Bonjour,
On m'a récemment demandé si 0.9999... à l'infini est égal à 1.
Je pense avir trouvé une méthode pour le démontrer mais je ne suis sûr de rien.
Ma démonstration :
Soit a le nombre 0.9999999... à l'infini.
10a = 9.99999... à l'infini
9.99999... - 0.99999 = 10a - a = 9a = 9
Or 9a = 9
a = 9/9 = 1
Donc 0.9999... = 1
Est-ce une démonstration valable ou non?
Bonjour,
Oui, c'est valable.
voilà ce que je te propose:
1=1
3/3=1
3*(1/3)=1
3*0.33333...=1
0.999999...=1
0.9 0.99 0.999 etc est une suite de rationnels qui est une suite de cauchy dans l'ensemble des réels et qui y converge vers 1. F a été construit de telle facon que ces limites y convergent.
Ce n'est pas valable car tu reporte juste le problème de savoir si 0.999999=1 sur le problème est ce que 0.333333=1/3 !!!Envoyé par aurelien1558
Comme il a été dit, c'est un problème de limite. Il faut donc expliciter cette suite 0,9 0,99 0,999 et montrer qu'elle converge bien vers 1.
Cette suite s'exprime très bien par récurrencequi converge bien vers 1
Bonjour,
Cette question a fait l'objet de nombreuses discutions dans de nombreux forums. Tout est dit dans:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:El_Caro/0,999
@+
Bonjour,
Oui mais entre avec pour limite 1 ou converger vers 1 et être égal à 1, il y a une (grosse) différence...
Laquelle quand il s'agit d'une notation ?
Quel est le problème avec l'assertion :
"La notation 0.9999... est toute aussi valable pour dénoter le nombre rationnel un qu'est la notation 0.3333... pour dénoter le nombre rationnel 1/3."
La notation 0.3333... est-elle celle d'une série? Ou celle d'un nombre rationnel ?
S'il y a une (grosse) différence, elle est là, c'est à dire dans la convention de ce que représente l'écriture 0.3333....
(Et que représente 0.5000... ? Une série ou un nombre ? Quelle différence y a-t-il entre 0.5000... et 0.49999... ? Et faut-il faire une différence entre 0.5 et 0.5000... ? Si oui, laquelle ?)
Bonjour,
Pour le plaisir de confronter une idée fixe à une idée unique.
Je trouve que le 0.9999=1.0001 est très physique. (par défaut et par excès, en symétrie et en inverse)
Cordialement.
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Pas de problème avec ça puisque la notation inclue la notion de limite.
Nombre rationnel puisque il s'agit du quotient de deux entiers relatifs.La notation 0.3333... est-elle celle d'une série? Ou celle d'un nombre rationnel ?
Une série...S'il y a une (grosse) différence, elle est là, c'est à dire dans la convention de ce que représente l'écriture 0.3333....
(Et que représente 0.5000... ? Une série ou un nombre ?
0,0000...1Quelle différence y a-t-il entre 0.5000... et 0.49999... ?
J'en fait une, la deuxième notation est plus précise.Et faut-il faire une différence entre 0.5 et 0.5000... ? Si oui, laquelle ?)
Salut, et le raisonnement suivant par une série ne fonctionne-t-il pas ?
Donc s'il y a une infinité de décimales, on obtient que N tend vers l'infini et que 0,9999...=1.
Par contre, je n'arrive pas à tenir le même raisonnement pour 1,000...1.
Peut être que cela vient du fait que cette notation n'a aucun sens ?Par contre, je n'arrive pas à tenir le même raisonnement pour 1,000...1.
Comment veux tu définir 1,000...1 ?
C'est justement ce que je me demande, et ce que j'espérais que quelqu'un me définisse, si jamais une définition existe !
c'est le 99999....9é fil sur le sujet : http://forums.futura-sciences.com/ma...ematiques.html
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Comme étant l'inverse de 0.9999... à la même précision?
Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
Ou 2-0,9999...
L'inverse de 0.99999..., ou 2-0.99999, c'est 1.
La notation 1.0000....1 n'a pas de sens : il n'y a pas de dernier chiffre au développement décimal d'un nombre.
C'est bien cette convention qui crée l'ambiguïté et laisse entendre une notion de limite.
