Courbure de l'espace et métrique FRW

[neutrino éléctronique]

Bonsoir,

Supposons avoir démontré l'équation de Friedmann en utilisant des considérations énergétiques:



Avec , E l'énergie totale du corps que l'on a considéré pour obtenir cette équation et m sa masse.

Supposons également avoir obtenu la métrique FRW par la méthode de Weinberg dans son ouvrage Cosmology:



Voici alors mes questions:

1) Comment peut-on interpréter le dans la métrique FRW comme la courbure de l'espace?

2) Comment identifier le et le ? Le seul moyen est-il d'appliquer les équations d'Einstein pour la métrique FRW afin de retrouver l'équation de Friedmann?

Merci par avance,

Cordialement
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[invite9f80122c]

Bonsoir,

1) Comment peut-on interpréter le dans la métrique FRW comme la courbure de l'espace?

+1 courbure positive, -1 négative (ou l'inverse je suis plus sûr)
0 pas de courbure

Le K tu le définis dans ta question ...

Je n'ai pas la théorie sous les yeux à part ce que tu décris, c'est juste une réponse rapide, mais la métrique FRW (manque pas une lettre ?) ne fait que rendre compte d'une hypothétique courbure extrinsèque (à distinguer de celle intrinsèque en RG) ayant une influence directe sur l'Univers et donc sur sa métrique

[Amanuensis]

ne fait que rendre compte d'une hypothétique courbure extrinsèque (à distinguer de celle intrinsèque en RG)

Développement ? Références ?

[Amanuensis]

+1 courbure positive, -1 négative (ou l'inverse je suis plus sûr)

+1 sphérique (facile à voir, 1/(1-r²) impose r borné, ou encore 1-r²=a² équation d'un cercle)

-1 hyperbolique (a²=1+r², équation d'une hyperbole)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9f80122c]

Développement ? Références ?

Je voulais juste dire que c'est une courbure à distinguer de la courbure induite par la gravitation décrite en RG, rien de plus

Enfin je crois ... à moins qu'on utilise le formalisme pour décrire une courbure RG ce qui est faisable (la RG a sa propre métrique gij il me semble), mais il ne me semble pas que c'était le but de la métrique FRW, si ?

[Amanuensis]

Enfin je crois ... à moins qu'on utilise le formalisme pour décrire une courbure RG ce qui est faisable (la RG a sa propre métrique gij il me semble), mais il ne me semble pas que c'était le but de la métrique FRW, si ?

Le RG donne un cadre, un formalisme. Qui comprend l'idée de modéliser l'espace-temps par une variété 4D avec une métrique de signature 1,3 et une équation liant certains aspects de la courbure à la densité d'énergie-quantité de mouvement. La RG n'impose pas une solution particulière, juste des conditions à remplir.

Les métriques FRW est des solutions particulières, des cas particuliers, des solutionss particulière dans ce cadre (basée sur les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie, principalement). Les métriques FRW sont des possibilités pour la métrique de l'espace-temps.

(En fait ce ne peut pas être la bonne, parce qu'on sait bien que l'Univers n'est pas finement homogène et isotrope : facile de voir que la masse est concentrée dans les galaxies. Une métrique FRW est une approximation, un peu comme l'ellipsoïde de référence est une approximation de la surface de la Terre.)

[invite9f80122c]

Les métriques FRW est des solutions particulières, des cas particuliers, des solutionss particulière dans ce cadre (basée sur les hypothèses d'homogénéité et d'isotropie, principalement). Les métriques FRW sont des possibilités pour la métrique de l'espace-temps.

Oui, mais elle ne sont pas que cela. Si on suppose que l'Univers est une hypersphère par exemple, il y aura une courbure extrinsèque due à sa 'forme' ajoutée à la courbure due aux masses.
Je pense qu'on peut combiner la métrique de la RG qui est complète dans un espace plat avec une métrique FRW par exemple pour tenir compte de la 'forme' de l'Univers. J'ai lu quelque part (wikipedia il me semble) qu'Einstein a développé le formalisme de la RG dans un espace-temps plat pour simplifier les calculs. Il me semble aussi qu'on peut développer une métrique de RG dans tout type d'espace-temps courbe, mais cette métrique sera différente. La métrique FRW est la contribution de la courbure 'naturelle' de l'espace-temps à 'ajouter' à la métrique de la RG en espace plat. Enfin c'est ce que j'ai cru comprendre en tout cas ...

