vitesse maximale et accélération

[invitee3fc3047]

bonjour,
je me demandais:
imaginons une fusée de vitesse initiale v_0 et à une distance x_0 d'une étoile de masse M.
Elle est sous l'effet du champ de gravitation de l'étoile, par conséquent elle va accélérer.
En calculant, par l'équation géodésique, l'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse de la fusée, j'obtiens une équa. diff non-linéaire à coeff. non-constants, que je n'arrive par conséquent pas à résoudre. (en prenant alpha=beta=gamma=1 dans la PPN)
elle donne bien dv/dt 0 pour x»2*1.5km et M M_soleil.
Mais comment se confirmer que la vitesse de la fusée ne dépassera pas c au bout d'un certain temps? Et en quoi la condition initiale sur la vitesse est indépendante de cette limite infranchissable? (on peut très bien imaginer que la vitesse initiale de la fusée soit de 0,1c)
l'équation que j'ai trouvé est :
dv/dt = 2*(M/M_soleil)*(1.5km/r^2)*(c^2+v^2), où r=r(t) est la distance radiale à l'étoile. Elle est dimensionnellement correcte.
Merci d'avance pour votre aide.
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[LaRacineCarree]

Mais comment se confirmer que la vitesse de la fusée ne dépassera pas c au bout d'un certain temps?

La fusée ne dépassera pas la vitesse c tout simplement parce que c'est impossible.

l'équation que j'ai trouvé est :
dv/dt = 2*(M/M_soleil)*(1.5km/r^2)*(c^2+v^2), où r=r(t) est la distance radiale à l'étoile. Elle est dimensionnellement correcte.
Merci d'avance pour votre aide.

Ton équation est sans doute vraie (j'ai pas vérifié) pour des vitesses non relativistes, mais fausse dès que l'on s'approche de c.

L'équation E = 1/2*m*v^2 est ainsi une "approximation" de l'équation exacte et n'est valable que pour des vitesses non relativistes.

[invitee3fc3047]

Bonjour,
merci pur votre réponse.

Concernant l'équation, la seule hypothèse que j'ai faite est celle de champ faible, n'utilisant que les termes quadratiques dans le développement de la métrique.
La limite non-relativiste est aisément obtenue : il ne subsiste que le premier terme du membre de droite de mon équation.
Si de plus la distance est beaucoup plus grande que le rayon de Schwarschild de l'étoile, le membre de droite entier est négligeable et donne une accélération à peu près nulle, ce qui est physiquement cohérent.

Pour information, je suis parti de l'équation géodésique faisant intervenir les dérivées premières de la métrique au travers des symboles de Christoffel.
Pourriez-vous m'éclairer sur ce qui vous fait dire que cette équation est une approximation non-relativiste?
Merci d'avance

[invitee3fc3047]

Et concernant votre première remarque, j'ai très bien compris qu'il apparait des singularités et mathématiques et physiques dans les expressions faisant intervenir le facteur lambda, lorsque la vitesse dépasse celle de la lumière dans un espace de Minkowski, et il est clair qu'il est dès lors impossible de la dépasser.
En est-il réellement la même chose lorsqu'une courbure spatio-temporelle "force" la trajectoire et la dynamique d'un corps?
Je veux dire que la métrique, ici non plus Lorentzienne mais "arbitraire", pourrait très bien compenser les facteurs introduisant les singularités : A ce que je sache il n'y a pas de contrainte sur la masse d'un corps, qui définit la métrique et donc la raideur et la profondeur du puit de potentiel associé à cette masse.

Je me doute bien que non, mais j'ai besoin d'une raison plus convaincante que "tout simplement parce que c'est impossible"

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee3fc3047]

up? hum..

[LaRacineCarree]

Je ne pourrai pas vous en dire beaucoup plus sur ce sujet qui n'est pas ma spécialité, mais d'autres sur ce forum pourront certainement vous éclairer.

Je ne faisais que rappeler les précautions à prendre dès qu'on s'approche de c avec des équation de mécanique "classique", mais apparemment vous y aviez déjà pensé.

[xxxxxxxx]

Et concernant votre première remarque, j'ai très bien compris qu'il apparait des singularités et mathématiques et physiques dans les expressions faisant intervenir le facteur lambda, lorsque la vitesse dépasse celle de la lumière dans un espace de Minkowski, et il est clair qu'il est dès lors impossible de la dépasser.
En est-il réellement la même chose lorsqu'une courbure spatio-temporelle "force" la trajectoire et la dynamique d'un corps?
Je veux dire que la métrique, ici non plus Lorentzienne mais "arbitraire", pourrait très bien compenser les facteurs introduisant les singularités : A ce que je sache il n'y a pas de contrainte sur la masse d'un corps, qui définit la métrique et donc la raideur et la profondeur du puit de potentiel associé à cette masse.

