que, si la série $\sum_{n=1}^{+\infty} v_n$ converge, alors la série $\sum_{n=1}^{+\infty} u_n$ converge.

Merci d'avance pour l'aide !!

**Médiat** · 07/12/2010, 11h17

Bonjour,

En écrivant (et en le justifiant) $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n}$ sous la forme $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \le \frac{u_{n}}{v_n}$ (pour tout $n \ge N)$ la démonstration devrait être assez simple ...

invite340b7108 · 07/12/2010, 11h23

C'est vrai

pour la première question je vois, mais pour la deuxième, ce qui m'embête c'est le $\frac{u_N}{v_N}$ . Parce que $u_n \le v_n$ ne veut pas dire $u_n \le v_n \frac{u_N}{v_N}$ ..

**Médiat** · 07/12/2010, 11h40

Vous ne devriez pas être embêté par une constante

.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite340b7108 · 07/12/2010, 11h51

Donc, dans les rêgles d'equivalence, multiplier par une constante de change rien, c'est bien ça ? Je peux utiliser le theoreme de comparaison ?

Ah, sinon, je dois dire que $u_n$ est plus petit que $v_n$ , donc que $v_n$ est plus grand que $v_n*u_N/v_N$ , et là ça marche !!

Désolé pour le double-post, je ne sais pas comment le supprimer.

**Médiat** · 07/12/2010, 12h06

Cela veut seulement dire que $u_n \le v_n \frac{u_N}{v_N}$ entraîne que $\sum_{n = 1}^{\infty} u_n \le \sum_{n = 1}^{\infty} v_n \frac{u_N}{v_N} = \frac{u_N}{v_N} \sum_{n = 1}^{\infty} v_n$

invite340b7108 · 07/12/2010, 12h13

Mais, dans le theoreme de comparaison, on peut dire qu'une constante ne change rien ? Dsl, je suis un peu longue à comprendre

**Médiat** · 07/12/2010, 12h24

La suite des sommes partielles $s_n = \sum_{k = 1}^{n} u_k$ est une suite croissante et bornée (cf. mon message précédent) ...

invite340b7108 · 07/12/2010, 12h31

Oui, mais là il faut déduire que si la série de terme général $v_n$ converge, alors celle de terme général $u_n$ converge. Si on dit que $u_n$ est croissante et bornée ça ne nous dit pas que $v_n$ converge. Et comment sait-on que u_n est croissante. $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \le \frac{u_n}{v_n}$ ne veut pas plutôt dire qu'elle est décroissante ?

**Médiat** · 07/12/2010, 13h07

Je n'ai pas écrit que $u_n$ était croissante, j'ai écrit que la suite des sommes partielles de $u_n$ était croissante, ce qui se déduit du fait que chaque $u_n$ est positif.
On a donc une suite croissante (celle des sommes partielles) et bornée (regardez mon message #6), donc ...

invite340b7108 · 07/12/2010, 14h15

Ah ouai, c'est vrai. Donc on peut dire que la série de terme général $u_n$ est convergente. Mais dans ce cas là, on ne l'a pas déduit du fait que la série de terme général $v_n$ est convergente ?!!

**invite9c9b9968** · 07/12/2010, 14h36

Bonjour,

Envoyé par Nidja05

Ah ouai, c'est vrai. Donc on peut dire que la série de terme général $u_n$ est convergente. Mais dans ce cas là, on ne l'a pas déduit du fait que la série de terme général $v_n$ est convergente ?!!

Et comment as-tu fait pour exhiber un majorant de la suite de terme général $u_n$ , si ce n'est justement en exploitant le fait que la série de terme général $v_n$ était convergente et donc en utilisant sa limite ?

Cordialement,

invite340b7108 · 07/12/2010, 16h00

Ah oui, c'est pas bête. Merci beaucoup à tous les deux !!

invite340b7108 · 13/12/2010, 15h54

Envoyé par Médiat

Bonjour,

En écrivant (et en le justifiant) $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \frac{v_{n+1}}{v_n}$ sous la forme $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \le \frac{u_{n}}{v_n}$ (pour tout $n \ge N)$ la démonstration devrait être assez simple ...

En fait, on trouve $u_n \ge v_n\frac{u_{N}}{v_N}$ et pas $\le$ donc il y a un probleme.

invite340b7108 · 15/12/2010, 10h32

S'il vous plait, quelqu'un peut m'aider ?

invite340b7108 · 16/12/2010, 09h04

personne ??

invite1e1a1a86 · 16/12/2010, 09h18

non non,

si je pose $w_n= \frac{u_n}{v_n}$

de $\frac{u_{n+1}}{v_{n+1}} \le \frac{u_n}{v_n}$
tu en déduis que $w_n$ est décroissante
et donc $w_n \le w_N$ pour $n \ge N$

**Médiat** · 16/12/2010, 09h22

Envoyé par Nidja05

En fait, on trouve $u_n \ge v_n\frac{u_{N}}{v_N}$ et pas $\le$ donc il y a un probleme.

Je ne sais pas comment vous avez trouvé cela, SchliesseB a raison (il m'a grillé mais je m'en suis aperçu avant de poster

).

invite340b7108 · 16/12/2010, 10h43

Ah oui, en fait, je n'avais pas vu que c'etait décroissant. Merci !!

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