[Amanuensis]

Oui, mais elle ne sont pas que cela.

Je ne vois pas à quoi cela fait allusion.

Si on suppose que l'Univers est une hypersphère par exemple, il y aura une courbure extrinsèque due à sa 'forme' ajoutée à la courbure due aux masses.

Le mot "extrinsèque" ne me semble pas pas correct, du coup je ne comprend pas de quoi il est question. La RG ne parle que d'une courbure intrinsèque, rien d'autre à ma connaissance.

la 'forme' de l'Univers.

La "forme de l'Univers" est intrinsèque, directement liée à la connexion (et donc à la métrique dans le modèle d'Einstein).

J'ai lu quelque part (wikipedia il me semble) qu'Einstein a développé le formalisme de la RG dans un espace-temps plat pour simplifier les calculs.

Pas que je sache. Espace-temps plat = courbure nulle, par définition.

Peut-être est-ce une "déformation" de la restriction à une connexion sans torsion ? (Ce qui n'a strictement rien à voir avec la notion de "plat".)

Enfin c'est ce que j'ai cru comprendre en tout cas ...

Serait intéressant d'avoir des indications sur les textes qui ont amené à cette compréhension-là.

[neutrino éléctronique]

Bonsoir,

Le K tu le définis dans ta question ... :

Je me suis mal exprimé. Comment peut on dire que ce K que j'ai défini comme , s'identifie à la courbure de l'Univers? En gros comment peut-on déterminer que ? Seulement en retrouvant l'équation de Friedmann en utilisant les équations d'Einstein et la métrique FRW?

(manque pas une lettre ?)

Je n'ai pas mentionné Friedmann en effet, je l'ai vue sous la forme FRW dans pas mal de bouquins

+1 sphérique (facile à voir, 1/(1-r²) impose r borné, ou encore 1-r²=a² équation d'un cercle)

-1 hyperbolique (a²=1+r², équation d'une hyperbole)

Ok merci bien

[invite9f80122c]

Pour simplifier : une masse dans une hypersphère et une masse dans un espace-temps 'plat' donc à courbure nulle

La courbure de l'espace-temps et donc sa métrique sera différente. Mais dans les deux cas la contribution de la courbure due à la masse est la même mais appliquée sur un espace-temps de forme différente.

Comme une balle et une nappe sont différents, mais un objet massique qui les courbe aura le même effet sur deux objets différents, le résultat est donc différent.

Modèles d'Univers[modifier]

Article détaillé : Modèle cosmologique.

À partir des équations d'Einstein, plusieurs modèles d'Univers sont possibles. En 1915, Einstein concevait l'Univers comme stationnaire, ce que les observations cosmologiques ont contredit. Plus tard Alexandre Friedmann et Georges Lemaître ont proposé des modèles non-stationnaires : la métrique de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker montre que trois modèles homogènes et isotropes de l'Univers sont possibles (suivant la valeur d'un paramètre dans la métrique : espace plat, à courbure positive, ou à courbure négative). L'hypothèse de l'homogénéité et l'isotropie, qui constitue le principe cosmologique et est en accord avec les observations sur une grande échelle, implique que l'on peut choisir un temps universel tel que la métrique de l'espace soit la même à tout instant, pour tous les points et dans toutes les directions12, ce qui est compatible avec la théorie du Big Bang qui prévaut actuellement.

Amanuensis si tu ne comprends toujours pas ce que je voulais dire, laisse tomber ou explique moi où je me trompe, après j'abandonne ...

Extrinsèque signifie courbure 'naturelle' donc la courbure sans effet de masse. C'est sur ce forum que j'ai lu l'expression et l'idée me semble très claire ...

[Amanuensis]

Amanuensis si tu ne comprends toujours pas ce que je voulais dire, laisse tomber ou explique moi où je me trompe, après j'abandonne ...

Je crois comprendre.

Un premier point fondamental : dans la citation ce qui est "plat", ou à courbure positive ou négative n'est pas l'espace-temps, mais l'espace. La confusion est courante, alors qu'il s'agit d'une distinction plus qu'importante. L'espace-temps peut avoir une courbure non nulle avec un espace plat. (L'expansion est la conséquence de la courbure de l'espace-temps dans ce cas.)

