Moment angulaire d'un photon et forme de l'Univers

[invitec2c6cfd4]

Bonjour

Dans le message ''Moment angulaire d'un photon dans l'Universe en expansion'', présentée dans 5/10/2007, s'est montré que le moment angulaire d'un photon a une valeur constante:

p R(t) = constante
où: p = moment linéaire d'un photon, R(t) = facteur d'échelle

Cette propriété, démontrée par la théorie de la relativité, semble être une qualité innocente, mais peut-être une indication sur la forme de l'Univers.
Si l'Univers est un espace sphérique fermé, avec k = +1, admettant momentanément que R(t) est fixe, la trajectoire d'un photon dans l'espace est un cercle avec le périmètre égale au périmètre d'un cercle avec le rayon R (t), quel que soit la position du photon. Et le moment angulaire de la fotão c'est p R (t) = constante.
Considérer maintenant un espace euclidien, avec k=0. Ce qui sera la trajectoire d'un photon avec pR(t)=constante, considérant que R (t) est fixe ? Évidentement que ne peut pas être seulement le périmètre d'un cercle avec le rayon R (t), parce qu'alors ils seraient exclus tous les photons à l'intérieur de la sphère. Ces photons aurait une trajectoire circulaire inscrite à l'intérieur de la sphère, avec des rayons moindres que R (t). Il semble peu probable qui existe ces photons avec cette variété de trajectoires. Et des photons avec les trajectoires de rayon plus grand qui R (t) ne peuvent pas exister, parce que ils resteraient en dehors de la sphère. Je ne considère pas les trajectoires des photons dans un espace ouvert avec courbure négative k = -1, pour des raisons semblables à ce de l'espace euclidien.
En étant ainsi, à moins que se démontre une propriété spéciale des photons dans des espaces ouverts, il semble que les photons seul peuvent exister dans l'espace fermé avec k = +1.
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[Deedee81]

En étant ainsi, à moins que se démontre une propriété spéciale des photons dans des espaces ouverts, il semble que les photons seul peuvent exister dans l'espace fermé avec k = +1.

Salut,

J'ai du mal à suivre ton raisonnement d'autant plus que "moment angulaire" ne veut pas nécessairement dire "trajectoire circulaire".

Un objet allant en ligne droite a un moment angulaire non nul par rapport à un point p quelconque (qui n'est pas sur sa trajectoire). Et ici le point en question n'est même pas spécifié.

[invitec2c6cfd4]

Salut,

J'ai du mal à suivre ton raisonnement d'autant plus que "moment angulaire" ne veut pas nécessairement dire "trajectoire circulaire".

Un objet allant en ligne droite a un moment angulaire non nul par rapport à un point p quelconque (qui n'est pas sur sa trajectoire). Et ici le point en question n'est même pas spécifié.

Bonjour
Je voulais comparer la trajectoire d'un photon dans un espace courbé et fermé de rayon R, k=+1, avec la trajectoire dans une sphère euclidienne.
La trajectoire dans le 1er cas est un cercle avec le rayon R (cela vient dans les livres) et par conséquent son moment angulaire est pR=constante, avec axe dans le centre du cercle (il n'est pas considéré l'interaction avec d' autres particules). Pour le 2e cas je ne sais pas laquelle est la solution et c'était cela que je voulais savoir. S'il y a une solution physique du problème, nous pouvons dire que tout cas (1er ou 2e) est acceptable; si le 2e cas n'a pas la solution est plus vraisemblable que l'Univers est courbé et fermé.

[Deedee81]

Pour le 2e cas je ne sais pas laquelle est la solution et c'était cela que je voulais savoir. S'il y a une solution physique du problème, nous pouvons dire que tout cas (1er ou 2e) est acceptable; si le 2e cas n'a pas la solution est plus vraisemblable que l'Univers est courbé et fermé.

