Mais comment les mathématiques peuvent-elles « découvrir » la déformation de l’espace-temps ?

[daniel100]

Bonjour à tous,

Si je prends l’exemple des Lois de Kepler, à la base il y a eu les observations, et Mr Kepler a mit en équation ses observations ; de même pour les phénomènes physiques, on est toujours dans la mise en équation d’observation, puis bien sûr de validations par la suite.

Par contre la Relativité Générale ne c’est appuyée sur aucune observation (bien que validé par une éclipse, mais plus tard).

Ce que je souhaiterais savoir, c’est si la RG a été établit suite à une intuition (mit par la suite en formule), ou si cela est le fruit exclusif d’un résonnement mathématique ?

Sauf erreur, il n’y avait absolument rien de rien permettant d’imaginer des déformations de l’espace-temps dues à la gravitation. Je pencherais donc vers une déduction purement mathématique.

Je connais les + - / * cos sin tag arc(machin) - il y a longtemps, les intégrales, les dérivés secondes, mais même avec ça, je ne vois pas de rapport avec une déformation de l’espace-temps.

Il y a forcément d’autres postulats pour en arriver à la RG, comme déjà la constance de la vitesse de la lumière, et puis quoi d’autre ?

Je ne sais pas si on peut répondre à cette question sans aller dans des mathématiques compliquées, mais je tente quand même le coup.

Merci pour vos éventuelles réponses,
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[Nicophil]

Bonsoir,

Par contre la Relativité Générale ne s’est appuyée sur aucune observation (bien que validé par une éclipse, mais plus tard).

Sauf erreur, il n’y avait absolument rien de rien permettant d’imaginer des déformations de l’espace-temps dues à la gravitation. Je pencherais donc vers une déduction purement mathématique.

Il y a forcément d’autres postulats pour en arriver à la RG, comme déjà la constance de la vitesse de la lumière, et puis quoi d’autre ?

La RG est bien une théorie physique, fondée sur l'observation de la réalité.

Une des grandes motivations d'Einstein était de généraliser le principe de relativité à la gravitation et à tout référentiel, alors que ce principe avait jusque là été restreint aux référentiels non accélérés et en l'absence de gravitation.

C'est pourquoi au coeur de sa théorie se trouve le principe d'équivalence :

Ce principe permet une extension du principe de relativité pour y inclure la gravitation, localement et sous la forme de référentiels accélérés. Grâce à lui, Einstein a fait le premier pas pour aller de la relativité restreinte à la relativité générale. C'est un des principes fondamentaux à la base de la théorie de la relativité générale.

Einstein le présente comme une interprétation du principe d'équivalence, appelé faible depuis, c'est-à-dire que le principe d'équivalence d'Albert Einstein donne une signification relativiste au principe d'équivalence faible, en termes de relativité de la gravitation et de l'accélération.
Cette interprétation se conçoit à l'aide de l'expérience par la pensée de l'ascenseur d'Einstein. Cette expérience de pensée n'utilise que des phénomènes mécaniques, et donc ne peut être une justification du principe d'équivalence que pour eux.

[Amanuensis]

Ce que je souhaiterais savoir, c’est si la RG a été établit suite à une intuition (mit par la suite en formule), ou si cela est le fruit exclusif d’un résonnement mathématique ?

Peut-être aucun des deux, ou un mélange des deux et d'autres choses.

Sauf erreur, il n’y avait absolument rien de rien permettant d’imaginer des déformations de l’espace-temps dues à la gravitation.

Oui et non.

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Déjà il faut distinguer les deux aspects de la Relativité Générale: la théorie de la gravitation, et le principe de relativité généralisé.

Commençons par le second. Le principe de relativité généralisé ((ou principe de covariance généralisée) affirme (ma formulation) que le choix d'un système de coordonnées ne doit pas affecter les prédictions physiques. Ou encore qu'on doit pouvoir exprimer les lois de la physique d'une manière identique quel que soit le système de coordonnées utilisé.