Deuxième point : La valeur de k correspond à trois solutions distinctes pour la courbure de l'espace au problème posé par Friedman, comme une équation du troisième degré peut avoir trois racines. Friedman est parti d'hypothèses simplificatrices (homogénéité et isotropie) et s'est posé la question des solutions possibles : il a trouvé trois familles distinctes quand à la "forme" de l'espace.

Extrinsèque signifie courbure 'naturelle'

Malheureusement ce terme a une autre signification dans le domaine, qui est une autre notion de courbure que celle appliquée en RG ; c'est une courbure définie à partir d'un "sur-ensemble" de la variété, dans lequel elle serait plongée. Par exemple, un cercle vu comme sous-variété du plan a une courbure extrinsèque égale à 1/R alors que sa courbure intrinsèque est nulle.

donc la courbure sans effet de masse.

On peut distinguer deux termes dans la courbure (dans le tenseur courbure), l'un contraint par l'équation d'Einstein et donc clairement "un effet de masse" (pour simplifier je garde le terme), et l'autre correspond à une courbure existant même dans de vaste régions sans rien de significatif (ne serait qu'entre la Terre et la Lune !).

À cause de ce second terme, on peut s'intéresser à un espace-temps vide, et voir à quoi il ressemble. Mais je n'ai jamais vu (ce qui ne prouve rien) de présentation où on partirait d'une solution à vide, sur laquelle on rajouterait "une courbure due aux masses".

Il me semble qu'on procède plutôt en cherchant des solutions collant avec les observations, puis de là on remonte à "ce qu'il y a dans l'Univers".

En tous cas, je n'ai jamais vu le terme "courbure extrinsèque" utilisée dans le sens que je crois comprendre que tu utilises.

C'est sur ce forum que j'ai lu l'expression et l'idée me semble très claire ...

Vu la quantité d'âneries qu'on voit sur ce forum, y compris des âneries qui peuvent "sembler très claires" à un néophyte, ce n'est pas une pratique à suivre...

[invite9f80122c]

Je crois comprendre.

Un premier point fondamental : dans la citation ce qui est "plat", ou à courbure positive ou négative n'est pas l'espace-temps, mais l'espace. La confusion est courante, alors qu'il s'agit d'une distinction plus qu'importante. L'espace-temps peut avoir une courbure non nulle avec un espace plat. (L'expansion est la conséquence de la courbure de l'espace-temps dans ce cas.)

Je pense que tu comprends ce que je veux dire. Petite note : un espace-temps courbe serait par exemple une 3-sphère, un espace courbe / temps plat une hypersphère. Le modèle de friedman ne tient compte que d'une courbure de l'espace en effet.

Deuxième point : La valeur de k correspond à trois solutions distinctes pour la courbure de l'espace au problème posé par Friedman, comme une équation du troisième degré peut avoir trois racines. Friedman est parti d'hypothèses simplificatrices (homogénéité et isotropie) et s'est posé la question des solutions possibles : il a trouvé trois familles distinctes quand à la "forme" de l'espace.

Ok compris. N'empêche que ces solutions sont purement mathématiques et n'ont aucun lien mathématique ou physique avec la RG sinon un lien historique. Ce sont des solutions d'un espace-temps de Riemann si je ne me trompe, où seul l'espace est courbe.

Malheureusement ce terme a une autre signification dans le domaine, qui est une autre notion de courbure que celle appliquée en RG ; c'est une courbure définie à partir d'un "sur-ensemble" de la variété, dans lequel elle serait plongée. Par exemple, un cercle vu comme sous-variété du plan a une courbure extrinsèque égale à 1/R alors que sa courbure intrinsèque est nulle.

Evidemment on utilise un modèle global pour caractériser la courbure totale. Tout ce que je dis c'est que ce sont deux courbures ayant une origine différente mathématiquement et physiquement.
Si tu prends le cercle comme sous variété je comprends, mais si tu fais le contraire ? La réalité serait un élément de volume plat dans une variété 4D courbe ( ou 3d courbe + 1D plate). L'élément de volume aurait donc une courbure extrinsèque plate et une courbure intrinsèque courbe. Mais pour la variété 4d ce serait le contraire, non ? Extrinsèquement courbe et intrinsèquement plat.

