Relativité matrices de Lorentz

[invitec3badfdc]

Salut tout le monde.

Je viens de commencer à flirter avec la relativité. A la base je suis de profil matheux en termes d'études...alors j'ai suivi et refait un peu tout ce qui concerne la construction des matrices de Lorentz et je me suis intéressé au problème suivant :

Imaginons trois référentiels R, R' et R" tel que les coordonnées dans R, R' et R" sont les transposés X, X' et X" respectivement de (ct,x,y,z), (ct',x',y',z') et (ct",x",y",z"). On suppose les axes homologues de ces repères parallèles.

-On suppose que R' est en translation rectiligne uniforme sur l'axe Ox rapport à R, à vitesse v dans R.
-De même, on suppose que R" est en translation rectiligne uniforme sur l'axe Ox' rapport à R', à vitesse v' dans R'.

Mathématiquement, on peut écrire X=Lorentz(R,R').X' et
X'=Lorentz(R',R").X". De plus, il est clair que
Lorentz(R,R')=Lorentz(R,R').

Donc : X=Lorentz(R,R').X' et X'=Lorentz(R',R").X".
Donc X=(Lorentz(R,R'))².X".

A priori je me suis dit (découvrant le sujet) : bah, à tous les coups, R" est également en translation rectiligne uniforme par rapport à R.
Et si c'est le cas, alors on doit avoir Lorentz(R,R")=(Lorentz(R,R'))² .

Et vu la structure des matrices de Lorentz, je devrais pouvoir identifier une vitesse w telle que R" est en translation rectiligne uniforme par rapport à R...

Or ce n'est pas le cas!!! La matrice de Lorentz est diagonale par blocs de taille 2 de la forme [a b;b a] et en résolvant les équations relatives aux coefficients diagonaux et extra-diagonaux je trouve ne trouve pas la bonne vitesse w...

vous pouvez essayer vous verrez!

Alors si qqn pouvait m'expliquer SVP...R" ne serait pas en translation rectiligne uniforme par rapport à R ???

Merci d'avance...
-----

[invite231234]

Lorentz(R,R')=Lorentz(R,R').

Là, je suis tout à fait d'accord.

[bongo1981]

Salut tout le monde.

Je viens de commencer à flirter avec la relativité. A la base je suis de profil matheux en termes d'études...alors j'ai suivi et refait un peu tout ce qui concerne la construction des matrices de Lorentz et je me suis intéressé au problème suivant :

Imaginons trois référentiels R, R' et R" tel que les coordonnées dans R, R' et R" sont les transposés X, X' et X" respectivement de (ct,x,y,z), (ct',x',y',z') et (ct",x",y",z"). On suppose les axes homologues de ces repères parallèles.

-On suppose que R' est en translation rectiligne uniforme sur l'axe Ox rapport à R, à vitesse v dans R.
-De même, on suppose que R" est en translation rectiligne uniforme sur l'axe Ox' rapport à R', à vitesse v' dans R'.

Mathématiquement, on peut écrire X=Lorentz(R,R').X' et
X'=Lorentz(R',R").X". De plus, il est clair que
Lorentz(R,R')=Lorentz(R,R').

Donc : X=Lorentz(R,R').X' et X'=Lorentz(R',R").X".
Donc X=(Lorentz(R,R'))².X".

C'est faux, à moins que tu poses v=v'

A priori je me suis dit (découvrant le sujet) : bah, à tous les coups, R" est également en translation rectiligne uniforme par rapport à R.
Et si c'est le cas, alors on doit avoir Lorentz(R,R")=(Lorentz(R,R'))² .

Plutôt comme ça :
Lorentz(R,R")=Lorentz(R,R')Lor entz(R',R'')

Et vu la structure des matrices de Lorentz, je devrais pouvoir identifier une vitesse w telle que R" est en translation rectiligne uniforme par rapport à R...

Or ce n'est pas le cas!!! La matrice de Lorentz est diagonale par blocs de taille 2 de la forme [a b;b a] et en résolvant les équations relatives aux coefficients diagonaux et extra-diagonaux je trouve ne trouve pas la bonne vitesse w...

vous pouvez essayer vous verrez!

Alors si qqn pouvait m'expliquer SVP...R" ne serait pas en translation rectiligne uniforme par rapport à R ???

Merci d'avance...

Et pourtant si...
Si tu écris :




En calculant le produit, tu dois faire apparaître une matrice de la même forme avec :
et

[Amanuensis]

On suppose les axes homologues de ces repères parallèles.

On ne peut pas obtenir une transformation de Lorentz en démarrant comme ça.

L'hypothèse usuelle est de considérer les axe y, y' et y" parallèles, et les axes z, z' et z" parallèles, et les plans x-t, x'-t', x"-t" parallèles.

Cette "nuance" est essentielle, puisque le non parallélisme des axe t, t' et t" est une différence essentielle avec l'espace-temps classique.

Une transformation de Lorentz peut être vue comme une "rotation" (une "rotation hyperbolique") dans le plan x-t.

(L'analogie avec les rotations va jusqu'à ce qui est sous-jacent à la question : la composition de deux "rotations" est encore une "rotation" quand elles ont "le même axe" -- en 4D l'axe est déterminée par deux directions, ici celle de y et celle de z)).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

PS : Ma petite remarque est indépendante de ce qu'explique bongo (qui répond de manière correcte).

[invitec3badfdc]

Bonjour

Merci de vos réponses. En fait j'avais mis ou omis quelques symboles ' par inattention : ainsi par rapport à l'écrit précédent j'ajoute :

* v=v'
*Lorentz(R'/R)=Lorentz(R"/R').

J'avais effectivement essayé de mettre le bloc 2x2 sous la forme précédente, sauf que j'avais tenu à identifier w dès le début.

En raisonnant plutôt sur les bêta et gamma j'ai pu faire les calculs et vérifications beaucoup plus facilement et je trouve :

w=2v/(1+(v/c)²).

Merci d'avoir insisté ça m'a aidé à reprendre mes calculs. Je vais maintenant pouvoir continuer mon apprentissage tranquillement.

Bonne soirée à tous.

[invitec3badfdc]

Euh au fait autre question. J'en suis maintenant à un autre type de question : celle du calcul des longueurs lors d'un changeent de référentiel.

Toujours dans le cadre de cette translation, on pose sur l'axe O'x' un point M' qui y reste fixe dans R', à une abcisse l'. On appelle G l'homologue de O' dans R et M l'homologue de M' dans R. On appelle l l'homologue de l' dans R.

Après calcul avec les matrices de Lorentz, on obtient sur la seconde ligne que l=gamma.l'...

par contre, j'obtiens sur la première ligne :

gamma.bêta.l'=0...ce qui est certes faux!

Alors pourquoi? J'ai écrit les changements de repère à l'aide des matrices de Lorentz pour passer de O' à G et de M' à M et en soustrayant je trouve les résultats ci-dessus...

Pourriez vous SVP m'expliquer l'erreur?

[Amanuensis]

Pourriez vous SVP m'expliquer l'erreur?

Faudrait voir le calcul complet. A priori, c'est un problème dans la prise en compte des coordonnées temporelles.