Avec l'introduction de la notion d'espace-temps par Minkowski en 1909, il apparaît que les coordonnées en question sont celles concernant l'espace-temps, c'est à dire en quatre dimensions.

En mécanique classique on sait (du moins maintenant) que les accélérations d'entraînement ("forces d'inertie") apparaissent naturellement quand on choisit un système de coordonnées (un référentiel) quelconque.

Venons-en à la gravitation.

La relativité restreinte décrite à partir de 1905 permet de résoudre les difficultés posées par l'électro-magnétisme de Maxwell. Dès le début (visible dans les textes de Poincaré et d'Einstein) la question de la gravitation se pose. Car si la mécanique de Newton donne un cadre permettant de modéliser la gravitation, au prix d'une action instantanée à distance, cela ne se transpose pas à la cinématique de la relativité restreinte. Autrement dit, on a gagné d'un côté (électro-magnétisme) mais on a perdu d'un autre (gravitation). Trouver une solution mathématique modélisant la gravitation était donc impératif pour "défendre" la cinématique relativiste.

Le problème était donc assez bien posé: rendre compatible la cinématique relativiste et la gravitation telle qu'observée.

L'idée (intuition?) de travailler avec des coordonnées quelconques peut être vue comme découlant de plusieurs données:

* La géométrie non euclidienne était connue, du moins dans les cercles mathématiques ; L'équipe de Hilbert la connaissait, et des mathématiciens ont expliqué cela à Einstein.

* L'équivalence entre la masse inerte et la masse grave était connue depuis longtemps, ainsi donc que l'accélération de la gravitation et les accélérations d'entraînement (centrifuge, Coriolis, ...) avaient des effets similaires.

* Les accélérations d'entraînement apparaissent avec des coordonnées quelconques.


Sur de telles bases, il paraît (après coup) naturel de rechercher un modèle de la gravitation utilisant des coordonnées quelconques et se ramenant localement à la cinématique de la relativité restreinte. Obtenir une équation physique indépendante des coordonnées oriente vers les tenseurs. D'une certaine manière, la question devenait mathématique: trouver une équation tensorielle 4D liant la distribution des masses (de l'énergie) et les effets de la gravitation.

L'équation d'Einstein ayant toutes les propriétés requises, elle fut retenue et confrontée aux observations.

Cette équation ne découle donc pas directement des observations. Elle découle essentiellement du problème posé dès 1905 (trouver un modèle de la gravitation compatible avec la cinématique de la relativité restreinte), et de divers "guides" tant philosophiques (covariance généralisée), que physiques (équivalence entre masse inerte et masse grave, propriétés des accélérations d'entraînement), que mathématiques (géométrie non euclidienne).

[Note: la présentation ci-dessus évite l'expression "déformation de l'espace-temps", qui n'a pas grand sens. L'idée centrale est différente, et c'est celle de l'utilisation de coordonnées quelconques, débarrassées des contraintes non justifiées venant de la notion d'espace euclidien.]

[daniel100]

Merci à tous les deux,

J’essaye de comprendre le principe d’équivalence et L'équation d'Einstein.

Je vais certainement revenir vers vous afin de mieux comprendre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[physik_theory]

Bonjour, voici un lien pas trop Mathématiques qui explique bien le principe : http://www.relativite.info/RG.htm#indexrg.

Voir l’expérience de pensée de l'ascenseur.

Ce qui est assez génial c'est que l'on peut, avec le principe d'équivalence, dire que localement il existe un système de coordonnées tel que : c'est à dire que localement l'espace est localement Minkowskien. Il est localement plat. Et à partir de cela on peut déjà déduire de pas mal d’éléments(équation de géodésiques, qui décrivent le mouvement d'une trajectoire libre par exemple.). en passants de à des systèmes de coordonnées plus "globale".

Les équations de la Relativité Générale peuvent en effet être obtenues en faisant appel le principe d'équivalence, exprimé sous la forme « on peut toujours trouver un référentiel annulant localement le champ de gravitation ».