Salut,

Pour le cas euclidien, les solutions ce sont des trajectoires rectilignes. Indépendament de l'expansion. L'analogie avec la trajectoire sur une sphère est évidemment inapplicable ici. Donc je ne comprend toujours pas ton problème

[A voir en vidéo sur Futura]

[ordage]

Bonjour

Dans le message ''Moment angulaire d'un photon dans l'Universe en expansion'', présentée dans 5/10/2007, s'est montré que le moment angulaire d'un photon a une valeur constante:

p R(t) = constante
où: p = moment linéaire d'un photon, R(t) = facteur d'échelle

Cette propriété, démontrée par la théorie de la relativité, semble être une qualité innocente, mais peut-être une indication sur la forme de l'Univers.
Si l'Univers est un espace sphérique fermé, avec k = +1, admettant momentanément que R(t) est fixe, la trajectoire d'un photon dans l'espace est un cercle avec le périmètre égale au périmètre d'un cercle avec le rayon R (t), quel que soit la position du photon. Et le moment angulaire de la fotão c'est p R (t) = constante.
Considérer maintenant un espace euclidien, avec k=0. Ce qui sera la trajectoire d'un photon avec pR(t)=constante, considérant que R (t) est fixe ? Évidentement que ne peut pas être seulement le périmètre d'un cercle avec le rayon R (t), parce qu'alors ils seraient exclus tous les photons à l'intérieur de la sphère. Ces photons aurait une trajectoire circulaire inscrite à l'intérieur de la sphère, avec des rayons moindres que R (t). Il semble peu probable qui existe ces photons avec cette variété de trajectoires. Et des photons avec les trajectoires de rayon plus grand qui R (t) ne peuvent pas exister, parce que ils resteraient en dehors de la sphère. Je ne considère pas les trajectoires des photons dans un espace ouvert avec courbure négative k = -1, pour des raisons semblables à ce de l'espace euclidien.
En étant ainsi, à moins que se démontre une propriété spéciale des photons dans des espaces ouverts, il semble que les photons seul peuvent exister dans l'espace fermé avec k = +1.

Dans le modèle standard de la cosmologie (big bang) l'univers est en expansion (non stationnaire) mais spatialement isotrope et homogène.
L'invariance de l'impulsion d'un photon (sur une géodésique) est une conséquence de l'homogénéité, quant à l'invariance du moment angulaire d'un photon (mais encore faut il définir par rapport à quoi ?) elle doit être une conséquence de l'isotropie. Cf Théorème de Noether.
Du moins c'est ce qu'il me semble ?

[invitec2c6cfd4]

Salut,

Pour le cas euclidien, les solutions ce sont des trajectoires rectilignes. Indépendament de l'expansion. L'analogie avec la trajectoire sur une sphère est évidemment inapplicable ici. Donc je ne comprend toujours pas ton problème

Bonjour
La loi du moment angulaire (pR=constante) est applicable à la sphère euclidienne (v. Gravitation and Cosmology, Steven Weinberg). Alors, quand il y a de l'expansion le moment linéaire du photon diminue. A. S. Eddington donne la suivante explication:*'' ... La dégradation de l'énergie radiante correspond, en définitif, à sa dilution dans un espace accru''.
Dans un mouvement de rotation nous avons le moment angulaire L=r x p (produit vectoriel) et est celui-ci qui est utilisé, comme dans le cas de l'espace sphérique et fermé. Mon problème est qu'avec cette formule nous obtenons, dans un espace euclidien, seulement des photons avec la trajectoire dans la surface de la sphère.

[Deedee81]

Salut,

L'invariance de l'impulsion d'un photon (sur une géodésique) est une conséquence de l'homogénéité,

Heu.... non, pas du tout. C'est un peu plus compliqué que ça. C'est plutôt de constance dont tu parles et il faudrait avant tout dire "constant par rapport à qui/quoi". Il ne faut pas oublier que l'on est en RG.

Par rapport a un observateur comobile (avec le "fluide cosmologique") l'impulsion du photon varie (même dans un univers homogène).

quant à l'invariance du moment angulaire d'un photon (mais encore faut il définir par rapport à quoi ?) elle doit être une conséquence de l'isotropie. Cf Théorème de Noether.

Et là non plus, l'isotropie de l'univers ça n'a rien à voir avec Noether. C'est comme sur Terre : ce n'est pas isotrope (c'est différent en haut et en bas ) mais Noether s'applique. Ne pas confondre les lois physiques et le système auquel elles s'appliquent. Les lois peuvent être invariantes par diverses symétries et l'état du système non symétrique. Qui plus est, en relativité générale, l'énergie totale de l'univers est une quantité mal définie (Noether ne peut s'appliquer que localement).

