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Effet de l'augmentation de la masse de la Terre



  1. #1
    Olorin

    Effet de l'augmentation de la masse de la Terre


    ------

    Salut à tous !

    J'aimerai savoir quelles pourraient être , d 'un point de vue de mécanique celeste , les effets d'une augmentation de la masse de la Terre. Supposons que l'on connaisse le taux d'accroissement annuel dm/dt ( tout hypothétique biensûr ! ) de la masse terrestre , comment évaluer et quantifier les conséquences d'un tel phénomene , sur la dynamique du systeme Terre_Lune par exemple ?

    Merci à tous !

    -----

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  3. #2
    kron

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Euh, comment augmenter la masse de la Terre ? c'est ça que je ne comprends pas, certes, il y a beaucoup de facteurs (transformations nucléaires à grande échelle, météories, etc) mas de là à avoir une conséquence non négligeable sur le système terre-lune ?

    Ce qui est sur, c'est que si la masse de la terre augmente, alors les forces de gravitations aussi. Dans ce cas, on aura probablement un changement de la valeur del'accélération du mouvementde la lune, et de là une variation de l'orbite lunaire (plus resserré par exemple)

    Je vais peut etre laisser la parole a des connaisseurs plus versés dans ces sciences là
    Life is music !

  4. #3
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Ok

    Merci de ta réponse Kron . En fait , il s'agit là d'une experience de pensée , on imagine simplement que la Terre gagne en masse au cours du temps . Il est évident qu'il y aura des effets dynamique sur la Lune et l'objectif de ce post ( un petit défi que je lance au physiciens meilleurs que moi ! ) c'est d ' évaluer MATHEMATIQUEMENT de tels effets .

    Je vais essayer de me lancer , mais je n'arrive pas à aller trés loin dans mes calculs .....

    On a : Fg= G.Mt.Ml / Rtl ^2

    où Fg est la force de gravitation ,Ml la masse de la Lune , Ml la masse de la terre et Rtl la distance Terre Lune .


    Donc la vitesse de la lune Vl est Vl = Racine ( G.Mt/Rtl)

    Maintenant , si on impose une variation temporelle de la masse de la Terre Dm / Dt :

    Vl^2 = G.Mt / Rtl et 2.Vl .dVl = G . dMt / Rtl

    Donc , si je me suis pas trompé , DVl / dt = G dMt / 2.Rtl.Vl.dt

    Donc la viteese de la lune augmenterait d'aprés mon calcul , et son énergie cinétique, ce qui impliquerait une diminution de son energie potentielle et en vertu de la conservation de l'énegie totale , une augmentation de sa distance à la Terre. Ai-je fait une erreur ou une omission d'importance ?

  5. #4
    kron

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Hmmmm... une diminution de son énergie potentielle ne signifierait -il pas justement un rapprochement de la Terre? D'ailleurs, il n'est pas très logique d'un point de vue qualitatif de pense que la lune puisse s'éloigner de la terre parce que la masse de ce dernier augmente... Mais bon, il y a peut-être des facteurs qu'on a pas pris en compte...
    Life is music !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    OOps !

    oui , c'est vrai , si sa vitesse augmente , je pense que son énergie potentielle aussi , si la lune tourne plus vite autour de la terre ,le rayon de son orbite devrait augmenter , non ? car un sattellite ralenti par les forces de frottements par exemple , a tendance à se rapprocher de la Terre . Donc l'effet aurait tendance a faire s'éloigner la Lune de la Terre si il n'y a pas d'erreur ou d'omission . A ce titre , j'aimerai bien un avis plus critique sur mon calcul un peu simpliste , pourrait-on l'ameliorer ?
    Et sinon , comment varierai l'éloignement Terre lune connaissant la variation de sa vitesse ?

    merci !

  8. #6
    kron

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Bon décidément je suis fatigué je ne comprends pas très bien tes raisonnements...
    Sinon, j'avais une question, comment tu trouves la formule de la vitesse de la lune dans ton second post ?

    Je reviendrai demain plus frais et dispos

    Bonne soirée
    Cordialement

    Kron
    Life is music !