Pour les équations des champs d'Einstein : on peut décrire la gravité(dans les limites Newtonienne.). par l’équation de Poisson : *. À gauche un terme d'ordre 2 qui décrit "de la gravité". À droite : de la répartition de masse.
Les deux sont proportionnels. Le problème c'est que cette équation n'est pas covariante et non relativiste.

En gros il faut trouver une équation de ce type mais cette fois qui soit : covariante et tensoriel. Et qui nous dit que de la gravité(avec des termes d'ordre 2.). est proportionnels à de la répartition d’énergie et d'impulsion.

La généralisation d'une distribution de masse et d'énergie en terme tensoriel c'est le tenseur énergie impulsion.

Pour la gravité(qui se manifeste par la courbure.). on peut faire intervenir la métrique. Mais avec des termes d'ordre 2(il faut se souvenir que l'on veut généraliser *.). Et qui décrit la courbure. On peut montrer que le tenseurs recherché est de la forme : .

L'équation des champs d'Einstein est alors : .

La constante : est déterminer avec la limite Newtonienne.

Le tenseur est en fait la somme du tenseur d'Einstein plus un terme proportionnelles au tenseur métrique. On peut le construire comme c'est décri ici : http://mathematique.coursgratuits.ne...hristoffel.php.

Sinon il y a l'action d'Hilbert.

Bonne après midi.

[aminastro]

Bonjour,

LA RG est bien sûr fondée mathématiquement.
Contrairement à la relativité Newtonienne, la Relativité générale n'a pas besoin d'un référentiel galiléen, et ça fait appel au principe d'équivalence (d'ailleurs c'est ce qui a fait vedette à Einstein puisqu'il y'a une controverse sur la relativité restreinte).

Ce qui m'intrigue précisément c'est que d'un côté avec la relativité générale on peut admettre l'existence des trous noir, et de l'autre la physique n'admet pas un corps ayant une vitesse plus rapide que celle de la lumière dans le vide.

[Garion]

Il y avait quand même une anomalie dans la gravité de Newton qu'Einstein a pu exploiter, c'est l'orbite de Mercure (qui n'était pas explicable jusque là), c'est ce qui lui a permis de faire une première validation convainquante.

[ordage]

Déjà il faut distinguer les deux aspects de la Relativité Générale: la théorie de la gravitation, et le principe de relativité généralisé.

Commençons par le second. Le principe de relativité généralisé ((ou principe de covariance généralisée) affirme (ma formulation) que le choix d'un système de coordonnées ne doit pas affecter les prédictions physiques. Ou encore qu'on doit pouvoir exprimer les lois de la physique d'une manière identique quel que soit le système de coordonnées utilisé.

Salut

On ne peut pas mettre ces deux « principes » sur le même plan.

Le « principe » de relativité générale est relatif à la formulation de la théorie (équations covariantes) et n’a rien de spécifique à la théorie (s’applique à n’importe quelle théorie, en particulier on peut mettre la théorie de Newton sous forme covariante) et est donc « impropre » à caractériser la théorie.
L’autre le principe d’équivalence est spécifique à une classe de théories : Théories relativistes dont la relativité générale est sans doute le membre le plus éminent.
Einstein s’est d’ailleurs expliqué sur ce point et a reconnu cela suite à son débat avec Kretchmann.
Cordialement

[Bluedeep]

cela est le fruit exclusif d’un résonnement

Non, Einstein n'était pas une cloche.

[daniel100]

Non, Einstein n'était pas une cloche.

________________________

[Amanuensis]

On ne peut pas mettre ces deux « principes » sur le même plan.

Certes. Mais qui le met ainsi?

s’applique à n’importe quelle théorie

Faux

[ordage]

Certes. Mais qui le met ainsi?



Faux

Salut

Aurais-tu un exemple de théorie qui ne pourrait pas être mise sous forme covariante?
Si je souligne la différence c'est à l'usage de ceux, sur ce forum, qui ne le savent pas forcément, car souvent, encore aujourd'hui, on invoque ces 2 principes pour la relativité générale (qu'il conviendrait plutôt d'appeler relativité généralisée).

Cordialement

[Nicophil]

Bonjour,

Aurais-tu un exemple de théorie qui ne pourrait pas être mise sous forme covariante ?

