Nombre de dimensions d'un espace discret avec une distance minimale

[Juzo]

Bonjour à tous, j'ai une question à vous poser en tant que novice !

Si j'ai bien compris, d'après la théorie des cordes la notion de distance n'a aucun sens à des échelles inférieures à la longueur de Planck, et d'après la gravitation quantique à boucles l'espace n'existe pas sous la longueur de Planck...

Suivant cela, prenons le cas d'un espace qui est un nuage de sphères de diamètre minimal Lp (longueur de Planck), et distantes au minimum de Lp.

o o o o o
o o o o o
o o o o o
o o o o o ( voila le principe ...)

Alors on peut imaginer un système de deux coordonnées qui suffit à caractériser la position de n'importe quel objet dans cet espace, non ? Un tel espace est-il toujours à 3 dimensions ?
(bien sur je ne tiens pas compte des dimensions supplémentaires en théorie des cordes)

Merci !!
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[Juzo]

PS : désolé pour la faute dans le titre, j'aurais voulu le modifier pour à la place : Nombre de dimensions d'un espace discret avec une distance minimale

[Juzo]

Pas de réponse, peut-être ma question est-elle trop naïve ou non pertinente, ou une superposition de ces deux états ?

Je penche pour la troisième option.

Pour me donner plus de chances je précise un peu mon idée : dans un espace discret constitué mettons de sphères du diamètre Lp éloignées de Lp, on peut utiliser seulement deux coordonnées pour décrire n'importe quelle position. Par exemple sur une "tranche" en 2D en peut choisir une coordonnée en spirale à partir d'une position choisie, puis ajouter une coordonnée pour se déplacer de tranche en tranche.
Bien sur lje prends le cas le plus simple où ,les sphères sont disposées régulièrement comme je l'ai illustré plus haut.

Donc s'il suffit de 2 informations pour définir toute position, cet espace serait en 2D et non en 3D ....

Merci de m'éclairer

[pm42]

Tu es sur que tu as besoin de 2 coordonnées et qu'une seule ne suffit pas ?
Et à la fin, tu prouves quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Juzo]

Si on définit le nombre de dimensions comme le nombre d'informations nécessaires pour décrire toute position, ça signifierait qu'on n'a pas un espace à 3 dimensions, mais un espace à 2 dimensions plongé dans 3 dimensions non ? Il me semble que c'est une nuance importante pour les équations par exemple...

Il est peut-être possible d'utiliser une seule coordonnée comme tu proposes mais je ne pense pas (il faut déjà une coordonnée dans une "tranche" d'espace), il faut que je vérifie.

En tout cas j'aimerais bien savoir s'il y a une erreur de raisonnement, ou si cela n'a aucun impact !

[pm42]

Si on définit le nombre de dimensions comme le nombre d'informations nécessaires pour décrire toute position,

C'est un gros "si".

Il est peut-être possible d'utiliser une seule coordonnée comme tu proposes mais je ne pense pas

Et pourtant si. La technique de la spirale que tu utilises sur un plan revient à montrer que NxN est équipotent à N. De la même façon, NxNxN est équipotent à NxN donc à N. Donc une seule coordonnée suffit.

En tout cas j'aimerais bien savoir s'il y a une erreur de raisonnement, ou si cela n'a aucun impact !

2 au moins : la définition des dimensions et l'erreur sur le nombre que cela impliquerait.

[Juzo]

Ok merci beaucoup pour tes réponses, je vais bosser ça et je reviendrai si j'ai des questions...

J'ai fait un autre post plus "général" sur une théorie du tout si tu veux bien m'éclairer aussi là-dessus

[Juzo]

Si vous pouviez m'expliquer comment je suis sensé définir le nombre de dimensions de notre espace (puisque ma définition est fausse), ça m'aiderait beaucoup... Je n'ai pas eu le temps de faire trop de recherches et votre explication m'intéresserait.

Et quant à ma 2ème erreur, le nombre, même si c'est 1 ça ne change pas le fond de ma question. J'avais seulement dit qu'il était possible d'utiliser 2 informations sans chercher plus loin.

Merci en tous cas pour vos réponses !

[mmanu_F]

Si j'ai bien compris, d'après la théorie des cordes la notion de distance n'a aucun sens à des échelles inférieures à la longueur de Planck,

salut,

tu peux mm'en dire un peu plus sur l'origine de cette affirmation ?

[Juzo]

Désolé pour mes imprécisions mais on peut imaginer mon espace discret comme une expérience de pensée.

Je tire ça d'un bouquin du souvenir d'un bouquin de Brian Green, qui dit que ce serait comme parler du comportement ondulatoire de l'eau à l'échelle moléculaire. A très petite échelle la notion de distance pour l'espace pourrait ne plus avoir de sens en théorie des cordes. Les gravitons étant les éléments les plus petits, les plus élémentaires du champ gravitationnel, il n'y aurait aucun sens à parler du comportement du champ gravitationnel à des échelles inférieures à la distance de Planck, et la notion même de "plus petit" n'aurait pas de sens.
L'espace libre dans le "maillage" de l'espace serait hors de la réalité physique... D'après ce que j'en ai compris.

