loi de probabilité à déterminer

[chrisgir]

Bonjour


J'ai un petit problème avec la question suivante, non tirée d'un exercice, mais d'une analyse de données d'écologie.
A la base, c'est avec de la présence absence d'espèces dans des parcelles, mais avec des boules et des urnes c'est mieux
Donc voilà

Soient deux urnes E₁ et E₂ contenant chacune 162 boules
L’urne E₁ contient :
N₁ boules noires
162-N₁ boules blanches

L’urne E2 contient:
N₂ boules noires
162-N₂ boules blanches

On tire une boule de chaque urne et on note la couleur.
Pour chaque tirage (les tirages se font sans remise), on définit la variable aléatoire Xi:

X_i prend la valeur 2 si la boule tirée en E₁ et celle tirée en E2 sont noires
X_i prend la valeur 0 si la boule tirée en E₁ et celle tirée en E₂ sont blanches
X_i prend la valeur 1 sinon (ie E₁ noire et E₂ blanche ou E₁ blanche et E₂ noire)

Ce que je cherche à déterminer, c'est:
les lois de probabilités pour tous les X_i
et surtout la loi des variables aléatoires Y et Z qui définissent respectivement le nb de fois où mes X_i ont pris la valeur 2 et 1 respectivement

Quelqu'un peut m'aider (si c'est calculable)? C'est pour
pouvoir tracer mes distributions théoriques en plus de mes distributions calculées empiriquement (avec 1000 itérations)

En fait je pense qu'il faut utiliser la loi des probabilités totale mais je ne l'ai jamais fait dans le cas de tirage sans remise et je n'arrive ni à exprimer mes différentes lois des Xi et encore moins à formaliser les lois de Y et Z


D'avance merci
Bien cordialement

Christophe
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[chrisgir]

La fin de mon paragraphe est assez mal exprimée dc j'essaie de détailler et préciser

En fait ce que je fais c'est que je calcule un indice qui s'exprime comme le nombre de 2 divisé par le nombre de 1 et de 2
(pr en revenir à l'écologie, c'est le nb de parcelles où l'espèce est restée présente (les 2) sur deux périodes/nb de parcelles où l'espèce est encore ou a été présente (les 1 et les 2))

Empiriquement, j'ai calculé la distribution de cet indice mais j'aimerai trouver la loi qu'il suit (en fonction de N1 et de N2) afin de pouvoir tracer les courbes théoriques et de comparer mes valeurs théoriques à mes valeurs empiriquement calculées et à ma valeur observée (la "vraie")


Si quelqu'un a suivi et peut m'aider...

[chrisgir]

Bon toujours pas de commentaires

J'ai essayé de calculer mon indice en passant par des combinatoires mais je n'y suis pas arrivé non plus.

Voilà ce sont les deux pistes que j'ai regardé, si quelqu'un peut m'aider dessus...


Merci d'avance

[invite986312212]

tes Xi sont équidistribués mais pas indépendants, il te faut donc déterminer leur loi conjointe. cela dit, tu n'en as pas besoin (si je me gourre pas) pour calculer la loi de ton indice.

[A voir en vidéo sur Futura]

[chrisgir]

ben en fait, si on pouvait m'aider surtout pour trouver la loi de mon indice, ça m'arrangerait.

Concernant les X_i, j'ai réussi à m'en sortir en décomposant X_i en deux séries d'évènements de Bernoulli (1 série pour chaque urne) - tirage sans remise et en utilisant la formule des probabilités totales

Donc je dois pouvoir obtenir la loi de X_i (l'expression de la dite loi est assez violente)

Mais pour la loi de l'indice si on peut faire sans utiliser X_i ça m'arrangerait (et m'éviterait 10 pages de calculs supplémentaires)

[chrisgir]

J'ai déterminé ma loi de X_i. Il y a des doubles sommes et des combinatoires de partout mais c bon.

Pour calculer l'indice, en revanche j'ai pensé à utiliser une technique totalement différente;

mon calcul revient à avoir deux ensembles de même taille, contenant chacun des 1 et des 0.

Dans le premier ensemble, j'ai n₁ "1" et 162-n₁ "0".
Dans le second ensemble, j'ai n₂ "1" et 162-n₂ "0"

Ce que je fais c'est que je choisi i "1" dans le premier ensemble que je mets en bijection avec des "1" du second ensemble. Je choisis donc i places parmi n₁
Ensuite, je mets les n₁-i "1" restants ds le premier ensemble avec des "0" du second ensemble. Je choisis donc n₁-i place parmi 162-n₂
Reste enfin à faire aller les 162-n₁ "0" du premier ensemble n'importe où dans le second. C'est pour cette partie la que je ne sais pas exprimer mathématiquement le calcul

Quelqu'un peut me dire si j'ai juste et si on peut bien calculer la loi de probabilité comme cela?