Et pour Luvik, je répète :
- Moment angulaire ne veut pas dire nécessairement rotation
- Le moment angulaire se définit par rapport à un point donné
- L'univers n'a pas de centre
- une loi tel que pR = cst ne signifie pas nécessairement que les photons tournent. "Moment angulaire" est ici (amha) plutôt abusif.

Ton "paradoxe" ne vient que d'une seule et unique chose : vouloir à tout prix appliquer une loi de rotation L=rxp a une loi qui n'implique pas de rotation pR=cst. C'est une mauvaise utilisation qui provoque un paradoxe.

[Deedee81]

Salut,

L'invariance de l'impulsion d'un photon (sur une géodésique) est une conséquence de l'homogénéité,

HEu.... non, pas du tout.

quant à l'invariance du moment angulaire d'un photon (mais encore faut il définir par rapport à quoi ?) elle doit être une conséquence de l'isotropie. Cf Théorème de Noether.

Et là non plus, l'isotropie de l'univers ça n'a rien à voir avec Noether. C'est comme sur Terre : ce n'est pas isotrope (c'est différent en haut et en bas ) mais Noether s'applique. Ne pas confondre les lois physiques et le système auquel elles s'appliquent. Les lois peuvent être invariantes par diverses symétries et l'état du système non symétrique.

Et pour Luvik, je répète :
- Moment angulaire ne veut pas dire nécessairement rotation
- Le moment angulaire se définit par rapport à un point donné
- L'univers n'a pas de centre
- une loi tel que pR = cst ne signifie pas nécessairement que les photons tournent

Ton "paradoxe" ne vient que d'une seule et unique chose : vouloir à tourt prix appliquer une loi de rotation L=rxp a une loi qui n'implique pas de rotation pR=cst

[ordage]

Dans le modèle standard Cosmologique, la métrique utilisée est celle de Robertson Walker qui caracatérise un espace homogène et isotrope, mais qui, par contre, n'est pas stationnaire.
Comme le temps est associé à l'énergie, je suis d'accord que l'énergie ne se conserve pas (pas de vecteur de Killing de type temps, mais il y a un tenseur de Killing), mais étant spatialement homogène et isotrope il doit y avoir des vecteurs de Killing correspondant à l'invariance par translation (conservation de la quantité de mouvement) dans l'espace et invariance par rotation spatiale (conservation du moment angulaire). Ceci c'est de la géométrie et cela s'applique entre autres à la RG.
C'est du Noether pur et dur, me semble il?

http://www-cosmosaf.iap.fr/Noether_et_le_Lagrangien.htm

[Deedee81]

Salut,

C'est du Noether pur et dur, me semble il?

Oui, localement il n'y a aucun problème.

C'est quand tu considères l'univers dans sa globalité et l'énergie du champ gravitationnel que ça devient problématique. Pour plusieurs raisons :
- En RG, il y a un rapport étroit entre énergie et gravitation (évidemment) et l'énergie est définie par les effets gravitationnels. C'est très bien quand on observe un astre : des mesures "à la Kepler" permettent de mesurer l'énergie. Mais pour l'univers, il y a un blème : il n'y a pas d'extérieur
- L'énergie du champ gravitationnel n'est pas localisée (en un point)
- Parler de la conservation de l'énergie par Noether c'est parler de translations temporelles. Mais dans une variété riemanienne quelconque, quand un feuilletage spatial n'est pas toujours possible, comment faire ?

On peut, bien sûr, avoir des définitions répondant à certains critères. Aussi bien pour le champ gravitationnel (l'exemple type est l'usage dans les ondes gravitationnels on y définit "des" tenseurs énergie-impulsion de l'onde gravitationnelle) que pour l'univers (en particulier avec une géométrie bien sage comme Robertson-Walker où un temps cosmologique peut être défini).

Je n'ai pas trouvé beaucoup de liens sur le net (mais ça doit exister). Il y a un excellent passage sur ce point dans le livre Gravitation de Thorne, Misner et Wheeler.
Voir aussi ce excellent cours que j'ai lu en son temps :
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG6F.htm#difficulte

Mais localement, j'insiste, il n'y a aucun problème et c'est même important
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG5F.htm#inv_dif_tij

[invitec2c6cfd4]

Salut,



Oui, localement il n'y a aucun problème.

