Référentiel

[invité576543]

(...)

Je trouve le résumé excellent, et répondant bien au souci de rigueur.

Reste pour moi une interrogation qui est comment faire passer ces idées, ou du moins celles pertinentes à ce qu'ils savent, à ceux qui n'ont pas encore vu la relativité restreinte (sans parler de la générale).

Car le mot référentiel est utilisé très tôt dans l'enseignement, et j'ai l'impression que beaucoup de confusions s'établissent lors des premières confrontation au mot "référentiel".

Je pense qu'il serait intéressant d'étendre le résumé, pour les points pertinents, à l'espace-temps de Newton, qui n'est pas, loin s'en faut, un cas particulier de l'espace-temps de Minkowski (ni même un cas limite, comme on le voit trop souvent écrit).

Cordialement,
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[chaverondier]

Je pense qu'il serait intéressant d'étendre le résumé, pour les points pertinents, à l'espace-temps de Newton, qui n'est pas, loin s'en faut, un cas particulier de l'espace-temps de Minkowski (ni même un cas limite, comme on le voit trop souvent écrit).

Les espace-temps de Minkowski de paramètre c sont des espace-temps 4D dans lesquels les phénomènes physiques, pour être autorisés à s'y produire, doivent respecter la covariance vis à vis des actions du groupe de Poincaré de paramètre c. L'invariance des lois de la physique vis à vis des actions du groupe de Poincaré complet sur l'espace-temps expriment

• la conservation de l'énergie (invariance par translation temporelle)
• la conservation de l'impulsion (invariance par translation spatiale)
• la conservation du moment cinétique (invariance par rotation)
• le principe de relativité du mouvement (dont, par exploitation des précédentes symétries, on peut tirer l'invariance par les actions du groupe de Lorentz, le groupe des rotations spatio-temporelles)
• la réversibilité = relativité du sens de l'écoulement du temps (invariance des lois de la physique par renversement du temps)
• la relativité de la chiralité des escaliers en colimaçon (la symétrie P)

Les interactions qui se propagent à vitesse indépendante de la vitesse de leur source dans un espace-temps de Minkowski sont tenues de toutes se propager à la même vitesse c.

Dans l'espace-temps de Galilée maintenant (de Newton si on préfère) seuls sont autorisés à se produire les phénomènes physiques respectant la covariance vis à vis des actions du groupe de Galilée. Ce groupe est le cas limite du groupe de Poincaré obtenu en faisant tendre vers l'infini la vitesse c de propagation des interactions se propageant à vitesse indépendante de leur source.

Un espace-temps où ont le droit de cohabiter des interactions se propageant à vitesse infinie ET des interactions se propageant à vitesse finie et indépendante de la vitesse de leur source ne respecte pas le principe de relativité du mouvement (son groupe de symétries est nécessairement plus petit que le groupe de Poincaré et que le groupe de Galilée : il ne comprend pas les boost).

Les référentiels inertiels de l'espace-temps de Galilée (de Newton si on préfère) sont toujours des ensembles de droites parallèles de type temps ; par contre, du fait du caractère infini de la vitesse des interactions ayant le droit de s'y propager à vitesse indépendante de la vitesse de leur source, le feuilletage en hyperplans 3D de simultanéité de l'espace-temps de Galilée ne dépend pas du référentiel inertiel considéré (dans cet espace-temps, la simultanéité des évènements ne dépend pas des observateurs).

Qui plus est, au passage vers c = + 00, la métrique de Minkowski (invariante par action du groupe de Poincaré complet) dégénère en deux métriques bien distinctes :

• une métrique temporelle permettant de mesurer la durée s'écoulant entre deux évènements
• une métrique spatiale permettant de mesurer la distance entre deux évènements.

Ces deux métriques sont toutes deux invariantes par action du groupe de Galilée.

Cela signifie que :

• La durée séparant deux évènements ne dépend pas du référentiel inertiel d'observation ; mieux même, la durée séparant deux hyperplans 3 D de simultanéité est la même pour tous les observateurs en mouvement inertiel quels qu'ils soient.
• La longueur d'un objet en mouvement (distance spatiale entre évènements simultanés se produisant à ses extrémités) ne dépend pas du référentiel inertiel d'observation. Les objets ont, dans l'espace-temps de Galilée, la même longueur pour tous les observateurs en mouvement inertiel.