On peut distinguer deux termes dans la courbure (dans le tenseur courbure), l'un contraint par l'équation d'Einstein et donc clairement "un effet de masse" (pour simplifier je garde le terme), et l'autre correspond à une courbure existant même dans de vaste régions sans rien de significatif (ne serait qu'entre la Terre et la Lune !).

À cause de ce second terme, on peut s'intéresser à un espace-temps vide, et voir à quoi il ressemble. Mais je n'ai jamais vu (ce qui ne prouve rien) de présentation où on partirait d'une solution à vide, sur laquelle on rajouterait "une courbure due aux masses".

Géométrie de Riemann pure combinée avec RG ?
Si l'univers était une hypersphère, donc espace courbe et temps plat, il serait courbe à vide. Si on y inclut des masses et la RG sa courbure change localement et clairement différemment qu'un espace plat, non ?

J'ai l'impression qu'on chipote, mais j'aimerais en savoir plus sur ce qu'on appelle extrinsèque et intrinsèque et si c'est relatif à l'espace global ou à une sous-variété.

Merci de ton attention en tout cas

[Amanuensis]

Quelques réactions, ne couvrant qu'une toute petite partie de ce qu'il faudrait...

1)

Une courbure est toujours locale. Je ne connais pas de définition de "courbure globale". On définit les différents types de courbure avec juste un voisinage du point dont on cherche la courbure.

2)

Pour intrinsèque/extrinséque, je ne peux que donner quelques éléments pour la signification mathématique de ces termes (la seule que je connaisse).

La courbure extrinsèque d'une ligne plongée dans un espace de dimension 2 c'est l'inverse du rayon du cercle osculateur (le cercle "le plus tangent possible") à la ligne au point considéré. (Pour une ligne plongée en dimension 3 ou plus, cela devient plus compliqué, car se rajoute le "vrillage" de la ligne.)

Cela permet de passer au cas d'une surface (dimension 2) plongée en dimension 3. On a dans ce cas une direction normale à la surface en un point, et on peut étudier la courbure extrinsèque des lignes obtenues par intersection entre la surface et un plan contenant la normale. Cette courbure est munie d'un signe, selon que le cercle osculateur est d'un côté ou l'autre de la surface (le côté + est choisi par convention). On montre alors que pour une surface suffisamment régulière il y a un min et un max de la courbure, obtenus pour des plans perpendiculaires ; soit c et C les deux courbures. La donnée de c, C et les directions correspondantes décrivent la courbure extrinsèque au point considéré ; cela décrit en gros une "conique osculatrice", un ellipsoïde si c et C sont de même signe, et un hyperboloïde à une nappe si c et C sont de signes opposés, et un cylindre si l'un nul.

La courbure intrinsèque (pour la métrique induite) (ou courbure de Gauss), c'est le produit cC. C'est un nombre, positif, négatif ou nul.

On voit bien sur ce cas-là qu'il s'agit de deux notions mathématiques très différentes.

En particulier si c=0 et C non nul, la conique osculatrice est un cylindre, donc la surface est localement courbée, non plane ; mais la courbure intrinsèque est nulle : on dira que la surface est (métriquement) "plate" ; elle est "intrinsèquement plate".

On appelle le produit cC "intrinséque" parce qu'on peut montrer (Gauss) qu'on peut le "mesurer" uniquement à partir de "mesures" ne mettant en jeu que des éléments du plan, i.e., sans utiliser de notion de plan perpendiculaire ou de cercle osculateur. Sans plongement donc : c'est une propriété de la surface en tant qu'elle-même, pas en tant que sous-variété.

3)

On ne peut pas parler de "temps plat" ou "temps courbe". C'est une ligne, toujours de courbure intrinsèque nulle.

4)

La courbure intrinsèque se décrit par 1 nombre pour une surface comme on l'a vu ; mais par 6 en dimension 3, et par 20 (si, si) en dimension 4. (Formule générale n²(n²-1)/12.)

