Distance entre point et plan

[invite241f5934]

Bonjour. J ai une petite question de geometrie dans l espace.

En fait j aimerai trouve la distance minimum entre un point de l espace et la surface d un plan defini par 3 point de ce plan.

Pour trouver la distance d un point P0 a un plan, il suffit d utiliser la normale a ce plan et on a :

D = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)

Mais ce n est pas ca que je veux car rien ne m assure que le point du plan le plus pres du point P0 se trouvera sur la surface delimite par les 3 point du plan.

Je ne sais pas si je suis tres clair mais si vous avez compris est il possible de calculer cette distance et egalement de trouver le point sur le plan que je recherche ?

Merci
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[yat]

Tu te souviens bien de ce que représente le produit scalaire ? Si tu as déjà un vecteur normal au plan, ça peut être très pratique.

[martini_bird]

Salut,

en fait tu cherches la distance d'un point à un triangle dans l'espace?

[invite241f5934]

Je vais essaye d etre plus clair parceque c est vrai que ma question l etait peut etre pas.

J ai 3 points dans l espace (disons p1,p2 et p3) , je relie ces trois points et obtiens un triangle dans l espace dont chaque point constitu un des sommet. Ce triangle est la forme de base pour construire des objets en 3 dimension sur ordinateur.

Ensuite jai un autre point p0 dans l espace n importe ou. Je souhaite en fait determiner le point situe sur le triangle p1p2p3 qui sera le plus proche du point p0. et ensuite calculer sa distance mais bon une fois que j ai le point, la distance vient toute seule.

Avec 3 point on peut trouver l equation dun plan de la forme ax + by + cz + d avec a,b et c etant les composantes du vecteur normal a se plan. Je sais tres bien calculer la distance d un point a un plan mais la ce n est pas ce que je recherche. je cherche la distance d un point a un triangle dans l espace. Cette distance minimum peut etre un segment de droite parallele au vecteur normal du plan mais c est uniquement un cas particulier.

J espere que j ai ete plus clair. Quelqu un a une idee pour trouver le point que je cherche ? C est peut etre tres simple mais la geometrie spatiale c est tres loin pour moi...

Merci

edit : oui c est bien ca Martini Bird, plus precisement le point le plus proche de p0 sur le triangle p1p2p3. desole pour le mauvais vocabulaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yat]

OK... c'est en effet un peu plus compliqué...

il y a trois cas :
-le point est dans le prisme droit qui a pour base notre triangle. Dans ce cas le point le plus proche est le projeté sur le plan. Sinon :
-le point est dans l'espace délimité par les deux plans passant par deux sommets d'un triangle et perpendiculaires au coté qui les relie. Dans ce cas le point le plus proche est le projeté sur la droite. Sinon :
-le point le plus proche est le sommet le plus proche.

[martini_bird]

Ok,

brutalement, on pourrait procèder ainsi:
-Déterminer la projection orthogonale h de p₀ sur le plan p₁p₂p₃.
-Si h est dans le triangle, c'est le point cherché.
-Sinon calculer les trois distances hp₁ hp₂ et hp₃: les deux plus petites donnent la droite (p_ip_j) sur lequel il faut projeter orthogonalement h: soit h' ce projeté.
-Si h' appartient au segment p_ip_j, h' est le point cherché.
-Sinon calculer les distances hp_i et hp_j: la plus petite de ces distances donne le point p_k cherché.

Je ne garantis pas que cette méthode est optimale, mais bon...

EDIT: croisement avec yat, qui raconte la même chose.

[invite241f5934]

Merci ca me parait pas mal comme methode.

Maintenant c est vrai que c est assez lourd a implementer. sachant que mon prog doit faire ca pour environ 150 points et une douzaine de triangles minimum, y va chauffer mon pc.

Sinon est ce que d apres vous la meilleur methode pour verifier si le point h se trouve dans le triangle est de verifier que la somme des angles PihPj fait bien 360 ou y a mieux ?

Enfin en tout cas merci beaucoup !