Une autre particularité de cet espace-temps est la suivante :
dans un référentiel tournant (c'est à dire un feuilletage 1D complet de l'espace-temps 4D en lignes de type temps s'enroulant en hélicoides de même sens giratoire autour d'une même droite de type temps, et ce, avec une période temporelle identique de montée à chaque tour correspondant une même période de rotation) la métrique spatiale reste euclidienne.

Dans un espace-temps de Galilée, la circonférence d'un cercle de rayon R reste donc égale à 2 pi R quand elle est mesurée avec la métrique spatiale induite dans un référentiel tournant autour de son axe.

C'est différent de ce qui se passe dans un référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski. Mesurée par les observateurs tournant sur un cercle de rayon R, la longueur d'un arc de cercle interceptant un angle au centre dtêta donné est supérieure à dtêta R. Cela découle de la contraction de Lorentz des mètres tournants (servant à mesurer cette longueur) quand ils sont orientés dans la direction circonférentielle.

En raison de la contraction de Lorentz des mètres tournants (quand on les oriente en direction circonférentielle) la circonférence C d'un cercle de rayon R, au repos dans un référentiel inertiel, mesurée par des observateurs tournant à la même vitesse v le long de ce ce cercle vaut :
C = 2 pi R/(1-v^2/c^2)^(1/2) < 2 pi R (courbure négative de la métrique spatiale du référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski).

Le cas limite c = +oo de l'espace-temps de Galilée redonne bien une circonférence du cercle C = 2 pi R correspondant à une géométrie euclidienne (courbure spatiale nulle du référentiel tournant dans un espace-temps de Galilée)

[invite6754323456711]

Les espace-temps de Minkowski de paramètre c sont des espace-temps 4D dans lesquels les phénomènes physiques, pour être autorisés à s'y produire, doivent respecter la covariance vis à vis des actions du groupe de Poincaré de paramètre c. L'invariance des lois de la physique vis à vis des actions du groupe de Poincaré complet sur l'espace-temps expriment

• la conservation de l'énergie (invariance par translation temporelle)
• la conservation de l'impulsion (invariance par translation spatiale)
• la conservation du moment cinétique (invariance par rotation)
• le principe de relativité du mouvement (dont, par exploitation des précédentes symétries, on peut tirer l'invariance par les actions du groupe de Lorentz, le groupe des rotations spatio-temporelles)
• la réversibilité = relativité du sens de l'écoulement du temps (invariance des lois de la physique par renversement du temps)
• la relativité de la chiralité des escaliers en colimaçon (la symétrie P)

Les interactions qui se propagent à vitesse indépendante de la vitesse de leur source dans un espace-temps de Minkowski sont tenues de toutes se propager à la même vitesse c.

Dans quel ordre sont les conséquences logiques ?

Espace-Temps homogène et isotrope ---> des symétries ---> Les principes de conservations ?

Les difficultés parfois rencontrées relativement à la compréhension de la nature géométrique du caractère privilégié de certains référentiels dans certains espace-temps de la Relativité Générale découlent d'une confusion entre les notions de covariance globale (propre à la Relativité Restreinte) et de covariance seulement locale (propre à la Relativité Générale).

Cela a t'il pour conséquence que les symétries observées en RR ne sont plus que locale en RG ? Quel est (sont) le groupe qui agit (globalement) sur l'espace-temps de la RG ?

J'avais cru comprendre qu'une équation ne peut être l'expression d'une loi physique que si elle se ramène à l'égalité d'au moins deux grandeurs (de même contenu dimensionnel) qui se transforment de la même manière lors d'un changement de référentiels.

L'équation de la RG d'Einstein est elle même non covariante globalement ? Les solutions obtenues dépendent du référentiel ?