J'ai l'impression qu'il faut distinguer "principe de covariance faible" et "principe de covariance forte", et c'est ce dernier qui était visé par Einstein.
Notamment la constante c n'est pas covariante : elle est invariante. De même que la constante G.

Peut-être aussi à voir avec transformations passives / transformations actives ?

Cf. http://books.google.fr/books?id=m0aQ...ersaux&f=false

[Amanuensis]

Aurais-tu un exemple de théorie qui ne pourrait pas être mise sous forme covariante?

Trivialement oui: n'importe quelle théorie pré-copernicienne. (Si on peut mettre la théorie des sphères d'Aristote sous forme covariante, cela m'intéresse!)

[Note: Toutes, c'est toutes ; il n'y a pas de raison de se limiter aux théories actuelles quand on lit "toutes" sans précision.]

Par ailleurs, même la RR peut (selon la définition choisie) ne pas être considérée comme respectant la covariance générale, cf. https://en.wikipedia.org/wiki/General_covariance. Et ce n'est pas une question de trouver une manière de la mettre sous forme covariante, mais l'existence dans cette théorie (et cela s'applique aussi à la mécanique newtonienne) de systèmes de coordonnées privilégiés ; la forme usuelle de ces théories n'est "covariante" que pour une classe limitée de système de coordonnées (pas tout GL4(R)).

Perso, je m'en tiens à une définition équivalente à celle donnée dans le lien indiqué, d'où ma réaction.

Enfin, je ne pense pas que ce soit une bonne idée que "rendre vague" la notion de covariance générale d'une manière telle que toute théorie le soit: on perd la progression des principes de relativité le long des différentes théories de l'espace-temps. Et ce n'est pas seulement une question d'histoire, car des théories pré-coperniciennes restent très utilisées dans l'humanité, celle-ci ne se réduisant pas à une petite communauté de physiciens professionnels ou amateurs.

[Carcharodon]

En tout cas félicitations, daniel100, ça c'est de la vraie bonne question !
Que je ne m'étais d'ailleurs jamais posée...
Avec en plus des intervenants qui touchent leur billes dans les explications.
Y a manger là !

[ordage]

Trivialement oui: n'importe quelle théorie pré-copernicienne. (Si on peut mettre la théorie des sphères d'Aristote sous forme covariante, cela m'intéresse!)

[Note: Toutes, c'est toutes ; il n'y a pas de raison de se limiter aux théories actuelles quand on lit "toutes" sans précision.]

Par ailleurs, même la RR peut (selon la définition choisie) ne pas être considérée comme respectant la covariance générale, cf. https://en.wikipedia.org/wiki/General_covariance. Et ce n'est pas une question de trouver une manière de la mettre sous forme covariante, mais l'existence dans cette théorie (et cela s'applique aussi à la mécanique newtonienne) de systèmes de coordonnées privilégiés ; la forme usuelle de ces théories n'est "covariante" que pour une classe limitée de système de coordonnées (pas tout GL4(R)).

Perso, je m'en tiens à une définition équivalente à celle donnée dans le lien indiqué, d'où ma réaction.

Enfin, je ne pense pas que ce soit une bonne idée que "rendre vague" la notion de covariance générale d'une manière telle que toute théorie le soit: on perd la progression des principes de relativité le long des différentes théories de l'espace-temps. Et ce n'est pas seulement une question d'histoire, car des théories pré-coperniciennes restent très utilisées dans l'humanité, celle-ci ne se réduisant pas à une petite communauté de physiciens professionnels ou amateurs.

Bonjour

En général on parle de théories scientifiques physiques .

Voir par exemple ce lien

http://en.wikipedia.org/wiki/Erich_Kretschmann

pour quelques informations.

Cordialement

[daniel100]

J’avoue ne pas avoir le niveau requit pour tout comprendre, pas grave, j’ai quand même apprit des choses.

Une autre question complémentaire, peut-être similaire :

Comment Einstein a-t-il pu arriver aux bonnes formules sans expérimentations ?