C'est quand tu considères l'univers dans sa globalité et l'énergie du champ gravitationnel que ça devient problématique. Pour plusieurs raisons :
- En RG, il y a un rapport étroit entre énergie et gravitation (évidemment) et l'énergie est définie par les effets gravitationnels. C'est très bien quand on observe un astre : des mesures "à la Kepler" permettent de mesurer l'énergie. Mais pour l'univers, il y a un blème : il n'y a pas d'extérieur
- L'énergie du champ gravitationnel n'est pas localisée (en un point)
- Parler de la conservation de l'énergie par Noether c'est parler de translations temporelles. Mais dans une variété riemanienne quelconque, quand un feuilletage spatial n'est pas toujours possible, comment faire ?

On peut, bien sûr, avoir des définitions répondant à certains critères. Aussi bien pour le champ gravitationnel (l'exemple type est l'usage dans les ondes gravitationnels on y définit "des" tenseurs énergie-impulsion de l'onde gravitationnelle) que pour l'univers (en particulier avec une géométrie bien sage comme Robertson-Walker où un temps cosmologique peut être défini).

Je n'ai pas trouvé beaucoup de liens sur le net (mais ça doit exister). Il y a un excellent passage sur ce point dans le livre Gravitation de Thorne, Misner et Wheeler.
Voir aussi ce excellent cours que j'ai lu en son temps :
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG6F.htm#difficulte

Mais localement, j'insiste, il n'y a aucun problème et c'est même important
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG5F.htm#inv_dif_tij

J'ai vu dans un livre de la cosmologie (je ne me souviens pas du nom) que le chemin d'un photon dans un espace sphérique et fermé de rayon R est un cercle avec rayon R et le centre est le centre de ce cercle. Comme vous dites que cela ne peut pas se passer, la discussion n'a pas sens.

[invitec2c6cfd4]

Salut,



Heu.... non, pas du tout. C'est un peu plus compliqué que ça. C'est plutôt de constance dont tu parles et il faudrait avant tout dire "constant par rapport à qui/quoi". Il ne faut pas oublier que l'on est en RG.

Par rapport a un observateur comobile (avec le "fluide cosmologique") l'impulsion du photon varie (même dans un univers homogène).



Et là non plus, l'isotropie de l'univers ça n'a rien à voir avec Noether. C'est comme sur Terre : ce n'est pas isotrope (c'est différent en haut et en bas ) mais Noether s'applique. Ne pas confondre les lois physiques et le système auquel elles s'appliquent. Les lois peuvent être invariantes par diverses symétries et l'état du système non symétrique. Qui plus est, en relativité générale, l'énergie totale de l'univers est une quantité mal définie (Noether ne peut s'appliquer que localement).

Et pour Luvik, je répète :
- Moment angulaire ne veut pas dire nécessairement rotation
- Le moment angulaire se définit par rapport à un point donné
- L'univers n'a pas de centre
- une loi tel que pR = cst ne signifie pas nécessairement que les photons tournent. "Moment angulaire" est ici (amha) plutôt abusif.

Ton "paradoxe" ne vient que d'une seule et unique chose : vouloir à tout prix appliquer une loi de rotation L=rxp a une loi qui n'implique pas de rotation pR=cst. C'est une mauvaise utilisation qui provoque un paradoxe.

J'ai vu dans un livre de la cosmologie (je ne me souviens pas du nom) que le chemin d'un photon dans un espace sphérique et fermé de rayon R est un cercle avec rayon R et le centre est le centre de ce cercle. Comme vous dites que cela ne peut pas se passer, la discussion n'a pas sens.

[Deedee81]

J'ai vu dans un livre de la cosmologie (je ne me souviens pas du nom) que le chemin d'un photon dans un espace sphérique et fermé de rayon R est un cercle avec rayon R et le centre est le centre de ce cercle. Comme vous dites que cela ne peut pas se passer, la discussion n'a pas sens.

Salut,

Sans doute une vulgarisation un peu abusive ou mal faites. Hélas, c'est souvent le cas (comme lorsqu'on représente l'univers comme un ballon ou un trou noir comme un entonnoir).

Je comprend mieux l'origine de la confusion, alors je vais m'épancher un peu sur l'explication.

Pour un espace statique et homogène, le rayon de courbure sera R. Mais cela ne signifie pas que la trajectoire est un cercle. En particulier la trajectoire, dans ce cas, n'a pas de centre.