Patrick

[invite6754323456711]

Alors précisions :
.[LIST]
[*]Quand on veut définir l'état de mouvement d'un corps matériel, sans chercher à repérer tel ou tel "point" du corps matériel ou encore tel ou tel évènement se produisant sur ce corps matériel, on utilise un référentiel. Un objet mathématique bien adapté à cet objectif la est la notion de feuilletage 1D. Chaque feuillet 1D est alors un "point" de l'objet matériel.
[

Pourquoi les géodésiques isotropes (genre lumière) ne peuvent elles faire office de référentiel ?

Patrick

[chaverondier]

Dans quel ordre sont les conséquences logiques ? Espace-Temps homogène et isotrope ---> des symétries ---> Les principes de conservations ?

Dans une approche (dite inductive) visant à partir des observations, relatives à un ensemble de phénomènes physiques, en vue d’aller vers une théorie modélisant cet ensemble de phénomènes (afin d'établir des prédictions vérifiables par observation) :
.

• On propose des principes physiques destinés à exprimer des régularités observées. Dans notre cas il s'agit des lois de conservation et du principe de relativité du mouvement (adjoint au caractère fini d’une même vitesse de propagation des interactions se propageant à une vitesse indépendante de la vitesse de leur source émettrice, éliminant ainsi le cas limite où cette vitesse est infinie correspondant à la relativité galiléenne)
  .
• On établit un cadre mathématique fondé sur une axiomatique formalisant mathématiquement ces principes physiques. Dans notre cas, il s'agit de la notion de variété 4D et de la notion de groupe de symétries sur cette variété 4D (l’invariance des lois de la physique vis à vis des actions de ce groupe formalise ces principes physiques)
  .
• On établit ensuite les théorèmes découlant de ces axiomes (par exemple, comme rappelé dans le cours accessible en ligne de J.M.Raimond, Electromagnétisme et Relativité, http://www.phys.ens.fr/cours/notes-d...magnetisme.htm, on peut établir les équations de Maxwell avec très peu d'hypothèses en plus de la Relativité Restreinte)
  .
• Une fois obtenue (par induction) la construction théorique modélisant le ou les phénomènes physiques objets de cette construction, on vérifie que les prédictions découlant des théorèmes établis permettent de prédire ce qui est déjà observé. C'est le versant déductif de la démarche. Il permet de valider la construction théorique élaborée.
  .
• On s'efforce ensuite de découvrir des effets non encore observés confirmant les prédictions du modèle. On a par exemple, pour la Relativité Restreinte, confirmation par l'observation de la prédiction relativiste d'allongement de durée de vie observée des muons. Ces électrons lourds sont des particules instables créées dans la haute atmosphère par le choc, sur le bouclier atmosphérique, de particules issues du rayonnement cosmique. Cet effet est du à une vitesse de déplacement des muons par rapport à l'observateur non négligeable devant celle de la lumière. Cela rend la dilatation temporelle de Lorentz de leur durée de vie facilement observable et vérifiable.

Cela a t'il pour conséquence que les symétries observées en RR ne sont plus que locales en RG ?

C'est ça. Dans l'espace-temps de Minkowski, la métrique de Minkowski est invariante par action du groupe de Poincaré complet. Par contre, en un évènement donné d’un espace-temps de la Relativité Générale, l'invariance de la métrique vis à vis des actions du groupe de Poincaré est valide seulement localement, dans l'espace-temps tangent en cet événement (doté de la structure d'espace-temps de Minkowski grâce à la métrique de Minkowski induite ponctuellement par la métrique régnant au voisinage de cet événement). Il arrive souvent que la métrique considérée conserve cependant, globalement, quelques unes des symétries du groupe de Poincaré.

Quel est (sont) le groupe qui agit (globalement) sur l'espace-temps de la RG ?

Ca dépend de l'espace-temps. Par exemple, dans l'espace-temps de Schwarzschild :