Je me doute bien que non, mais j'ai besoin d'une raison plus convaincante que "tout simplement parce que c'est impossible"

bonjour,

un peu de lecture pas trop compliquée sur le sujet : http://fr.wikipedia.org/wiki/E%3Dmc%C2%B2

essayes de mettre v=c ou v>c dans les équations... ça coince très vite pour faire le calcul.

le cas de la masse nulle est bien expliqué aussi

cordialement

[invitee3fc3047]

bonjour,
merci pour vos réponses.

Comme je l'avais dit à RacineCarrée, je connais déjà le suejt de la relativité restreinte, et l'invariant relativiste donne effectivement la relation E=mc² pour une particule au repos dans un espace de Minkowski.
Je pense que ma question s'éloigne de ce sujet : je parle ici de métrique d'espace courbe et non plat.
De plus, mon équation est déduite des équation d'Einstein dans le vide (), qui prend en compte la RR bien évidemment. Il se trouve que cette équation ne fait pas intervenir le symbole d'où ma question!
Merci pour votre aide.

[invitee3fc3047]

j'ai bien envie de faire un petit up, car à part des rappels de principes de bases de relativité restreinte, il n'y a aps eu beaucoup de réponses pertinentes je trouve...

[Rincevent]

salut,

quelques éléments de réponse...

Elle est sous l'effet du champ de gravitation de l'étoile, par conséquent elle va accélérer.

cette affirmation est au mieux "pas toujours correcte", au pire inexacte. Plus précisément :

- en RG la gravitation n'est pas une force. Un mouvement qui n'est soumis qu'à celle-ci est géodésique et ne correspond donc à aucune accélération ressentie (ça c'est pour la version "inexacte")

- si on regarde le mouvement du point de vue d'un ensemble d'observateurs immobiles par rapport à la masse alors oui, la fusée possède une accélération (= vitesse non constante) par rapport à eux. Mais ceci n'est vrai que par rapport à des observateurs pas inertiels (d'où le "pas toujours correcte")

En calculant, par l'équation géodésique, l'équation différentielle régissant l'évolution de la vitesse de la fusée, j'obtiens une équa. diff non-linéaire à coeff. non-constants, que je n'arrive par conséquent pas à résoudre.

tu dois pouvoir réussir à t'en sortir en résolvant l'équation en deux fois : une certaine vitesse à une certaine distance de l'étoile correspond à une certaine vitesse à l'infini ou une vitesse nulle à une autre distance.

Mais comment se confirmer que la vitesse de la fusée ne dépassera pas c au bout d'un certain temps?

en chaque point la 4-vitesse de ta fusée est du genre temps. La vitesse par rapport à un observateur immobile par rapport à l'étoile est donc inférieure à c. Après, si tu résouds les équations du mouvement tu trouves effectivement quelque chose en accord avec ça... mais le genre de la 4-vitesse est suffisant pour conclure.

Et en quoi la condition initiale sur la vitesse est indépendante de cette limite infranchissable? (on peut très bien imaginer que la vitesse initiale de la fusée soit de 0,1c)

on peut montrer que pour une métrique "gentille" toute géodésique "lisse" garde le même genre. La condition initiale ne joue donc pas.

l'équation que j'ai trouvé est :
dv/dt = 2*(M/M_soleil)*(1.5km/r^2)*(c^2+v^2), où r=r(t) est la distance radiale à l'étoile. Elle est dimensionnellement correcte.

je n'ai pas vérifié, mais tu devrais pouvoir t'en sortir aussi avec le calcul exact.

En est-il réellement la même chose lorsqu'une courbure spatio-temporelle "force" la trajectoire et la dynamique d'un corps?

oui

Je veux dire que la métrique, ici non plus Lorentzienne mais "arbitraire", pourrait très bien compenser les facteurs introduisant les singularités : A ce que je sache il n'y a pas de contrainte sur la masse d'un corps, qui définit la métrique et donc la raideur et la profondeur du puit de potentiel associé à cette masse.

la limite c'est le trou noir.

Je pense que ma question s'éloigne de ce sujet : je parle ici de métrique d'espace courbe et non plat.
De plus, mon équation est déduite des équation d'Einstein dans le vide (), qui prend en compte la RR bien évidemment. Il se trouve que cette équation ne fait pas intervenir le symbole d'où ma question!

le gamma est relatif à deux observateurs. Il n'apparaît pas dans les équations d'Einstein car celles-ci ne parlent que du champ de gravitation. Mais si tu regardes une équation du mouvement dans un système de coordonnées fixé, tu as un "gamma implicite" : celui entre l'objet en mouvement et l'observateur immobile par rapport aux coordonnées. Mais le fait que l'espace soit courbe ne change rien car localement tu peux toujours appliquer la RR : c'est le principe d'équivalence qui te le dit. Entre deux observateurs physique tu as donc toujours une vitesse relative inférieure à c.