Les trous noir

[Deedee81]

Point intéressant.
Prenons le plan R² et la sphère moins un point. Ce sont deux variétés sans bord homéomorphes. On peut voir le "point manquant" dans le second cas comme une singularité, et donc, par homéomorphie, le "tour" de R² comme une singularité aussi bien.
Maintenant, en mettant les métriques usuelles, on peut donner un sens à la taille de la singularité, non? Infinie dans le cas de R² et nulle pour la sphère moins un point.

Cet exemple est interpellant. Evidemment, il y a là juste la partie géométrique (la, singularité d'un TN c'est aussi une densité, température, etc... qui divergent). Mais c'est tout de même fort intriguant.

Ca mérite réflexion pour le cas de la géométrie de Schwartzchild que je traduirais comme ça :
Existe-il un difféomorphisme entre l'espace-temps de Schwartschild et l'espace-temps de Minkowski. Et si non, existe-il un homéomorphisme ?

Je crois que non (j'en suis sûr pour le difféomorphisme mais pas sûr et certain pour l'homéomorphisme (*)), mais croyance n'est pas véritance, euh, vérité. Si quelqu'un à une confirmation rigoureuse (éventuellement avec une référence), c'est le bienvenu.

(*) dans mon jeune temps j'avais cherché un tel homéomorphisme pour une raison différente (une tentative de formulation de la RG à partir des techniques de jauge locale). Mais cette approche était assez naïve (j'ai vu après que ça existait (**) et que c'était un peu moins simple que ma tentative d'ailleurs ratée) et je n'avais pas démontré l'absence d'un tel homéomorphisme.

EDIT (**) de mémoire (c'était il y a trente ans !) il faut chercher sur les formulations de la RG basées sur les fibrés. Si ma mémoire ne me trompe pas.

= ne réfléchissons pas plus loin?

Non, synonyme de "il n'y a que deux possibilités" (et avec "il y a" ou "il y a pas", je ne prend pas beaucoup de risque ).
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[Deedee81]

Et si non, existe-il un homéomorphisme ?

Oublié de dire, après avoir "enlevé" le point r = 0, comme dans l'exemple de Amanuensis.

[papy-alain]

Si je remplace ma phrase "un espace infiniment petit" par "un point sans dimension spatiale", alors, cela implique qu'il n'y a rien.
Or on ne peut pas dire qu'il n'y a rien, puisque la gravitation est toujours là.
Il faut quand même être un peu réaliste et se dire que les outils mathématiques cessent d'être valable lorsqu'on parle de singularité. D'ailleurs, même parler d'un "espace infiniment petit" est abusif, dés lors où il est admis que la plus petite dimension possible est l'espace de Planck.

[Deedee81]

Si je remplace ma phrase "un espace infiniment petit" par "un point sans dimension spatiale", alors, cela implique qu'il n'y a rien.

La déduction est un peu rapide.

Or on ne peut pas dire qu'il n'y a rien, puisque la gravitation est toujours là.
Il faut quand même être un peu réaliste et se dire que les outils mathématiques cessent d'être valable lorsqu'on parle de singularité. D'ailleurs, même parler d'un "espace infiniment petit" est abusif, dés lors où il est admis que la plus petite dimension possible est l'espace de Planck.

Ben oui, on sait bien qu'en prenant en compte la mécanique quantique, cette singularité est sans doute juste une zone minuscule de densité et température fantastiques. Mais :
- ca n'empêche pas de regarder les TN dans le cadre RG et de parler de singularité dans ce cadre théorique
- De parler de singularité même dans le cas "réaliste" avec un grain de sel, disons "singularité for all practical prupose"
- En pratique le TN reste totalement inchangé vu de l'extérieur
- Celui qui tomberait dedans n'arriverait jamais à voir la différence (un truc tenant dans un une sphère de rayon Lp, Lp/2, Lp/1000 ou.... 0, est totalement impossible à distinguer avec nos moyens), et de toute façon dans tous les cas il est condamné.
- On n'a pas de théorie de gravitation quantique, on ne sait pas décrire cet état "minuscule mais dense et chaud", et on ne sait même pas si parler d'une "zone de la taille de Planck" à le moindre sens physique (imagine une superposition quantique de nombreux états d'un espace-temps discrétisé. Tu arrives à visualiser ? ). Donc, tant qu'à faire, continuons à appeler cela "singularité", après tout le Soleil est bien un corps noir et les quarks ont des couleurs. On n'est pas à une bizarrerie près dans les noms.