• Considérons la métrique ds^2, c'est à dire le champ de formes bilinéaires symétriques de signature (1, -1, -1, -1) modélisant la géométrie gravitationnelle de cet espace-temps.
• Considérons un évènement z dans cet espace-temps.
• Considérons deux 4-vecteurs u et v, tangents en z à l'espace-temps. [ds^2(z)] (u,v) est le pseudo-produit scalaire, selon la métrique ds^2 de cet espace-temps, des deux 4-vecteurs u et v tangents en l'évènement z.
• Considérons l'action g d'un difféomorphisme sur l'espace temps (associant à tout évènement z un évènement z' noté g z).
• Considérons l'application linéaire tangente dg associant à tout 4-vecteur u tangent en z un 4-vecteur dg(u) tangent en z' = gz
• Définissons le produit (à gauche) par g de la métrique ds^2 par :
  [g ds^2(z)](u,v) = [ds^2(g z)] (dg(u), dg(v)) (pour tous les évènements z et tous les 4-vecteurs u et v tangents en z)
  [g ds^2(z)](u,v) est donc le pseudo-produit scalaire, selon la métrique ds^2 de cet espace-temps, des deux 4-vecteurs dg(u) et dg(v) tangents en l'évènement g z . Multiplier ds^2 par g consiste donc à « transporter en g z » les 4-vecteurs u et v initialement tangents à z, à effectuer le produit scalaire là bas (en g z), puis à affecter le résultat de ce pseudo-produit scalaire à l’évènement z (puisque g ds^2 est une fonction de z et non de g z).

Quand g ds^2 = ds^2 on dit que la métrique ds^2 est globalement invariante à gauche par l'action de g

Dans l'espace-temps de Schwarzschild, il s'avère que la métrique ds^2 est invariante à gauche :

• par les actions g appartenant au groupe des rotations spatiales autour de la singularité centrale (la ligne qui manque à cet espace-temps),
• par les actions g appartenant a un groupe de translations temporelles,

ces 2 groupes étant associés au référentiel de Lemaître (ou encore au référentiel de Schwarzschild) choix particulier qui sépare l'espace et le temps d'une certaine façon dans l'espace-temps de Schwarzschild.

On dit du groupe produit formé du groupe de ces rotations spatiales et du groupe des translations temporelles évoqués ci-dessus que c'est un groupe de symétrie globale de la métrique.

Le référentiel de Lemaître et le référentiel de Schwarzschild sont, par ailleurs, globalement invariants par les actions de ce groupe. Les observateurs changent de place spatio-temporelle (sous l'action de ce groupe) mais le feuilletage 1D en observateurs de Lemaître et le feuilletage 1D en observateurs de Schwarzschild restent inchangés par action de ce groupe.

Par contre ds^2(g z) (dg(u), dg(v)) n'est pas égal à ds^2(z) (u,v) quand g est, par exemple, une translation spatiale relative au référentiel de Lemaître.

On dit de l’espace-temps de Schwarzschild qu'il possède 4 vecteurs de Killing. C'est le nombre de vecteurs nécessaire pour former une base de l'algèbre de Lie du plus gros groupe de symétries vis à vis duquel la métrique de cet espace-temps soit globalement invariante. Dans le présent cas, il faut 3 générateurs des rotations spatiales et un générateur des translations temporelles.

Par contre, la métrique spatio-temporelle elle-même (l'intervalle entre évènements voisins ds^2 = g_ij dx^i dx^j) est une notion indépendante du choix de référentiel ainsi que du choix de système de coordonnées.

• Le temps propre dtau = {[ds^2(z)] (dz, dz)}^(1/2) s'écoulant entre deux évènements z et z+dz séparés par un intervalle ds^2 de type temps,
• La distance propre dl = {[-ds^2(z')] (dz', dz')}^(1/2) séparant deux évènements z' et z'+dz' voisins séparés par un intervalle ds^2 de type espace,

restent les mêmes si on change de système de coordonnées 4D ou encore, si on change de référentiel d’observation.

Cela signifie que [ds^2(z)](u,v), la valeur du pseudo-produit scalaire de la métrique ds^2 pris selon deux vecteurs u et v tangents à l'espace-temps en l'évènement z, ne dépend que de l'évènement z, du 4-vecteur u et du 4-vecteur v tangents en z. La valeur ds^2(z)(u,v), intrinsèque à la géométrie de l'espace-temps, reste inchangée lors d'un changement de système de coordonnées (X --> X') obtenu par action d'un difféomorphisme f (définissant le nouveau système de coordonnées X', allant de IR^4 dans l'espace-temps E, par X' = f o X). Cette même valeur reste aussi inchangée lors d’un changement de référentiel.