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  10. #7
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Sinon, j'avais une question, comment tu trouves la formule de la vitesse de la lune dans ton second post ?
    C'est pas trés compliqué :

    En fait on applique la premiere loi de Newton

    Fg
    =Ml.a (1)

    où Ml est la masse de la lune

    Or la force de gravité est centripète , dirigée suivant l'axe Terre-Lune , donc , dans le repère de Frenet , l'accéleration de la lune est Vl^2 / R et elle est aussi dirigée dans la direction Terre-Lune ,dans le sens de la Terre.

    En remplacant Fg et a par leur expression respective dans (1) , on obtient :

    G.Mt.Ml / Rtl^2 = Ml.V^2 / Rtl (2)

    Ce qui donne : Vl = Racine ( G.Mt/ Rtl )

    Ensuite , On peut différencier l'expression (2) En supposant que la vitesse de la Lune varie avec la masse de la Terre :

    Vl^2=G.Mt / Rtl

    2.Vl.dVl = G dMt / Rtl

    Puis on divise par dt les deux membres :

    dVl / dt = G.dMt / 2.Vl.Rtl.dt

    Donc il y a augmentation de la vitesse lorsqu'il ya augmentation de la masse . Je sais que mon calcul est certainemnet trop simpliste

    C'est pour ça qu'il faut que vous m'aidier à l'améliorer !
    Histoire d'obtenir un résultat scientifiquement raisonable !


    Bonne nuit ( moi aussi j'suis fatigué )

  11. #8
    Vulcain

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Salut, si ton raisonnement est bon, et donc si il y a augmentation de la vitesse, il y a augmentation de l'énergie cinétique, et donc une diminution de l'énergie potentiel (comme tu le dis dans ton second post). Par contre, la suite de ton raisonnement me paraits bizarre, en effet, si il y a diminution de l'énergie potentiel, cela veut dire que la distance terre-lune diminue (Ep=mgz avec z la distance terre-lune). De plus si on augmente la masse de la terre, la valeur de g va elle aussi augmenter, d'ou une diminution encore plus grande de z.

  12. #9
    Vulcain

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    petite précision, si tu considère tout les paramètres, le pb est beaucoup plus compliqué que ça

  13. #10
    DonPanic

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Salut
    A, Si la masse de la Terre augmente de manière sigificative,
    B, Plus un objet est massif, plus un satellite devra orbiter vite, à distance égale.
    La Lune chute donc vers la Terre, sa chute accroit son énergie cinétique.
    lorsqu'il y a équilibre entre vitesse de chute et vitesse orbitale,
    la Lune se stabilise sur une orbite plus proche.
    (...)oui , c'est vrai , si sa vitesse augmente , je pense que son énergie potentielle aussi , si la lune tourne plus vite autour de la terre ,le rayon de son orbite devrait augmenter , non ?
    (...)Donc il y a augmentation de la vitesse lorsqu'il ya augmentation de la masse .
    Je sais que mon calcul est certainemnet trop simpliste
    Pas le calcul, le raisonnement.
    http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/cf.html#cf
    http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/orbv.html#co

  14. #11
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Merci de vos réponses !

    Je vais manger moi !
    Mais promis , je tenterai un calcul plus precis aprés

  15. #12
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Rebonjour !

    Je pense que la résolution du problème en terme mathématique rigoureux n'est pas si simple . D'ailleurs je ne sais pas vraiment quel point de départ il serait bon d'envisager . En toute rigueur , on devrait partir d'un problème de mécanique à deux corps en interaction gravitationnelle . Je me demande si un raisonnement sur l'énergie mécanique totale pourrait suffir . De plus , il me semble que du point de vue de la conservation du moment cinétique total de l'ensemble Terre Lune , une augmentation de la masse de la Terre devrait avoir pour effet de ralentir sa vitesse de rotation sur elle meme et donc de transferer du moment cinétique à la lune , qui s'éloignerai : un effet similaire est d'ailleurs dejà a l'oeuvre , liées aux frictions des envelloppes fluides de la Terre qui la ralentissent dans son mouvement intraseque de rotation et qui font s'éloigner la lune de la Terre . Pas facile de quantifier tous ces phénomenes de façon propre pour de simlpe amateur .