Plus amusant encore : si tu te places sur la trajectoire et que tu la regardes s'éloigner. Puisqu'elle est courbe, dans quel sens dévie-t-elle ? Vers le haut, le bas, à gauche, à droite ? Réponse : aucun sens .

Imagine que l'univers soit la surface d'une sphère (analogie 2D). Pas la sphère, sa surface. La sphère en soit (plongée dans un espace 3D) n'existe pas et n'est utilisée que pour la représentation (voir ci-dessous distinction extrinsèque et intrinsèque).

Une trajectoire (grand cercle, équateur, méridien) de photon sera une "ligne droite" avec courbure, une géodésique. Elle ne dévie ni à gauche, ni à droite. Et on ne "voit" un cercle que parcequ'on a décidé de représenter mathématiquement cet univers sous forme d'une sphère plongée dans un espace 3D. Le "centre" de ce cercle est en dehors de la surface, "en dehors de l'univers", il n'existe pas !!!!

Il ne faut pas confondre courbure intrinsèque (comme dans le cas d'un espace de ce type) et courbure extrinsèque (celle que l'on voit "de l'extérieur" comme lorsqu'on regarde un cercle.

Exemple : un espace cylindrique est sans courbure intrinsèque (il est plat dans le sens relativité générale, espace-temps,...) alors que tu peux y tracer un cercle autour !

Ce qui compte en RG et en cosmologie, c'est la courbure intrinsèque. Il n'y a pas de courbure extrinsèque (du moins dans sa globalité, tu peux toujours découper un feuilletage avec courbure extrinsèque, cela intervient dans certaines formulations de la RG, je dis ça pour éviter de me faire flamber par les spécialistes du groupe qui liraient ce que je viens d'écrire )

L'article wikipedia qui en parle est malheureusement trop succinct. Mais on en parle dans un dossier de futura :
http://www.futura-sciences.com/fr/co...510/c3/221/p3/

[ordage]

Salut,



Oui, localement il n'y a aucun problème.

Mais localement, j'insiste, il n'y a aucun problème et c'est même important
http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG5F.htm#inv_dif_tij

Je me plaçais dans le contexte cosmologique des univers FLRW.
L'énergie (d'un photon entre autres) n'est pas conservée (localement) le long d'une géodésique dans cette solution, c'est le fameux Redshift (dans d'une solution où il y a l'expansion).
Mais pour les autres paramètres compte tenu des symétries de cette métrique ils devraient être (localement) conservés (le long de géodésiques).
Mais ce qu'on suppose toujours implicitement, c'est que les mesures d'énergie, par exemple sont effectuées dans l'espace temps (plat) tangent localement.

Effectivement, la gravitation (et son énergie ? encore que le terme soit discutable) qui se manifeste par une courbure n'est pas descriptible localement par un tenseur (mais par un pseudo tenseur) ce qui lui dénie tout caractère local mais ce qui ne veut pas dire que cela n'existe pas. Mais manifestement c'est d'une nature différente.
Pour l'univers dans sa totalité, comme c'est supposé être un système isolé (ce qui est particulièrement clair quand il est fini, solution de l'hypersphère pour la partie spatiale) son énergie devrait être conservée si on se fie à la thermodynamique.
Tout cela n'est pas contradictoire.
Donc dans l'ensemble il me semble que nous sommes en phase.

[invitec2c6cfd4]

Bonjour
Deedee81
Tu as dit:
- Moment angulaire ne veut pas dire nécessairement rotation
- Le moment angulaire se définit par rapport à un point donné
- L'univers n'a pas de centre
- une loi tel que pR = cst ne signifie pas nécessairement que les photons tournent. "Moment angulaire" est ici (amha) plutôt abusif.
Ton "paradoxe" ne vient que d'une seule et unique chose : vouloir à tout prix appliquer une loi de rotation L=rxp a une loi qui n'implique pas de rotation pR=cst. C'est une mauvaise utilisation qui provoque un paradoxe.

