Comparaison de suite, série

[julien_4230]

Bonjour !

Est-ce que, si n appartient à IN* et a>0 en n=>+oo
1/(1+n^a) ~ 1/n^a ?

Ca semble logique puisque
n^a/(1+n^a) = 1 quand n=>+oo

Dans le cas si c'est vrai, est-ce que quelque soit la suite U_n > 0 vérifiant :
1/(1+(2n)^3/2) =< U_n =< 1/(1+n^3/2),
La série de terme général U_n converge sachant que
quelque soit le réel a > 1 la série de terme 1/n^a converge (série de Riemann) ?

Merci pour votre aide trop précieuse !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
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[invite35452583]

Il me semble que oui :
On pose u_n=(1+a_nn^3/2) ^-1.
On a a_n compris entre 1 et 2.
On pose v_n=(1+n^3/2) ^-1
On a
Comme la série de terme général vn-un est est une série à termes positifs elle converge si et seulemnt si elle est majorée. C'est le cas car le terme général est majoré par celui d'une série convergente (n ^-3/2).
La série de terme v_n converge aussi donc la série de terme général (v_n-u_n)+u_n=v_n converge.

[julien_4230]

Très bien, alors pourquoi diable la série de terme
U_n = intégrale de n à 2n [ dt/(1+t^3/2) ], comprise entre (1+2^3/2n^3/2)^-1 et (1+n^3/2)^-1 diverge-t-elle ???????????

[invite35452583]

Très bien, alors pourquoi diable la série de terme
U_n = intégrale de n à 2n [ dt/(1+t^3/2) ], comprise entre (1+2^3/2n^3/2)^-1 et (1+n^3/2)^-1 diverge-t-elle ???????????

Peut-être parce que u_n n'est pas compris entre (1+2^3/2n^3/2)^-1 et (1+n^3/2)^-1.
ce que l'on a est :
avec a_n compris entre 1 et 2. Ce terme est d'ordre n^1/2.

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

Mais tu n'as pas intégré 1/(1+t^(3/2))... Je ne comprends pas ton équation...

[julien_4230]

Et puis en plus, pour une fonction f décroissante et positive, on a

quelque soit k appartennant à IN*

f(k) =< intégrale de k-1 à k [ f(t)dt ] =< f(k-1)

j'ai appliqué cette définition...

[julien_4230]

et une dernière question : pour ce terme est d'ordre n^1/2 ? on a bien n^3/2 pourtant..

Merci de m'éclairer !

[julien_4230]

S'il vous plaît j'ai sérieusement besoin d'aide !

Merci pour votre participation

[invite35452583]

Mais tu n'as pas intégré 1/(1+t^(3/2))... Je ne comprends pas ton équation...

C'est vrai j'aurais pu préciser
avec a_n compris entre 1 et 2.[/QUOTE]
C'est le théorème des accroissements finis appliqué à la primitive F de t->(1+t^3/2) ^-1
l'intégrale=F(2n)-F(n)=(2n-n)F'(a_n) avec a_n compris entre n et 2n.

Et puis en plus, pour une fonction f décroissante et positive, on a

quelque soit k appartennant à IN*

f(k) =< intégrale de k-1 à k [ f(t)dt ] =< f(k-1)

j'ai appliqué cette définition..

Mais ceci n'est vrai que parce que tu intègres sur un intervalle de largeur 1.
Si tu reprends cette méthode tu dis que entre n et 2n, tu as :
(1+(2n)^3/2) ^-1 <= (1+t^3/2) ^-1 <= (1+n^3/2) ^-1
et en intégrant sur (n;2n] on obtient
(2n-n)(1+(2n)^3/2) ^-1 <= (1+t^3/2) ^-1 <= (2n-n)(1+n^3/2) ^-1
Et tu obtiens une minoration avec un terme d'une série divergente.

et une dernière question : pour ce terme est d'ordre n^1/2 ? on a bien n^3/2 pourtant..

En résumé de ce qui précède, on obtient du n ^-1/2 comme produit de n ^-3/2 (l'ordre de la fonction intégrée) et de n (la largeur de l'intervalle sur lequel

[julien_4230]

Oooh la la !!!! Je n'avais pas remarqué le théorème des accroîssements finis... En fait, une fois cela compris, le reste en découle en toute logique...

En fait, je ne comprennais pas l'expression :
f(k) =< intégrale de k-1 à k [ f(t)dt ] =< f(k-1)
Mais elle se démontre avec l'inégalité des accroissements finis. C'est pour cela qu'on suppose aussi que f décroît et f positive... Je comprends beaucoup de choses maintenant...

Merci merci merci beaucoup !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[julien_4230]

Euh... Une dernière question...

Quand on somme de 1 à N l'intégrale de n-1 à n : x^(-s)dx
pourquoi on obtient : 1 + intégrale de 1 à N (x^(-s)dx) ?

Merci pour votre aide très précieuse !...

[julien_4230]

Eh bien parce que c'est une somme de l'intégrale, et

intégrale de 0 à 1 (k^(-s)dk) = 1 !!!!!