L’invariance locale de la métrique spatio-temporelle ds^2 vis à vis des actions du groupe de Poincaré s’écrit en outre :

• Pour tout événement z
• Pour toute action g du groupe de Poincaré sur l’espace-tangent en l’événement z
• Pour tout couple de 4-vecteurs u et v tangents en l’événement z, on a :

[ds^2(z)](g u, g v) = [ds^2(z)](u, v)

L’action du groupe de Poincaré sur les 4-vecteurs tangents u et v tangents en l’événement z ne change pas la valeur de leur pseudo-produit scalaire par ds^2(z)

Il n'en est pas de même de la notion de métrique spatiale et de la notion de métrique temporelle. Ces deux notions dépendent d’un choix du référentiel (contrairement à ds^2, la métrique spatio-temporelle). Par exemple, la métrique spatiale du référentiel tournant dans un espace-temps de Minkowski n’est pas euclidienne. Le référentiel tournant dans l’espace-temps de Minkowski possède une courbure spatiale négative (alors que la courbure spatio-temporelle y est nulle bien sûr puisque la notion de métrique spatio-temporelle est invariante par changement de référentiel).

De plus, l’invariance locale d’une métrique spatiale et d’une métrique temporelle relatives à un référentiel donné n’est valide que vis à vis des actions d’un sous-groupe du groupe de Poincaré laissant globalement invariant le feuilletage 1D du référentiel inertiel tangent à ce référentiel en l’événement z considéré (pas de mise en vitesse autorisée). L’invariance locale de la métrique spatiale et de la métrique temporelle associée au référentiel considéré n’est donc valide que vis à vis des actions locales du sous-groupe d’Aristote (du groupe de Poincaré) associé au référentiel inertiel tangent (au référentiel considéré en l’événement z considéré).

Dans le référentiel de Schwarzschild, la métrique spatio-temporelle se décompose en une métrique spatiale dL^2 et une métrique temporelle dT^2 propres à ce référentiel et on y a : ds^2 = (c dT)^2 - dL^2

Dans le système de coordonnées dit de Schwarzschild, ces deux métriques s'écrivent :
dT^2 = (1-v^2/c^2) dt^2 et dL^2 = dr^2/(1-v^2/c^2) + r^2 domega^2
où v^2 = 2 GM/r désigne le carré de la vitesse de libération (et doméga un élément d'angle solide)

La métrique temporelle dT^2 du référentiel de Schwarzschild munit son feuilletage en feuillets 3D de simultanéité d’une structure d’espace métrique euclidien à une dimension (chaque feuillet 3 D de simultanéité est un point d’une variété 1D, quotient de la variété 4 D d’espace-temps par son feuilletage en feuillets 3 D de simultanéité)

La métrique spatiale dL^2 du référentiel de Schwarzschild munit son feuilletage en feuillets 1D d’une structure d’espace métrique euclidien (mais non plat) à 3 dimensions (chaque feuillet 1D du référentiel de Schwarzschild est un point d’une variété 3D, quotient de la variété 4 D par son feuilletage en feuillets 1D d’immobilité dans le référentiel de Schwarzschild)

J'avais cru comprendre qu'une équation ne peut être l'expression d'une loi physique que si elle se ramène à l'égalité d'au moins deux grandeurs (de même contenu dimensionnel) qui se transforment de la même manière lors d'un changement de référentiels. L'équation de la RG d'Einstein est elle même non covariante globalement ? Les solutions obtenues dépendent du référentiel ?

L’équation de champ d’Einstein G = khi T, reliant le tenseur de courbure G au tenseur d’énergie impulsion T, est une équation tensorielle (donc indépendante du choix de système de coordonnées) Elle exprime bien une propriété locale.

Pourquoi les géodésiques isotropes (genre lumière) ne peuvent elles faire office de référentiel ?

Parce qu’elles ne forment pas un feuilletage 1D de l'espace-temps (elles ne « remplissent pas l’espace-temps).

[invité576543]

Parce qu’elles ne forment pas un feuilletage 1D de l'espace-temps (elles ne « remplissent pas l’espace-temps).

Ce n'est pas plutôt parce qu'elles le remplissent trop?

Si on prend toutes les géodésiques, certaines s'intersectent.