Maintenant j' ai trouvé dans le livre ''Relativity – Special, General and Cosmological'', Wolfgang Rindler (Professor of Physics, The University of Texas at Dallas), Oxford U.P.,2001, le chapitre 17- Light propagation in FRW universes, section 17.1 :

...''We have already seen (cf. Exercise 16.4) that free particles move through the substratum so as to appear to preserve their relativistic angular momentum Rp with respect to the center of the balloon on which they follow a great circle (or with respect to the center of curvature of the saddle-but this image fails for the plane!). What about photons? For radial light (theta, phi=const, ds^2=0) the metric (17.1) yields
dt = +-Rd(psi) (17.2)
Recall our definition (16.3) of proper distance l = R(psi) along a radius, which corresponds to instantaneous ruler distance on the rubber membranes. We have dl=Rd(psi)+(psi)dR; so at the origin (psi)=0 a photon satisfies
dl = +- dt. So we conclude that the photons move over the ballon as would single-minded little beetles: always at the speed of light: always along great circles, always at the speed of light locally (that is, with respect to the substratum).''

Exercise 16.4
... Consequently the motion satisfies Rp=const, where p is the particle's relativistic momentum relative to the substratum. In the case k = 1 this equation has a spurious 'explanation': Consider the motion of the particle on a geodesic plane of the substratum, a 2-sphere of radius R: its angular momentum relative to the center is conserved!...

[Deedee81]

Salut,

Tout cela n'est pas contradictoire.
Donc dans l'ensemble il me semble que nous sommes en phase.

Oui, je suis tout à fait d'accord. La problématique est juste assez complexe dans le cadre RG, c'est tout.

[Deedee81]

Salut,

Merci des précisions.

Ca ne change rien à mes dernières explications très vulgarisées mais :

with respect to the center of the balloon on which they follow a great circle

Rindler mériterait un fessée pour son manque de prudence dans ses propos (même si ce qu'il explique est correct, mon exemple avec le grand cercle sur une sphère est le même que ce qu'il explique).

Bon, je plaisante un peu, Rindler est un scientifique pour qui j'ai beaucoup de respect. Ma première approche des repères accélérés ça été l'analyse du repère de Rindler (si c'est bien le même bonhomme ? Je pense).

Mais Kip Thorne est plus didactique.

Oui, je sais, ça fait bizarre d'avoir attaqué la RG par Rindler mais je n'ai pas eut une formation conventionnelle

[invitec2c6cfd4]

Salut,

Merci des précisions.

Ca ne change rien à mes dernières explications très vulgarisées mais :



Rindler mériterait un fessée pour son manque de prudence dans ses propos (même si ce qu'il explique est correct, mon exemple avec le grand cercle sur une sphère est le même que ce qu'il explique).

Bon, je plaisante un peu, Rindler est un scientifique pour qui j'ai beaucoup de respect. Ma première approche des repères accélérés ça été l'analyse du repère de Rindler (si c'est bien le même bonhomme ? Je pense).

Mais Kip Thorne est plus didactique.

Oui, je sais, ça fait bizarre d'avoir attaqué la RG par Rindler mais je n'ai pas eut une formation conventionnelle

Bonjour
Tu as dit que «*Rindler mériterait un fessée pour son manque de prudence dans ses propos (même si ce qu'il explique est correct, mon exemple avec le grand cercle sur une sphère est le même que ce qu'il explique).*»

Comme leurs conclusions sont démontrées théoriquement par la GR, je remerciait que tu m'expliquais où est son manque de prudence.

[Deedee81]

Comme leurs conclusions sont démontrées théoriquement par la GR, je remerciait que tu m'expliquais où est son manque de prudence.

Peut-être est-ce expliqué dans le reste du texte note, je m'avançais un peu.

Mais la précaution dont je parlais est dans mes propos plus haut :
- préciser que la représentation sphérique n'est qu'une représentation
- que l'espace est plongé (au sens de la géométrie) dans la représentation mais pas dans la réalité
- qu'il n'y a physiquement pas de centre au cercle : le centre, dans la représentation mathématique, est hors de la surface (l'hypersurface) elle-même or l'univers est cette surface (représenté par cette surface). Donc ce point n'existe pas physiquement.

Dans ce livre :
http://www.amazon.com/Gravitation-Ph.../dp/0716703440
(que je recommande chaudement, c'est une référence)
les auteurs prennent la précaution de le dire (pas dans la même situation que Rindler mais en toute généralité, quand ils commencent la géométrie différentielle si je me souviens bien).