[Gilgamesh]

Alors on peut imaginer un système de deux coordonnées qui suffit à caractériser la position de n'importe quel objet dans cet espace, non ? Un tel espace est-il toujours à 3 dimensions ?

Oui, dans la représentation données dans le bouquin de Brian Green, on réduit l'espace usuel à deux dimensions précisément pour pouvoir représenter commodément en chaque point les dimensions compactifiées selon diverses topologies (boucle 1D, tore 2D, sphère 2D, espaces de Calabi Yau 6D...), qui font que là où on voit qu'un point, il existerait en fait un sous-espace accessible, qui donnerait au cordes les degrés de libertés supplémentaires nécessaires à la cohérence mathématique de la théorie.

Mais bien sûr dans les faits, c'est chaque point de l'espace en trois dimensions qui est concerné. C'est à dire qu'il faut toujours trois coordonnées pour situer un point PLUS des coordonnées supplémentaires pour le situer au sein de la variété compactifiée. Si cette dernière est sphérique (voir illustration ci dessous), on aurait x,y,z (= les coordonnées 3D usuelles) plus un latitude et une longitude (= coordonnées sur la sphère compactifiée).

[pm42]

Si vous pouviez m'expliquer comment je suis sensé définir le nombre de dimensions de notre espace (puisque ma définition est fausse), ça m'aiderait beaucoup...

Tu peux réfléchir en degrés de liberté par exemple ou dans le cas des espaces vectoriels en terme de base. Bien sur, quand tu quantifies comme c'est le cas ici, ce n'est plus vraiment un espace vectoriel mais tu peux réfléchir de la même façon : ton espace a des générateurs et tu peux construire tous les points par combinaison linéaire.
Et tu as besoin de 3 générateurs même si tu peux utiliser 1 ou 2 nombres pour les représenter.

Pour comprendre pourquoi cette approche par la numération ne permet pas de déterminer le nombre de dimensions, supposes un plan réel. Tu prends les 2 coordonnées et tu construis un nombre dont tous les chiffres d'indice pair correspondent à x et tous ceux d'indice impair à y.
Tu as donc un seul nombre qui te permet de désigner n'importe quel point dans le plan. C'est une illustration simple du fait que RxR est idempotent à R.
Pourtant, tu ne vas pas dire que le plan est de dimension 1.

[mmanu_F]

Désolé pour mes imprécisions mais on peut imaginer mon espace discret comme une expérience de pensée.

Je tire ça du souvenir d'un bouquin de Brian Green (enseignat à l'université), qui dit que ce serait comme parler du comportement ondulatoire de l'eau à l'échelle moléculaire. A très petite échelle la notion de distance pour l'espace pourrait ne plus avoir de sens en théorie des cordes. Les gravitons étant les éléments les plus petits, les plus élémentaires du champ gravitationnel, il n'y aurait aucun sens à parler du comportement du champ gravitationnel à des échelles inférieures à la distance de Planck, et la notion même de "plus petit" n'aurait pas de sens.
L'espace libre dans le "maillage" de l'espace serait hors de la réalité physique... D'après ce que j'en ai compris.

salut,

j'ai l'impression que le versant mathématique de ta question est sur le chemin de la résolution, mais je voulais revenir vite fait sur l'origine physique de la question.

imginer un espace discret à l'échelle de planck est un jeu dangeureux, d'une part une structure discrète à l'échelle de planck est en conflit avec la relativité et elle n'est pas franchement soutenue par l'expérience.

je sais bien que l'image du maillage, des atomes d'espace, d'une structure discrète, etc, sont souvent utilisés en vulgarisation mais c'est un point de départ assez catastrophique pour faire de la physique.

[Juzo]

Merci pour ta réponse pm 42, maintenant je suis convaincu que R et RxR sont équipotents. Mais je te ferai remarquer que pour utiliser le nombre que tu proposes il faut connaitre la manière dont il est codé, ce qui fait une information supplémentaire.
Si je considère le nombre de dimensions comme le nombre d'informations nécessaires pour connaitre une position, mes 2 dimensions de RxR sont sauvées : )
De plus ton nombre n'est pas une coordonnée dans un quelconque repère, et la bijection que tu proposes n'est pas linéaire ce qui me parait gênant.
Néanmoins l'idée des générateurs m'a convaincu je vais creuser ça.

[mmanu_F]

Merci pour ta réponse pm 42, maintenant je suis convaincu que R et RxR sont équipotents. Mais je te ferai remarquer que pour utiliser le nombre que tu proposes il faut connaitre la manière dont il est codé, ce qui fait une information supplémentaire.
Si je considère le nombre de dimensions comme le nombre d'informations nécessaires pour connaitre une position, mes 2 dimensions de RxR sont sauvées : )
De plus ton nombre n'est pas une coordonnée dans un quelconque repère, et la bijection que tu proposes n'est pas linéaire ce qui me parait gênant.
Néanmoins l'idée des générateurs m'a convaincu je vais creuser ça.

et tu es bien certain de ne pas avoir besoin d'informations supplémentaires pour encoder la position avec une spirale ? elle tourne dans quel sens au fait ?