[invite241f5934]

Merci a vous deux, j ai reussi a implementer ta methode martini bird, ca marche parfaitement

[invite241f5934]

En fait il semble y avoir un probleme avec ta methode.
Supposons que la projection orthogonale h du point p0 sur le plan forme par p1p2p3 ne soit pas dans le triangle p1p2p3. Il faut donc trouver la droite sur laquelle projeter h. Ta methode de prendre les 2 points du triangle les plus proches de h ne marche en fait a coup sur que si le triangle est equilateral. Si le triangle est au contraire tres applati, il y a de forte chance que la droite selectionnee soit le mauvaise. Je c pas si vous comprenez ce que je veut dire mais en gros la selection de la droite base sur les distances entre les points ne fonctionne pas.

J ai pense a une methode base sur les angles forme par les points. En fait on calcule les angle p0hp1,p1hp2 et p0hp3 et la droite a selectionner est celle forme par les 2 points de l angle etant le plus grand. J ai fait quelques croquis et ca semble bien marcher. Par contre je suis incapable de le demontrer mathematiquement. Est il possible de demontrer que ca fonctionne de facon rigoureuse ?

[yat]

En effet, choisir les deux points des plus proches du projeté ne me semble pas valable.

Au niveau de l'angle, c'est peut-être faisable mais ça me parait un peu violent.
Je t'invite à jeter à nouveau un oeil à la méthode que je proposais hier. Pour entrer un peu plus dans les détails, chaque coté du triangle peut être associé à un couple de plans. Pour calculer les équations de ces plans c'est très facile : le coté est un vecteur orthonormal à ces plans, donc ses coordonnées sont directement les trois premiers coefficients des équations. Pour trouver les deux constantes il suffit alors de regarder les valeurs en ces deux sommets. Enfin, si le point est entre ces deux plans, tu as trouvé le coté que tu cherchais.

[yat]

A la réflexion, ta méthode avec les angles ne marche pas. Pour le contre exemple, dans un repère du plan, p1(0,0), p2(4,1), p3(8,0) et h(2,4). Il est clair que le coté qu'on doit trouver est p1p2, toi tu trouverais p1p3.

Raison de plus pour essayer ma méthode, qui ne nécessite presque pas de calcul

[martini_bird]

Salut,

-Sinon calculer les trois distances hp₁ hp₂ et hp₃: les deux plus petites donnent la droite (p_ip_j) sur lequel il faut projeter orthogonalement h: soit h' ce projeté.

En effet, ça ne marche pas: il faudrait remplacer cette étape par:
- calculer les distances de h à chacun des segments du triangle: la plus petite donne la projection cherchée.

Mais la méthode de yat est peut-être plus simple (à voir au niveau de l'implémentation).

Cordialement.

[yat]

Salut,
En effet, ça ne marche pas: il faudrait remplacer cette étape par:
- calculer les distances de h à chacun des segments du triangle: la plus petite donne la projection cherchée.

Encore raté
Le même contre exemple que toute à l'heure donnerait p2p3 alors qu'il faut toujours trouver p1p2.

[moijdikssékool]

on peut aussi considérer le plan P perpendiculaire au triangle avec le plan du triangle et passant par Po. S'il existe un point Pi du triangle qui soit de l'autre côté de P par rapport aux 2 autres Pj et Pk (très facile, produit vectoriel), il suffit de calculer la distance de Po avec PiPj et PiPk et comparer les distances. Sinon, trouver le point le plus proche à P parmi Pi, Pj et Pk
je pense qu'en terme de calculs, c'est plus-mieux

[moijdikssékool]

j'ai dit N'IMPORTE QUOI (inutile que je m'étale sur ma bêtise)

mais je ne crois pas qu'il soit très utile de passer par les points projetés:
considèrons les 6 plans perpendiculaires au triangles, passant par les sommets et perp aux droites formant le triangle. Il devrait suffire de savoir de quel côté Po se trouve par rapport à ces plans (bêtes calculs scalaires entre les vecteurs formés par les sommets et ceux formés entre les ommets et Po) ainsi que de quel côté se trouve Po par rapport aux plans perp au triangle et passant par les droites formant le triangle (encore des produits scalaires) puis de faire quelques comparaisons pour finalement faire un calcul de distance

[martini_bird]

Encore raté
Le même contre exemple que toute à l'heure donnerait p2p3 alors qu'il faut toujours trouver p1p2.

Argh, oui en effet.

Bon ben va pour le régionnement de l'espace.