Distance entre le centre de la Terre et un point H

[Ercaty]

Bonjour,
Je voudrais calculer la distance entre le centre de la Terre et un point, disons H. Ce point est situé sur le segment joignant le centre de la Terre et celui de la Lune et où la force de gravitation serait nulle.
A partir de cette consigne j'en ai conclu que:
(G*Mt)/(x²) = (G*Ml)/(d-x²)
avec Masse de l'objet= 1kg pour simplifier les calculs
et x=distance entre le centre de la terre et l'objet H
et d= distance entre le centre de la terre et de la lune
en poursuivant j'obtiens: G*Mt*(d-x)²=G*Ml*x² <=> Mt*(d-x)²=Ml*x²
Mais après je bloque, j'ai beau mettre sous forme de fraction et essayer de développer, pas moyen d'isoler le x.

J'espère que vous pourrez m'aider, merci!
-----

[mach3]

développez tout, vous aurez une équation du second degré en x qu'il vous suffira de résoudre.

m@ch3

[pm42]

Tu connais ça ?

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Lagrange

[vanos]

https://fr.wikipedia.org/wiki/Point_de_Lagrange

Oui mais cela concerne l'orbite solaire de la Terre, quant au points de Lagrange de l'orbite lunaire, ils devraient être beaucoup plus instables à cause de l'influence du Soleil; le point "H" cherché par Ercaty (le point L1 si je ne me trompe) est loin d'être fixe à cause de l'orbite elliptique de la Lune

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Je ne suis pas sûr qu'il cherche un point de Lagrange, vu qu'il ne prend pas en compte la force d'entrainement présente dans un référentiel où la lune est immobile par rapport à la Terre. Il ne fait que chercher le point ou les forces de gravitation de la lune et la terre se compensent exactement, dans quel but, ce n'est pas précisé.

Si on place un corps au point où la gravité de la Terre et de la Lune s'annulent, alors aucune force ne s'exerce sur lui dans le référentiel géocentrique (on néglige les autre corps bien-sur), mais cela ne peut pas durer vu que la Lune bouge (l'alignement terre-corps-lune n'est pas maintenu). On peut alors se dire, le corps doit avoir la même vitesse angulaire que la lune, pour maintenir l'égalité, sauf que cela suppose une trajectoire circulaire et donc une somme des forces non nulle et orientée vers la Terre, ce qui contrevient à l'exigence de départ...
Trouver un point de Lagrange n'est pas trouver le point où la gravité de la Terre et de la Lune se compense. Un point de Lagrange c'est un point où la somme des forces gravitationnelles de la terre et de la lune permet une trajectoire circulaire uniforme autour de la Terre (donc somme des forces non nulles).

m@ch3

[Amanuensis]

développez tout, vous aurez une équation du second degré en x qu'il vous suffira de résoudre

C'est une équation du premier degré déguisée, car c'est équivalent (1) à (d-x)/x = \sqrt(Ml/Mt)

(1) Signes pris en compte

[Ercaty]

J'ai considéré, pour simplifier, la distance Terre-Lune fixe pour éviter de rajouter des conditions même si j'ai conscience que mon résultat ne sera pas exact selon l'orbite. De même, j'ai une connaissance approximative des points Lagrange (niveau de Première s); ici le point L1 conviendrait le mieux si j'ai bien compris mais mon intérêt était beaucoup plus simple que cela. Ici j'ai seulement considéré les forces de gravitation des deux corps pour trouver un point "d'équilibre" et en développant j'ai l'impression de n'aboutir à rien qui puisse m'aider:
Mt*(d-x)²=Ml*x²
Mt*(d²-dx+x²)= Ml*x²
Ml/Mt= (d²-dx+x²)/x²
ou Ml/Mt= (d-x)²/x²
Il faut que j'isole x mais même en connaissant Ml Mt et d ce n'est pas possible n'est-ce pas?

Merci de vos réponses

[mach3]

bien sur que si, de plus amanuensis a raison, je n'avais pas vu mais c'est du premier degré, pas du second.

faites la racine carré à droite et à gauche de votre dernière expression.

m@ch3

[Ercaty]

j'aboutis donc à :
racine de Mt/racine de Ml= x/(d-x)
mais comment isoler le x? (d-x) me pose problème. Lorsque je fais le produit en croix pour essayer de simplifier cela me donne: d*racine de Mt- x*racine de Mt= racine de Ml*x

[mach3]

Lorsque je fais le produit en croix pour essayer de simplifier cela me donne: d*racine de Mt- x*racine de Mt= racine de Ml*x

et bien c'est parfait, qu'attendez vous pour passer x*racine de Mt de gauche à droite, puis factoriser pas x, puis diviser par ce qui est en facteur de x?

vous ne faites plus de maths en 1ere S? ce sont quand même des manipulations élémentaires de niveau collège là.

m@ch3

[Ercaty]

Oui d'accord je n'avais pas vu cela de cette façon.
Merci de votre aide