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  17. #13
    kissou

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Bonjour,

    Est ce que les quelques tonnes de poussières qui tombent tous les jours sur la terre peuvent aussi avoir leurs mots à dire ?

  18. #14
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Salut !

    En fait , la contribution des poussières , méteorites qui tombent sur la Terre n'est que d'environ 500 000 tonnes par an , ce qui a l'echelle des temps géologiques ne représente qu'une augmentation de masse d'a peu prés 4.10^(-7) masse terrestre , largement négligeable !!!

  19. #15
    Vulcain

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    re bonjours.
    il est effectivement juditieux de tenir compte de la concervation du moment cinétique du couple terre-lune. il est possible que les enveloppes de fluides de la terre ralentissent sa rotation sur elle-même, mais le facteur le plus important dans ce cas est la Lune elle même; en effet, les marées provoquées par la lune sont la principale cause du ralentissement de la rotation de la Terre, du fait qu'elle ralentit, elle perd du moment cinétique. Pour qu'il y est conservation du moment cinétique total, la Lune s'éloigne de nous pour en gagner, elle se stabilisera lorsque la terre sera vérouillée sur la Lune et qu'elle ne perdra plus de moment cinétique. Si je me souviens bien, à ce moment, la Lune sera à un peu plus d'1 million de km.
    Maintenant, si on augmente considérablement la masse de la Terre, cette dernière va exercer une attraction gravitationnelle plus importante sur la Lune, ce qui va avoir tendance a la faire ce rapprocher. Pour connaitre exacement ce qui ce passe, l faudrait coupler ces deux effet et voir lequel prend la pas sur l'autre pour voir si il y a éloignement ou rapprochement de la lune.

  20. #16
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Re

    Je pense avoir trouver les quelques ingrédients mathématiques nécessaires à la résolution du problème , qui d'ailleurs peut etre intérressant , car j'ai de bonne raison de penser que les calculs de dynamiques Terre Lune n'ont probablement jamais été fait pour une masse réduite du système variant avec le temps .

    Trois equations utiles :

    Enérgie du système en interaction gravitationnelle en coordonnées polaires :

    E = 1/2 mu.((dR/dt)2 + R2.(dTheta/dt)2) - G.Ml.Mt/R2

    Moment cinétique :

    L = mu . R .V(Lune /Terre)

    Trajectoire :

    mu.(d2R/dt2-R.(dTheta /dt)2) = - G.Mt.Ml/R2

    Et 2.dR/dt.dTheta/dt + R.d2Theta/dt2=0

    Dans le cas où mu = Mt.Ml / MT + Ml varierai , je pense que l'intégration temporelle de l'équation de la trajectoire ,pour obtenir l'équation horaire du mouvement ne doit pas etre facile ......
    Voilà !
    ______________________________ ____________________________

    Think different !

  21. #17
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    2.dR/dt.dTheta/dt + R.d2Theta/dt2=0
    Cette équation traduit en fait la conservation du moment cinétique et se réecrit :

    R2dTheta/dt = Cste = C

    un changement de variable est approprié pour l'intégration :

    Si l 'on pose u = 1/R

    Alors dTheta/dt = C/R2=C.u2

    R.(dTheta/dt)2 = C2u3

    -G.Mt.Ml / R2 = - G.Mt.Ml.u2

    d2R/dt2 = -C2.u2d2u/dTheta2


    En injectant ces relations , L'équation de la trajectoire devient :

    -C2.u2d2u/dTheta2-C2u3=- G.Mt.Ml.u2 / mu

    et donc on a :

    d2u/dTheta2+u = G.Mt.Ml/mu.C2

    La solution génerale de cette équation est :

    R = p / (1 + A.p.cos(Theta) ) qui est l'equation d'une conique de parametre p = C2/G.(Mt+Ml) et d'excentricité e = Ap

    Si on veut connaitre la variation du rayon R de la trajectoire , qui est ici la distance Terre-Lune , il faudrait dériver cette équation par rapport au temps en faisant de meme pour les masse Mt et Ml .

    Je vais diner , la suite aprés !!