Autrement dit, quand on parle de courbure de l'espace en RG en un point, on parle de 6 nombres, et ajouter le temps ajoute pas moins de 14 nombres pour obtenir la courbure de l'espace-temps en un événement.

On peut faire des "moyennes", et le mot "courbure" est très souvent utilisé pour "courbure moyenne". En RG deux "courbures moyennes" apparaissent. Une "moyenne" de la courbure décrite par 20 nombres en quelque chose décrit par 10 nombres (courbure de Ricci), et une "moyenne" réduite à un nombre (courbure scalaire).

En 3D, c'est respectivement de 6 à 6 (pas vraiment une moyenne ) et à 1.

Dans le cas d'un espace homogène, c'est à la courbure scalaire (constante par hypothèse d'homogénéité) que réfèrent les valeurs -1, 0 ou 1.

Toutes ces explications "techniques" juste pour soutenir l'idée que parler de "courbure totale", ou de séparer courbure spatiale et courbure temporelle, etc. ne correspond à rien dans les maths en question.

Note : je sais très bien que ces maths sont non élémentaires. Je n'y suis pour rien ! La RG modélise l'espace-temps avec ce type de géométrie, un terme comme "courbure" ne peut que se comprendre dans le cadre de ces maths là, pas dans le cadre du langage courant, et pas non plus dans l'expérience donnée par les surfaces plongées dans un espace 3D euclidien.

3) La séparation de l'espace-temps en espace + temps est conventionnelle en RG. Il n'y a pas, sauf hypothèses très particulières, de découpage standard, mais au contraire une infinité avec des propriétés différentes (notion de référentiel).

Le cas des modèles FRW est dans les "hypothèses très particulières". Quand on dit que l'hypothèse est "espace isotrope et homogène", on fait une grosse faute de logique (courante) consistant à considérer l'espace comme donné, puis à vérifier qu'il a les propriétés en question. L'hypothèse est plus complexe que cela, et revient à dire "il existe un découpage entre temps et espace tel que l'espace est alors homogène et isotrope", ce qui n'est pas pareil.

Hors ces cas particuliers, cela n'a pas de sens de parler d'une propriété de l'espace-temps comme étant la combinaison d'une propriété de l'espace et d'une propriété du temps. Il n'y a que des propriétés de l'espace-temps qui se traduiront, une fois un référentiel arbitrairement choisi, par des propriétés du temps et des propriétés de l'espace (comme sa courbure) ; ces propriétés dépendront du choix de référentiel en général, et ne sont donc pas en elles-mêmes des propriétés de l'espace-temps.

[invite9f80122c]

Quelques réactions, ne couvrant qu'une toute petite partie de ce qu'il faudrait...

1)

Une courbure est toujours locale. Je ne connais pas de définition de "courbure globale". On définit les différents types de courbure avec juste un voisinage du point dont on cherche la courbure.

Oui, je voulais parler d'une courbure locale distribuée sur tout l'espace, donc équivalente en tout volume infinitésimal. Donc en fait dans un espace 4D homogène et isotrope

2)

Pour intrinsèque/extrinséque, je ne peux que donner quelques éléments pour la signification mathématique de ces termes (la seule que je connaisse). ...

Merci de cette explication, j'ai appris des choses

3)

On ne peut pas parler de "temps plat" ou "temps courbe". C'est une ligne, toujours de courbure intrinsèque nulle.

D'accord, mais on peut toujours définir un objet 4D dont toutes les dimensions subissent une courbure, non ?

4)
La courbure intrinsèque se décrit par 1 nombre pour une surface comme on l'a vu ; mais par 6 en dimension 3, et par 20 (si, si) en dimension 4. (Formule générale n²(n²-1)/12.)

Les 20 composantes ont-elles une origine purement géométrique ou parce qu'on doit définir un tenseur d'énergie-impulsion ?

Le cas des modèles FRW est dans les "hypothèses très particulières". Quand on dit que l'hypothèse est "espace isotrope et homogène", on fait une grosse faute de logique (courante) consistant à considérer l'espace comme donné, puis à vérifier qu'il a les propriétés en question. L'hypothèse est plus complexe que cela, et revient à dire "il existe un découpage entre temps et espace tel que l'espace est alors homogène et isotrope", ce qui n'est pas pareil.