En minskowskien, si on prend un hyperplan spatial (un espace) et qu'on choisit une direction de genre lumière, alors l'ensemble des géodésiques de genre lumière définies par un point de l'espace et la direction forme un feuilletage 1D, il me semble. Non?

Cordialement,

[invité576543]

Je reviens sur une définition la plus générale de la notion de référentiel.

Il me semble que la notion de feuilletage 1D est trop générale.

L'exemple qui suit m'interpelle:

On se met en 2D newtonien, avec un système de coordonnée (t,x).

L'ensemble des lignes suivantes forme un feuilletage 1D:

* la droite x=0

* les demi-droites , chaque définissant une demi-droite et v une constante

* les demi-droites , chaque définissant une demi-droite

Mais ça me semble bizarre d'appeler cela un référentiel.

On pourrait imaginer une contrainte genre chaque ligne 1D est homéomorphe à R (et non à S1), et est égale à son adhérence dans l'espace-temps (les extrémités ne sont pas "dans l'espace-temps").

Ces contraintes restent topologiques (la métrique n'est pas invoquée).

Mais il est possible (je ne sais pas, c'est une question!) que cela exclut des référentiels intéressants en RG.

Cordialement,

[Burakumin]

Bonjour

Le débat m'interesse beaucoup étant donné que, comme Michel (mmy), je me suis également posé la question de la définition des référentiels. Malheureusement mes connaissances limitées en relativité ne m'ont jamais permis une généralisation relativiste du concept. Aussi lis-je avec intérêt les interventions du fil.

Et à ce propos, je me demande (pardonnez mon ignorance) ce qu'est un feuilletage 1D ? Je ne parviens pas à trouver de définition sur google. Est-ce simplement, comme j'en ai l'impression, une partition d'une variété en sous-variété de dimension 1 ?

Cordialement

[invité576543]

Est-ce simplement, comme j'en ai l'impression, une partition d'une variété en sous-variété de dimension 1 ?

Oui, c'est ça. Chaque point de la variété appartient à une et une seule des sous-variétés qui composent le feuilletage.

En partant d'un système de coordonnées pour la mécanique classique, les lignes définies par t --> (t, x, y, z) avec x,y,z constants forment un feuilletage 1D de l'espace-temps quand (x, y, z) balaye tout l'espace. Ce feuilletage est un référentiel.

Cordialement,

[invité576543]

Je reste quand même sur ma faim.

Il semble clair que tout référentiel est un feuilletage 1D, et n'est que un feuilletage 1D, de l'espace-temps.

C'est dans l'autre sens que les choses sont moins claires. Est-ce que tout feuilletage 1D est un référentiel?

La réponse est certainement non, mais les conditions restent à cerner.

Une condition claire est une de continuité ou même de différentialité. Mais je ne sais bien l'exprimer. Juste dire que le feuilletage lui-même doit être une variété différentiable? Compatible avec la structure différentielle de l'espace-temps?

Ensuite, en newtonien, les seuls référentiels qu'on voit en pratique sont tels que les lignes sont strictement temporelles et sont en bijection avec le temps.

Et je ne suis pas sûr de trouver un exemple dans la littérature d'un référentiel en newtonien qui ne soit pas "euclidien".

En minkowskien, pareil. Pas rencontré en pratique de référentiel qui ne soit pas strictement temporel, et même non euclidien.

En RG, cela semble plus complexe, Chaverondier cite un référentiel d'usage pratique dans lequel les lignes ne sont pas strictement temporelles.

A l'opposé, il est régulièrement opposé qu'il n'existe pas de référentiel dans lequel "un photon serait immobile", ce qui exclut de la notion de référentiel les feuilletages 1D composés de lignes de type lumière (feuilletages qui existent).

Pas facile de trouver une condition générale. En particulier, la contrainte que chaque ligne du feuilletage doive être une trajectoire possible d'une particule matérielle test semble exclure les référentiels tels que les lignes ne sont pas strictement temporelles, non? Dommage, parce que cela fait quand même pas mal sens (et semble adaptée aux modèles newtoniens et minkowskien)!

Cordialement,

[chaverondier]

Le feuilletage lui-même doit être une variété différentiable?