Cela évite deux problèmes :
- confondre mathématique et réalité physique
- dire des bêtises

Rindler, à moins qu'il n'aie précisé en dehors des parties que tu as cité, ne dis certainement pas de bêtise mais il devrait éviter que ses lecteurs n'en disent.

Donc, la fessée, c'est pas pour dire que Rindler a fait une erreur mais qu'il t'a conduit à comprendre de travers

Mais bon, il y a d'autres choses aussi. Dans le cas de l'espace euclidien (c'est lui qui te posait problème) ce modèle sphérique est évidemment faux. p.R(t) est constant, mais la trajectoire du photon est une droite, rigoureusement une droite, que l'on parle de l'espace réel ou de la représentation (le modèle sphérique c'est k=+1). Et donc dans ce cas intervient les confusions et la croyance que j'avais signalé au début que p.R(t) = cst => rotation. Non seulement c'est faux mais ici R(t) n'est pas la trajectoire du photon, donc...

Donc, il n'y a pas que Rindler qui est fautif, suivez mon regard

En plus, j'insiste : n'ayant pas lu le bouquin de Rindler, il prend peut-être les précautions d'usage ailleurs. Dans ce cas, la faute est entièrement dans les yeux du lecteur.

C'est pourquoi je te conseille encore une fois de plus chaudement le livre ci-dessus. Quand on l'a lu et fait les exercices, on est bon (m'a fallu un an pour l'avaler, à petites doses, comme le pastis ).

Bon week end à tous, je reviens mercredi,

[invitec2c6cfd4]

Bonjour
Je trouve maintenant que le problème est expliqué: Je comprenais, dans tes déclarations, que tu as nié que dans l'espace courbé et fermé (k=+1) le photon avait une orbite circulaire (pour une personne dans une 4e dimension, pour qui habitait dans cet espace serait une ligne droite). Mais je comprenais maintenant que tu as fait référence à un espace k=0 , en disant que la trajectoire est une ligne droite. Mais ceci était le sujet que je voulais résoudre; prof. Rindler n'avait rien avec mon problème, il a dit que..."this image fails for the plane"( ''plane'' est l'espace k=0).

[Deedee81]

Bonjour
Je trouve maintenant que le problème est expliqué: Je comprenais, dans tes déclarations, que tu as nié que dans l'espace courbé et fermé (k=+1) le photon avait une orbite circulaire (pour une personne dans une 4e dimension, pour qui habitait dans cet espace serait une ligne droite). Mais je comprenais maintenant que tu as fait référence à un espace k=0 , en disant que la trajectoire est une ligne droite. Mais ceci était le sujet que je voulais résoudre; prof. Rindler n'avait rien avec mon problème, il a dit que..."this image fails for the plane"( ''plane'' est l'espace k=0).

Salut,

Oui. Mais pour k=+1 je faisais quand même une distinction entre trajectoire circulaire habituelle (celle qu'on emploie en mécanique, avec un centre et la conservation du moment angulaire et tout et tout) et les "grands cercles" (géodésiques, localement droites, dans l'espace tangent) dont le centre (lorsque l'on plongé la variété dans un espace de représentation plus grand) n'est pas un point appartenant à l'univers. Il ne faut surtout pas mélanger les deux qui physiquement sont totalement différents (même si on peut trouver des analogies mathématiques du genre p.R=cst). D'ailleurs, si c'est un humain qui parcourerait ce "cercle", il pourrait faire mille expérience, il ne verrait jamais qu'il "tourne". En particulier, à vitesse "tangentielle" constante, il ne détecterait jamais aucune force centrifuge.

(tout ceci suppose, au moins en pensée, un univers suffisament statique que pour avoir le temps de faire le tour).

Je le répète, il y avait juste à mon sens un problème de confusion et probablement un manque de pédagogie de l'auteur. Je te conseille vraiment la lecture du bouquin indiqué (très pédagogique, mieux que Elbaz que j'ai déjà lu mais pas assez complet et ce n'est pas visible à la lecture, c'est plus tard que j'ai compris qu'en fait je n'avais rien compris à la RG , Caroll est bien mais un peu court, enfin je trouve. La bible c'est Thorne). J'avais lu Einstein aussi, mais là faut s'accrocher (texte ancien : ni pédagogique ni présenté de manière "moderne") !