Ce fameux 0,9… avec des neuf à l’infini peut aussi s'interpréter sous la forme d’une série 9 x 1/10^n dont la limite est égale à 1 quand n tend vers l’infini. La formulation d’une telle limite s’écrira donc : Limite (9/10 + 9/100 + 9/1000+…9/10^n) quand n tend vers inf = 1. Et dans ce cas Il serait incorrect d’écrire que cette limite est égale à 0,999…. car cela reviendrait à dire que la limite d’une série Sn est égale à cette même série Sn.
L’ensemble R des nombres réels peut ce formuler ]-inf ;+inf [ ce qui implique bien que le -inf et le +inf ne font pas partis de R. Si c'est une limite il est donc incorrect d'écrire 0,99999 .. = 1 non ?
L’ensemble Q, quant à lui, est parfaitement bien défini. 1/3 = 1/3
Patrick
Un développement décimal d'un réel
Il est traditionnellement noté en juxtaposant les termes de la suite, en mettant la virgule à gauche de
On montre assez facilement qu'un nombre décimal admet exactement deux développements décimaux (l'un se terminant par des 0, l'autre par des 9) alors qu'un nombre non décimal admet un développement unique.
Tout cela est parfaitement standard, sans rien de spéculatif. Notamment on a bien 0,9999.. = 1,0000..
En fait je pense que ce que veulent nous dire telchar et erik est que 0,999... a une précision infinie (et c'est pourquoi on peut prendre la limite de la série) alors que 1,00...1 aura forcément une précision finie, et donc on doit s'arrêter à un certain ordre N...
Pourquoi ? S'il a été démontré que la limite existe et est égale à 1, où est le problème ?
Rappel : La notation 0,9999... inclut la limite (celle de la série décrite par DarK MaLaK)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Alors là, il va falloir préciser :
Ce qu'est une précision infinie
Ce qu'est une précision finie
Tant qu'on y est, précisons donc la notion de précision
Et , je sais, je suis ch.... mais j'aimerais franchement savoir ce qu'est l'ordre N ... et accessoirement sa précision finie (vous pouvez rajouter, pour me faire plaisir, à quel ordre s'apprente la précision infinie) .... et accessoirement m'expliquer le langage mathématique utilisé
Ben voilà c'est ce que je pense...
La première phrase n'est pas "grammaticalement" correcte, car "avec pour limite 1" ou "converger vers 1" s'applique à des suites (ou des séries, qui peuvent se voir comme des suites), et aucune suite n'est égale à 1, pas même la suite constante définie par un = 1.Ben voilà c'est ce que je pense...
Par contre 0,9999... ne représente pas une suite, mais la limite, si elle existe, d'une certaine suite, écrire que "0.9999... a pour limite" est une phrase fondamentalement incorecte, puisque 0.999... est cette limite (puisque l'on sait démontrer qu'elle existe).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Euh, ce que je voulais dire, c'est que le nombre 0,999... a une infinité de 9 alors que pour le nombre 1,00...1, le nombre de 0 est forcément fini puisque le nombre est fini (il y a un 1 au bout). Cela me paraissait évident, peut-être que ça ne l'est pas dans une théorie rigoureuse de la mesure et de la précision ?
Pourquoi l'infini + 1 aurait une précision plus finie que l'infini?
OK en gros je compare ce qui n'est pas comparable dans ma première phrase
Ben ce que je veux dire, c'est que dans le nombre 1,00...1, j'ai l'impression que ça n'a pas de sens de dire qu'il y a une infinité de zéros et à la fin un 1, car dans cas le nombre serait fini et infini à la fois, donc j'en ai conclu qu'il ne pouvait y avoir au mieux que N zéros pour que la notation ait un sens.
C'est plutôt tordu comme convention, ce qui doit expliquer pourquoi cette question réapparaît si souvent.
Patrick
??? Vous en avez une autre à proposer ? C'est la définition de l'écriture décimale de position que vous mettez en question !
Ce qui explique que cette question revienne souvent c'est que beaucoup de personnes ne connaissent pas, ou ne maîtrisent pas, la définition de l'écriture décimale (ou tout autre base) de position ; en connaissant cette définition, il n'y a aucune question sur cette égalité (entre autres), ni convention tordue.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