[Juzo]

@mmanu_F je vais devoir faire quelques recherches avant de résoudre le versant mathématique de la question !
Idem pour le versant physique... Cet idée d'espace discret que je viens de découvrir me gênait, c'est pourquoi j'ai fait ce post. Merci de me confirmer que ce n'est pas gravé dans le marbre : )

@Gilgamesh : merci pour toutes ces précisions, je vais étudier ça. Ça me paraît étrange qu'on utilise des coordonnées continues (latitude et longitude) sur l'une des "sphères" hypothétiques, quid des distances minimales ? Je voyais plutôt ces sphères comme des grains uns et indivisible en 3D, mais je ne dois surement pas me référer à la géométrie classique.

Une autre chose qui m'étonne, c'est que sur la photo que tu as proposé la répartition des sphères n'est pas isotrope, la distance entre 2 sphères consécutives varie selon la direction choisie. Pour obtenir une isotropie ilfaudrait que chaque sphère ait une autre sphère située de chaque côté d'elle à une distance d dans n'importe quelle direction, ce qui est absurde. (Fabulations à partir de là : la présence de sphères pourrait varier de manière aléatoire ce qui donnerait au moins une loi isotrope...) bref, à creuser

[Juzo]

Ah, bien vu Mmanu_F...

[Gilgamesh]

@Gilgamesh : merci pour toutes ces précisions, je vais étudier ça. Ça me paraît étrange qu'on utilise des coordonnées continues (latitude et longitude) sur l'une des "sphères" hypothétiques, quid des distances minimales ? Je voyais plutôt ces sphères comme des grains uns et indivisible en 3D, mais je ne dois surement pas me référer à la géométrie classique.

Le nombre de dimensions, c'est par définition le nombre de coordonnées dont tu as besoin pour situer un point. Une sphère c'est une surface, pas un volume, ça n'a que deux dimensions. Sur une sphère comme la Terre, on utilise deux angles en général: latitude et longitude (coordonnées sphériques). On peut très bien s'y prendre autrement en prenant deux distances x et y comptés à partir d'un point origine (coordonnées cartésiennes) et il y a d'autres possibles, mais à partir du moment où il s'agit d'une surfaces, deux coordonnées suffisent.

Une autre chose qui m'étonne, c'est que sur la photo que tu as proposé la répartition des sphères n'est pas isotrope, la distance entre 2 sphères consécutives varie selon la direction choisie. Pour obtenir une isotropie ilfaudrait que chaque sphère ait une autre sphère située de chaque côté d'elle à une distance d dans n'importe quelle direction, ce qui est absurde. (Fabulations à partir de là : la présence de sphères pourrait varier de manière aléatoire ce qui donnerait au moins une loi isotrope...) bref, à creuser

Ce qui est dessiné n'est qu'une représentation schématique de la réalité. En réalité, il faut concevoir qu'il y a une sphère en chaque point de la surface. Et elles ne se chevauchent pas, parce que justement elles représentent d'autres dimensions.

[Juzo]

Je sais comment on utilise deux coordonnées à la surface d'une sphère, ce qui me surprenait c'est que si on utilise des coordonnées continues, ça implique des distances entre deux points inférieures à la longueur de Planck. J'aurais du écrire "des grains uns et indivisibles VUES DE nos 3D"

[Juzo]

Donc si je résume vos réponses, dans un espace discret avec distance minimale même hypothétique, constitué de sphères-points, il faudrait toujours 3 coordonnées pour définir toute position, donc 3 dimensions.

Dans la réalité un tel espace n'existe pas, même en théorie des cordes. C'est une image souvent utilisée mais un très mauvais point de départ pour raisonner en physique.
En théorie des cordes, si on se place en 2D, on peut représenter chaque point de l'espace comme une variété compactifiée (boucle, ou tore, ou sphère...) représentant un sous-espace accessible donnant les degrés de liberté aux cordes.

Merci pour toutes ces précisions, je m'en vais faire des recherches sur les variétés compactifiées : )

[Gilgamesh]

Donc si je résume vos réponses, dans un espace discret avec distance minimale même hypothétique, constitué de sphères-points, il faudrait toujours 3 coordonnées pour définir toute position, donc 3 dimensions.

Dans la réalité un tel espace n'existe pas, même en théorie des cordes.

Si, la théorie des cordes utilise un espace continu. C'est la gravité quantique en boucle qui discrétise l'espace-temps.

[mmanu_F]

ce qui me surprenait c'est que si on utilise des coordonnées continues, ça implique des distances entre deux points inférieures à la longueur de Planck.

oui, l'espace-temps est, jusqu'à preuve du contraire, continu à l'échelle de planck. c'est une conséquence de la relativité et c'est en accord avec l'observation (voir message #15 et la discussion liée dedans).

[mmanu_F]

Si, la théorie des cordes utilise un espace continu. C'est la gravité quantique en boucle qui discrétise l'espace-temps.

je dirais même que la LQG repose sur un "substrat" qui est un espace-temps continu. la structure discrète est imposée au niveau cinématique, ce qui est différent d'une discrétisation naive de l'espace-temps.