C'est le cas : un feuilletage n D d'une variété différentielle à N dimensions est une variété à (N-n) dimensions.

En minkowskien, pareil. Pas rencontré en pratique de référentiel qui ne soit pas strictement temporel, et même non euclidien.

Le référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski est muni d'une structure d'espace 3 D Riemannien, mais sa métrique spatiale induite (par la métrique de Minkowski sur cette variété 3D)

dl^2 = dr^2 + r^2 dthêta ^2/(1-v^2/c^2) + dz^2
(v = oméga r = vitesse de rotation des feuilles 1D situées au rayon r)

n'est pas plate (la courbure spatiale du référentiel tournant est négative car la circonférence du cercle de rayon r est plus longue que 2 pi r. Cela découle du fait que, dans le sens circonférentiel, le mètre de l'observateur tournant est raccourci par la contraction de Lorentz)

Au dela de r = c/oméga, les feuilles 1D ne sont plus de type temps, mais de type espace (elles sont de type lumière en r = c/oméga).

Ce qui se passe au dela du cylindre de rayon r = c/oméga dans le référentiel tournant est similaire à ce qui se passe dans le référentiel de Schwarzschild sous la sphère de Schwarzschild dans l'espace-temps de Schwarzschild. Des observateurs physiques ne peuvent se maintenir au repos sous la sphère de Schwarzschild, car il leur faudrait "remonter le courant" du référentiel de Lemaître à une vitesse supérieure à celle de la lumière (comme des observateurs qui essaieraient de rester immobiles dans le référentiel tournant au dela du rayon r = c/oméga. Ce n'est pas possible car il leur faudrait tourner à vitesse supraluminique). Sous la sphère de Schwarzschild, les feuilles 1D du référentiel de Schwarzschild sont de type espace (et les "observateurs" au repos sur la sphère de Schwarzschild sont de type lumière).

Le référentiel de Schwarzschild joue, dans l'espace-temps de Schwarzschild, un rôle un peu similaire à celui du référentiel tournant dans l'espace-temps de Minkowski.

Le référentiel de Lemaître joue, dans l'espace-temps de Schwarzschild, un rôle similaire à celui des référentiels inertiels dans l'espace-temps de Minkowski. Par contre, il y a un référentiel de Lemaître dans l'espace-temps de Schwarzschild alors qu'il y a des tas de référentiels inertiels dans l'espace-temps de Minkowski. Cela découle du fait que la géométrie de l'espace-temps de Schwarzschild possède moins de symétries globales que la géométrie de l'espace-temps de Minkowski.

Pas facile de trouver une condition générale.

Si on veut se restreindre à des référentiels associés à un milieu ou à un système matériel, il suffit de se restreindre aux feuilletages 1D (au besoin d'une sous-variété V' de même dimension que l'espace-temps V) dont les feuilles 1D sont de type temps.

Sinon, mon précédent message contient plusieurs incorrections que j'aurais bien aimé corriger avant de l'envoyer. Entre autres :

• l'invariance locale propre aux métriques ds^2 de la RG est définie par [ds^2(z)](u,v) = [ds^2 (z)](g u, g v) pour tout évènement z, pour tous les 4-vecteurs u et v tangents en z et pour toutes les actions g du groupe de Lorentz (sur l'espace-tangent en z),
• la métrique temporelle dont on peut naturellement munir le feuilletage en feuillets 3D de simultanéité du référentiel de Schwarzschild c'est dt^2 (cad la métrique temporelle associée aux observateurs immobiles loin de la singularité, ceux dont le temps n'est pas ralenti par leur vitesse v par rapport au bon référentiel de l'espace-temps de Schwarzschild, à savoir le référentiel de Lemaître)
• la métrique spatiale du référentiel de Schwarzchild dans l'espace-temps de Schwarzchild c'est
  dl^2 = r^2 (dthêta^2 + cos^2(thêta) dphi^2) + dr^2/(1-v^2/c^2) où v^2/2 = GM/r
• {[g-(ds^2)](z)} (u,v) = [ds^2(gz)] (gu, gv) est appelée image inverse de ds^2 par g et non produit à gauche de ds^2 par g

mais bon...