Equations de Friedmann, métrique FRW et dimension

[inviteaceb3eac]

Bonsoir,

En faisant des tas de calculs sans assez réfléchir aux dimensions des grandeurs utilisées je me suis aperçu que quelque chose clochait. J'espère que vous pourrez me dire ce qui ne va pas

Tout d'abord on a la métrique FRW:

J'en déduis deux choses: R doit être adimensionné, et (dimension de l'inverse du carré d'une longueur).

D'autre part on a l'équation de Friedmann:
Et de là j'en déduis:
D'où un premier problème...

Enfin, j'ai aussi lu:

Donc j'ai l'impression qu'il y a un mélange de notations duquel je ne parviens pas à m'extirper

Merci par avance,

Cordialement.
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[invite9f80122c]

A priori il y a un facteur c^2 quelque part. Je pense que le K de l'équation de ds^2 n'est pas le même que celui de R'^2/R^2 mais par contre c'est le même que celui de la dernière équation.

Je ne sais pas ce qu'est S par contre ... la surface de la sphère ???

Donc k = L^-2 et K = k c^2 = T^-2

[invite9f80122c]

De plus il me semble que [R] = L

Par convention c'est k dans l'équation ds^2 tel qu'écrite je pense, si c'est K il doit y avoir une erreur je pense.

[ordage]

Bonsoir,

En faisant des tas de calculs sans assez réfléchir aux dimensions des grandeurs utilisées je me suis aperçu que quelque chose clochait. J'espère que vous pourrez me dire ce qui ne va pas

Tout d'abord on a la métrique FRW:

J'en déduis deux choses: R doit être adimensionné, et (dimension de l'inverse du carré d'une longueur).

D'autre part on a l'équation de Friedmann:
Et de là j'en déduis:
D'où un premier problème...

Enfin, j'ai aussi lu:

Donc j'ai l'impression qu'il y a un mélange de notations duquel je ne parviens pas à m'extirper

Merci par avance,

Cordialement.

Salut

Dans la forme que tu utilise pour la métrique RW , r est un paramètre sans dimension.
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f80122c]

Salut

Dans la forme que tu utilise pour la métrique RW , r est un paramètre sans dimension.
Cordialement

Sûr de ça ?

Ca serait bien que les auteurs précisent ce genre de choses dans leurs bouquins, c'est fondamental et assez casse-tête quand on n'a pas toutes les données. De plus c'est loin d'être trivial. A se demander s'ils comprennent ce qu'ils écrivent ...

Un expert pourrait répondre ?

Ca me casse la tête cette question

[inviteaceb3eac]

Bonjour,

Merci pour ces infos. Donc je récapitule, dites-moi si je me trompe.
D'après l'expression de la métrique FLRW:



Par analyse dimensionnelle on constate que R est forcément adimensionné et que

D'autre part on écrit l'équation de Friedmann:


avec et donc

Enfin, l'équation est bien cohérente d'un point de vue dimensionnel, et S est en fait le facteur d'échelle (adimensionné).

Donc il n'y a plus de problème!

[ordage]

Sûr de ça ?

Ca serait bien que les auteurs précisent ce genre de choses dans leurs bouquins, c'est fondamental et assez casse-tête quand on n'a pas toutes les données. De plus c'est loin d'être trivial. A se demander s'ils comprennent ce qu'ils écrivent ...

Un expert pourrait répondre ?

Ca me casse la tête cette question

Salut

Désolé la notation m'a induit en erreur, j'ai cru que R avait la dimension d'une longueur. Il y a des variantes de la métrique RW qui sont écrites comme cela.

Mais si R est sans dimension c'est alors ce qu'on appelle le facteur d'échelle qu'on note de façon plus appropriée a(t) ce qui évite les confusions et r est bien dimensionné à une longueur et k au carré d'une courbure (1/L²), comme décrit dans le message 1.

Par contre, l'équation de Friedmann dimensionnée s'écrit.

[a'(t)/a(t)]² = 8piGrho/3 - kc²/a²

cf par exemple:

http://en.wikipedia.org/wiki/Friedmann_equations


ce qui est bien compatible dimensionnellement.

Mais c'est vrai que souvent on pose c =1 et beaucoup d'équations ne comportent pas le facteur c² d'où la confusion.

Cordialement



.

[inviteaceb3eac]

Ah non j'ai été trop optimiste...
En réalité pour obtenir l'équation de Friedmann par une approche newtonienne j'ai posé

EDIT: Ordage a répondu à mon interrogation

[invite9f80122c]

Donc [R] = L , [k] = L^-2 et [K] = k c^2 = T^-2

Je parlais des auteurs des bouquin, pas des membres du forum

Parce que si r a les dimensions d'une longueur, quid du dénominateur 1-kr^2 ? Le 1 est de quelle dimension ? Le ds doit être une longeur aussi, non ???

[ordage]

Donc [R] = L , [k] = L^-2 et [K] = k c^2 = T^-2

Je parlais des auteurs des bouquin, pas des membres du forum

Parce que si r a les dimensions d'une longueur, quid du dénominateur 1-kr^2 ? Le 1 est de quelle dimension ? Le ds doit être une longeur aussi, non ???

Salut

Tu as plusieurs conventions possibles. Le tout, quand tu en choisis une, c'est d'être cohérent.

Si R(t) est une longueur, alors la coordonnée r est sans dimension, ainsi que k.

Une autre convention très répandue, également avec R(t) dimensionné à une longueur (correspondant à r et k sans dimensions) , utilise une coordonnée "radiale" Khi sans dimension telle que r =Sk(khi) où Sk(khi) = sin(Khi) si k =1, Sk(khi) = sinh(khi) si k =-1, Sk(Khi) = Khi si k =0.

Ces conventions sont assez répandues, encore qu'aujourd'hui il me semble que la convention avec le facteur d'échelle a(t) sans dimension et où la coordonnée r est une longueur (co-mobile) et k une courbure au carré semble gagner du terrain.

Mais bien entendu toutes ces représentations sont également valides (à conditions de bien les écrire) et il faut se méfier de l'usage général qui consiste à poser c = 1 (et aussi quand cela est pertinent G =1).

D'un point de vue pratique, quand on manipule les équations on néglige l'aspect dimensionnel (pour ne pas les compliquer) parceque si on a à s'y intéresser on peut le faire à fin des calculs.

Ces histoires de conventions diverses pour la métrique de RW sont bien expliquées dans le livre de S. Carroll (Space and geometry) chap 8-2.

Pour les calculs détaillés sur l'étabissement de la métrique de RW, en ligne, on peut consulter:

http://www-cosmosaf.iap.fr/SAF_CoursCosmo_2010_3.pdf

p.6-12

Cordialement