[papy-alain]

on sait bien qu'en prenant en compte la mécanique quantique, cette singularité est sans doute juste une zone minuscule de densité et température fantastiques.

Mais on ne peut pas en être sûr, puisque les théories relatives à la gravité quantique sont loin d'être avérées.
Alors, pourquoi s'acharner à prétendre que la singularité du TN est minuscule, alors que rien ne le prouve ?
On ne connaît pas l'état de la matière dans ces conditions extrêmes.
La seule expérimentation possible serait de fabriquer des mini-TN au LHC, mais on en est loin...

[Deedee81]

Mais on ne peut pas en être sûr, puisque les théories relatives à la gravité quantique sont loin d'être avérées.
Alors, pourquoi s'acharner à prétendre que la singularité du TN est minuscule, alors que rien ne le prouve ?

Oui, pardon, j'ai été trop vite. J'aurais dû dire "probablement" (ça découle directement des principes premiers, sans devoir construire tel ou tel théorie comme les cordes et les boucles mais..... c'est pas pour ça que c'est une certitude. D'ailleurs dans un article ArXiv que je peux retrouver et où ils font cette déduction (sur la longueur minimale, pas sur les TN) ils préviennent que cela n'a de valeur qu'heuristique).

Mais ça ne change rien à ma liste de "-".

Un autre, plus spéculatif (mais encore solide) :
- Pour ce qui est des raisonnements théoriques mais rigoureux (par exemple en théorie quantique des champs en espace-temps courbes : Hawking et tout ça), dans le diagramme de Penrose il faut juste épaissir la ligne "singularité" et ça ne change rien aux développements (les trajectoires intéressantes et intervenant dans les calculs n'ont pas besoin de cette zone).

Oublié de dire, après avoir "enlevé" le point r = 0, comme dans l'exemple de Amanuensis.

Je me répond à moi même, sans certitude (*) : je pense qu'une telle transformation existe car lorsqu'on regarde un diagramme de Penrose (du moins pour l'espace-temps "restreint" de Schwartzchild, pas son extension maximale avec trou blanc ou avec plusieurs telles extensions) il est clairement homéomorphe à un espace-temps de Minkowki (celui de Penrose étant obtenu par une transformation conforme).

(*) J'ai failli dire "un lacet entourant la coordonnée t = 0 prouve que ce n'est pas homotope mais.... c'est faux, on est à quatre dimensions là !!!! L'intuition 3D peut être méchamment trompeuse et j'ai bien failli me faire avoir.... pour la nième fois.

[papy-alain]

Pour résumer, je dirais que le diagramme de Penrose peut être appliqué jusqu'à proximité de la singularité, étant entendu qu'il est difficile, voire impossible pour l'instant, de définir une dimension spatiale pour la singularité. Tu es d'accord avec cette formulation ?

[Deedee81]

Pour résumer, je dirais que le diagramme de Penrose peut être appliqué jusqu'à proximité de la singularité, étant entendu qu'il est difficile, voire impossible pour l'instant, de définir une dimension spatiale pour la singularité. Tu es d'accord avec cette formulation ?

Presque. Je ne suis pas sûr de la signification à donner à "dimension spatiale de la singularité", je formulerais plutôt comme "[...] de définir de manière sûre la structure de l'espace-temps dans le voisinage de l'éventuelle singularité".

Je chipote peut-être un petit peu.

[papy-alain]

Presque. Je ne suis pas sûr de la signification à donner à "dimension spatiale de la singularité", je formulerais plutôt comme "[...] de définir de manière sûre la structure de l'espace-temps dans le voisinage de l'éventuelle singularité".

Je chipote peut-être un petit peu.

OK. J'aime bien le <<éventuelle singularité>>