Hors ces cas particuliers, cela n'a pas de sens de parler d'une propriété de l'espace-temps comme étant la combinaison d'une propriété de l'espace et d'une propriété du temps. Il n'y a que des propriétés de l'espace-temps qui se traduiront, une fois un référentiel arbitrairement choisi, par des propriétés du temps et des propriétés de l'espace (comme sa courbure) ; ces propriétés dépendront du choix de référentiel en général, et ne sont donc pas en elles-mêmes des propriétés de l'espace-temps.

Donc on peut définir un repère euclidien en 4D pour y définir un espace-temps courbe de manière homogène, non ? C'est simplement de la géométrie 4D.

Merci de tes explications détaillées

En fait je pense que je partais de l'idée d'un objet 4D type hypersphère dans lequel les masses impliquent une courbure. Cependant dans l'hypersphère on ne peut percevoir sa courbure, on ne perçoit que les courbure locales indépendante de la 'forme' globale.
En fait quelles que soit la 'forme' 4D qu'on utilise pour modéliser l'espace-temps, la seule courbure perçue et influençant l'énergie et l'impulsion d'une particule sera une courbure 'interne'.

Au niveau de la conjecture de Poincarré résolue par Perelman, tout objet 4D simplement connexe est équivalent à une hypersphère, donc modéliser notres espace-temps comme une hypersphère serait donc correct et n'aurait donc aucune influence sur la courbure intrinsèque et extrinsèque de l'espace-temps lui-même qu'on peut considérer plat ? Ca ne servirait pas à grand chose, mais on peut le faire, non ?

[Amanuensis]

Les 20 composantes ont-elles une origine purement géométrique ou parce qu'on doit définir un tenseur d'énergie-impulsion ?

Je ne connais pas "origine" dans ce contexte.

Point de vue maths : le tenseur de courbure a 20 paramètres indépendants.

Point de vue physique (RG) : 10 des paramètres sont fixés par l'équation d'Einstein (d'une certaine manière par le tenseur énergie-impulsion, qui n'a lui-même que 10 paramètres).

Donc on peut définir un repère euclidien en 4D pour y définir un espace-temps courbe de manière homogène, non ?

Non. Pas plus qu'on peut définir un "repère euclidien" en 2D pour y "définir" une sphère S2 (qui est une surface sur laquelle on peut définir une métrique homogène : géométrie sphérique).

Au niveau de la conjecture de Poincaré résolue par Perelman, tout objet 4D simplement connexe est équivalent à une hypersphère

R⁴ euclidien n'est pas équivalent à une hypersphère.

[invite9f80122c]

R⁴ euclidien n'est pas équivalent à une hypersphère.

Pas R⁴ euclidien

Les phrases se suivent mais n'ont rien à voir. Dans la première je souligne le fait qu'on peut avoir une variété 4D dont toutes les dimensions sont courbées, une 3-sphère.

Dans la deuxième je demande si à partir de la conjecture de Poincarré démontrée par Perelman en 4D permet de trouver une hypersphère équivalente, ce qui impliquerait que l'Univers peut être modélisé comme une hypersphère s'il est simplement connexe.

Du coup un espace 4D euclidien peut être ramené à une hypersphère, non ? (ça n'était pas l'origine de mon propos mais du coup la question se pose.)

[Amanuensis]

Pas R⁴ euclidien

Pas besoin de ces "rires" stupides.

Pas R⁴ TOUT COURT, quelle que soit la métrique qu'on mette dessus.

[Amanuensis]

:je souligne le fait qu'on peut avoir une variété 4D dont toutes les dimensions sont courbées, une 3-sphère.

Une 3-sphère est une variété 3D, pas 4D.

Cela ne veut rien dire que je connaisse "toutes les dimensions sont courbées".

Dans la deuxième je demande si à partir de la conjecture de Poincarré démontrée par Perelman en 4D permet de trouver une hypersphère équivalente, ce qui impliquerait que l'Univers peut être modélisé comme une hypersphère s'il est simplement connexe.

Non. À tout.

Du coup un espace 4D euclidien peut être ramené à une hypersphère, non ? (ça n'était pas l'origine de mon propos mais du coup la question se pose.)

Non.

[Amanuensis]

PS : La conjoncture de Poincaré est purement topologique, elle n'implique pas de métrique.