Transformation de Lorentz et métrique de Minkowski

[eramadan]

Bonjour à tous,

Je suis étudiant physique et j'aurais une question qui n'a pas vraiment été approfondie en cours. Dans un exercice de relativité restreinte on me demande de trouver une transformation de Lorentz qui inverse le temps et qui préserve la partie spatiale ; i.e (x⁰,x¹,x²,x³ = A . (-x⁰,x¹,x²,x³)

Alors moi directement je pense à la métrique de Minkoswski. La question que je me pose cette métrique peut-être vu comme une transformation de Lorentz? Ce n'est pas juste une matrice qui nous permet de switcher entre les vecteurs contravariants vers ceux covariants (i.e: de passer de mon espace vectoriel K vers mon espace Dual associé)?

Merci pour vos réponses!

E.R
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[ThM55]

Bonjour. Une transformation de Lorentz laisse invariante la forme quadratique . Eh bien, la matrice , qui change juste le signe de et laisse les autres coordonnées invariantes satisfait à cette condition. Elle ressemble sans doute à la métrique de Minkowski, mais il ne faut surtout pas confondre, son rôle est différent. Il ne faut donc pas prêter attention à cette coïncidence. Il y a autre chose qui est plus intéressant: les transformations de Lorentz forment un groupe (l'associativité vient de la multiplication matricielle, le neutre est la matrice unité, on peut montrer qu'elle a un inverse).

Si j'écris l'intervalle invariant sous forme matricielle (je ne suis pas sûr que vous connaissez la notation tensorielle avec la convention d'Einstein sur les indices, et la notation matricielle est plus simple à utiliser au clavier), il a la forme



où G est la matrice de la métrique de Minkowski. Si L est la matrice d'une transformation de Lorentz, , on doit avoir .

Comme cela est vrai pour tout quadrivecteur x, on obtient la condition: .

Si je prends le déterminant des deux membres (avec ), j'obtiens , d'où . La déterminant est une fonction continue. Donc si dans le groupe de Lorentz je trace un chemin continu partant de l'identité et aboutissant à une tranformation de Lorentz donnée $L$, le déterminant ne peut prendre que la valeur 1 sur toutes ces transformations de Lorentz. Cela prouve que la matrice de renversement du temps n'est pas dans la composante connexe de l'identité dans ce groupe. Le groupe de Lorentz ainsi étendu n'est donc pas connexe. La composante connexe de l'identité ne "renverse pas le temps" comme le fait cette matrice. Cela répond-il à votre question?

[ThM55]

Je ne sais pas si c'est mon navigateur, mais je ne vois aucune des équations que j'ai entrées. J'espère que vous pouvez les lire...

[ThM55]

C'est désespérant, j'ai tout tapé en Latex entre les balises TEX, on dirait que rien ne passe. Je le refais en ASCII:
La matrice de renversement du temps est diag(-1,1,1,1).
La forme quadratique est x^T G x
La métrique de Minkoski est représentée par la matrice G = diag(1,-1,-1,-1) (on peut prendre l'autre signature, ce n'est qu'un convention).
La transformation de Lorentz est x' = L x

La condition d'invariance sur L est L^T G L = G

En prenant le déterminant : -(det(L))^2 = -1 soit det(L) = +/- 1

[A voir en vidéo sur Futura]

[eramadan]

Bonjour,

Merci j'y vais plus clair je confondais la métrique avec les transformation de Lorentz!