  22. #18
    Olorin

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre


    Equation de Binet: d2u/dTheta2+u = G.Mt.Ml/mu.C2

    La solution génerale de cette équation est :

    R = p / (1 + A.p.cos(Theta) ) qui est l'équation d'une conique de paramètre p = C2/G.(Mt+Ml) et d'excentricité e = Ap
    En réalité , la solution c-idessus ne peut pas etre la solution de l'équation différentielle de Binet dans le cas de masses variables , car elle est obtenue en admettant que le second membre G.Mt.Ml/mu.C2 est constant . En supposant que le second membre ouisse etre une fonction du temps , peut- on envisager une forme différente pour la solution et si oui , laquelle ?

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  24. #19
    gergo

    Tu ne tiens pas compte du fait que l'énergie potentielle est négative !!!! Donc si Ep diminue Rtl diminue aussi !

    En fait en l'absence de phénomènes dissipatifs (effet de marée) et avec un accroissement de masse isotrope, ce problème est simple : conservation de l'énergie mécanique et du moment cinétique donc
    V² - 2GM/R= valeur initiale
    VR= valeur initiale
    d'où (V²init -2GMinit/Rinit)R²+2GMR-V²initR²init=0
    Je vous passe l'étude simplissime de R(M) :R diminue donc lorsque M augmente ! La relation R(M) est valable à tout instant pourvu que le mouvement soit quasi-circulaire mais s'il l'est initialement il le restera si l'accroissement de masse est isotrope.

    Le moment cinétique de la masse accrétée par la Terre change le moment cinétique de la Terre, pas celui du couple Terre Lune. Ce sont les effets de marée qui modifient le moment cinétique de la terre et de la Lune...

    Tout cela reste bien mathématique car je ne vois aucune cause d'accroissement non négligeable de la masse de la Terre ! Les effets dissipatifs dus au fait que le temps de révolution de la Lune autour de la Terre est différent du temps de rotation de la Terre sur elle-même sont beaucoup plus importants, donc la Lune s'éloigne bien de la Terre !
    Dernière modification par deep_turtle ; 25/02/2006 à 10h22.

  25. #20
    DonPanic

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    Citation Envoyé par Olorin
    Je pense que la résolution du problème en terme mathématique rigoureux n'est pas si simple . D'ailleurs je ne sais pas vraiment quel point de départ il serait bon d'envisager . En toute rigueur , on devrait partir d'un problème de mécanique à deux corps en interaction gravitationnelle . Je me demande si un raisonnement sur l'énergie mécanique totale pourrait suffir . De plus , il me semble que du point de vue de la conservation du moment cinétique total de l'ensemble Terre Lune , une augmentation de la masse de la Terre devrait avoir pour effet de ralentir sa vitesse de rotation sur elle meme et donc de transferer du moment cinétique à la lune ,
    Citation Envoyé par gergo
    Le moment cinétique de la masse accrétée par la Terre change le moment cinétique de la Terre, pas celui du couple Terre Lune.
    Si tu considères que ce qui tombe sur la Terre est extérieur au système Terre-Lune,
    le gain de masse de la Terre modifie le moment cinétique du systèmeTerre-Lune.

  26. #21
    boby la pointe

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    bonjours
    moi je pense que la rotation de la lunne autoure de la terre aurai une allur plus élliptique si la masse de la Terre augmente donc elle accélére et est plus pré elle ralentie et est plus loing
    es béte

  27. #22
    gergo

    Re : Effet de l'augmentation de la masse de la Terre

    J'ai supposé que le moment cinétique de la masse accrétée est négligeable car elle arrive de toutes les directions ; oui la vitesse angulaire de rotation de la Terre devrait diminuer et son rayon augmenter avec Mterre.R²terre.Vangulaireterre constant...

    Un raisonnement sur la conservation de l'énergie mécanique est suffisant si l'énergie dissipée (pertes d'énergie dues aux collisions de la matière accrétée avec la Terre d'où chaleur et réactions physico-chimiques) est négligeable : il est vrai que c'est difficile à estimer...

    Je considère que ce qui tombe sur la Terre fait partie du système global Terre-Lune dans mes équations puisqu'en fin de compte cette matière accrétée sera intégrée à la Terre.

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