Admettons que l’on puisse arriver au principe de base, mais pour quantifier certaines valeurs, il faut obligatoirement des expérimentations. Au moins que Mercure…

Je sais que je pose des questions dont les réponses ne sont pas à ma porté, mais je comprendrais peut-être certains éléments.

[Amanuensis]

Comment Einstein a-t-il pu arriver aux bonnes formules sans expérimentations ?

1) On ne sait pas si ce sont "les bonnes" ;

2) ll a proposé les plus simples qui répondaient au cahier des charges. On les garde parce que les observations ne les réfutent pas.

3) Sans la "constante cosmologique" il n'y a qu'un paramètre à régler (la constante G)--ou deux si on ajoute c--, et que la gravitation newtonienne soit une approximation valide permet de fixer G ; autrement dit pour ce paramètre les expériences étaient déjà faites.

Pour le point 2) un détail intéressant apparaît quand on regarde le modèle Einstein-Cartan: dans le modèle "de base" de la RG, on suppose la torsion nulle, sans justifications autres que a) c'est plus simple, b) c'est compatible avec les observations. Le modèle Einstein-Cartan est plus général, avec une torsion non nulle, à laquelle on donne même une signification physique (liée au spin) ; il n'est pas réfuté, mais pas retenu, cause les points a) et b).

[daniel100]

OK Merci !

[acx01b]

c'est pas mal Amanuensis d'avoir tes commentaires sur les théories physiques,
c'est assez pédagogique et en même ça élargit pas mal la vision qu'on peut en avoir,
il nous faudrait un recueil des pensées d'Amanuensis.

[daniel100]

En cherchant sur Google « la relativité générale pour les nuls », je suis tombé direct sur ce site.

Comme je n’ai jamais vu ce lien sur le forum (mais je ne suis pas partout), c’est peut-être une nouveauté pour certain, comme moi.

Je ne suis pas à même de vérifier l’exactitude du contenu, mais j’ai bien aimé.

[daniel100]

J’essaye d’avoir un début de notion du cheminement de la RG, dans les très très grandes lignes, et surtout de comprendre (au mieux dans 20 ans) le cheminement mathématique qu’à eu Einstein, toujours dans les grandes lignes.

Comment est-il arrivé à ce paramètre gamma = (1-v²/c²)^-1/2 ? cette formule toute simple est omniprésente dans la RG.

Comme la formule est simple, j’espère que le cheminement le sera aussi, mais j’ai des doutes.

Merci,

[Amanuensis]

J’essaye d’avoir un début de notion du cheminement de la RG, dans les très très grandes lignes, et surtout de comprendre (au mieux dans 20 ans) le cheminement mathématique qu’à eu Einstein, toujours dans les grandes lignes.

Comment est-il arrivé à ce paramètre gamma = (1-v²/c²)^-1/2 ? cette formule toute simple est omniprésente dans la RG.

Cette formule vient de la RR, elle découle directement de la transformation de Lorentz, qui précède même les publications d'Einstein.

[daniel100]

« Transformation de Lorentz » sous wikipedia et j’ai ma réponse.

Merci Amanuensis et wikipédia,

[mach3]

Comment Einstein a-t-il pu arriver aux bonnes formules sans expérimentations ?

Pas besoin d'expérimenter quand il y a un vivier colossale de données d'observations déjà accumulé par d'autre depuis des siècles. Il fallait déjà simplement faire une théorie qui redonne ce qu'on connait déjà, donc une théorie qui redonne les ellipses de Kepler en première approximation, ce qui n'est pas simple. Einstein a erré pendant de longues années avant de trouver la bonne équation, qui concilie la gravitation avec la relativité restreinte tout en respectant les observations déjà connues depuis des siècles. Le fait qu'il y ait des phénomènes nouveaux qui soient prédit (avance du périhélie, courbure des rayons lumineux, décalage d'Einstein...) n'est en quelque sorte qu'un bonus, qui peut d'ailleurs permettre de discriminer entre plusieurs théorie "post-newtonnienne" possibles.

m@ch3