[invite35452583]

1ère possibilité : probabilité totale et une bonne dizaine de pages de calculs.
2ème possibilité : dénombrement
on pose Tj,i : couleur de la i_ème boule de l'urne j.
On se restreind temporairement au cas où il n'y a qu'une urne.
L'univers est l'ensemble des possibilités noires-blanches des N=162 tirages successifs, (cardinal=
P(Tj,i=noire)=nombre de tirages où il y a (N-nj) boules blanches aux places autres que i divisé par le nombre total de tirages possibles ce qui est indépendant de i.
On peut faire des combinaisons "pas belles"... ou calculer P(Tj,1=noire)
on peut alors calculer la loi de Xi
P(Xi=2)=P(T1,i=noire et T2,i=noire) et on utilise l'indépendance de T1,i et T2,i (à moins d'une influence mystique d'une urne sur l'autre)
Par symétrie on a P(Xi=0) et P(Xi=1)=1-les deux autres.
La loi n'a rien de "violente"

Loi de Y, loi de Z
la mauvaise idée : utiliser la loi de Xi trouvée précédemment (ça c'était bien vu)
me semble meilleur (le dernier post s'en approche)
T1,i T2,i
a fois noire noire
b fois noire blanche
c fois blanche noire
d fois blanche blanche
déjà ramenons à un seul calcul (Y et Z sont "fortement "non indépendants)
a+b+c+d=N=162
a+b=n1
a+c=n2
2a+(b+c)=n1+n2
P(Z=m)=P(Y=(n1+n2-m)/2) (en particulier m et n1+n2 ont même parité plus simple à voir sur un plus petit exemple)
calculons la loi de Y
univers : ensemble des tirages possibles pour les deux urnes cardinal
Combien de cas correspondant à Y=m ?
Il faut et il suffit que a=m, on a alors b=n1-m, c=n2-m, d=N+m-n1-n2 (ce qui limite inférieurement supérieurement les possibilités pour m)
A calculer le cardinal du nombre de partitions d'un ensemble de cardinal N en parties de cardinaux a,b,c et d. Le résultat est une généralisation des combinaisons (qui est le cas particulier d'une partition en 2 parties), ça se montre assez facilement.

[chrisgir]

A calculer le cardinal du nombre de partitions d'un ensemble de cardinal N en parties de cardinaux a,b,c et d. Le résultat est une généralisation des combinaisons (qui est le cas particulier d'une partition en 2 parties), ça se montre assez facilement.

Euh j'ai pas bien compris la phrase (cardinal du nb de partitions d'un ensemble en parties de cardinal )

Est-ce que vous pouvez réexpliquez? Le reste c bon j'ai suivi la dém

Merci beaucoup

[invite35452583]

Pour les combinaisons, on a cardinal des parties de cardinal m dans un ensemble de cardinal n vaut
Mais en fait une sous-partie F de m éléments dans un ensemble E de n éléments permet de définir canoniquement une partition (càd parties disjointes regroupant conjointement tous les éléments de E) en deux parties de E : F (card=m) et son complémentaire dans E (card=m-n).

Ici, on a un ensemble (ou univers) E avec card(E)=N.
Cet ensemble est composé de 4 parties A, B, C et D disjointes donc forment une partition de E. Leurs cardinaux respectifs sont a, b, c et d.
Ce que l'on cherche c'est le nombre de possibilités pour partitionner ainsi notre univers E. La formule est "sans surprise".

[chrisgir]

ok j'ai compris (j'ai pas dit trouvé, mais j'ai pas le temps de chercher tt de suite, je regarderai ce soir)

Merci bien

[chrisgir]

c bon j'ai pigé et trouvé (et découvert les coefficients multinomiaux). Merci beaucoup!

Par contre, est-ce que quelqu'un pourrait m'indiquer comment on procéderait si on le fait en utilisant les ensembles (comme dans le post 6). Je ne trouve pas le même résultat et je n'arrive pas à comprendre pourquoi (parce que je me suis planté, ok )

Merci bien

Cordialement,

[invite35452583]

Dans le post 6, le principal problème est qu'à aucun moment les "1" et les "0" ne sont rangés ou classés dans les N=162 places possibles.
Un raisonnement pourrait commencer par :
il faut choisir les n1 places des "1" du 1er sous-ensemble dans N=162.
Ensuite il faut choisir places parmi les n1 précédentes (qui seront donc les places de Xi=2)...