Facteur d'échelle et coordonnée radiale d'un rayon lumineux

[fabio123]

Bonsoir,

je reprends un ancien projet qui consiste à calculer numériquement la trajectoire d'un rayon lumineux dans la métrique de Friedmann-Lemaitre avec le cas "k=0" et la constante cosmologique nulle. Le rayon est émis par une galaxie source à l'instant t0 (aujourd'hui) et à une distance prise en paramètre (que je pense devoir noter avec R0 le facteur d'échelle d'aujourd'hui et r0 la coordonnée radiale aussi d'aujourd'hui.

D'après l'équation des géodésiques, j'obtiens l'équation suivante :



représente donc le facteur d'échelle d'aujourd'hui (temps correspondant à l'émission du rayon).

Dans mon code, j'ai pris , par commodité mais du coup, je me demande si les résultats sur la figure ci-dessous sont bons.

Voici la figure représentant ces résultats : la courbe (en ligne continue) en haut représente la trajectoire de la galaxie source et l'axe "Ox" du bas notre galaxie (je représente en fait le temps local en unité de MegaParsec). La distance initiale choisie ici est 3000 Mpc.



La ligne en pointillé représente la trajectoire du rayon lumineux (qui arrive dans notre galaxie vers 7000 MegaParsec en temps local). Ne tenez pas compte du rebond après l'arrivée, c'est juste que j'ai imposé une valeur positive pour la coordonnée radiale "r" du rayon lumineux.

Ce que je voudrais savoir, c'est si je dois multiplier ou non chaque valeur numérique de la coordonnée radiale (autrement dit ) par le facteur d'échelle avec le temps courant , ceci pour représenter la distance physique par rapport à nous.

Dans la figure ci-dessus, je n'ai pas multiplié la coordonnée radiale par .

Si quelqu'un pouvait m'expliquer si je dois appliquer ou non ce facteur, ça serait sympa.
-----

[Amanuensis]

la distance physique par rapport à nous.

Définir «distance physique».

Une fois la définition donnée parmi les différentes possibilités, on peut proposer une réponse.

[fabio123]

La distance physique dont je parle est celle donnée par la formule :

avec le facteur d'échelle ( et la coordonnée radiale. Je crois que l'on appelle "coordonnée" car c'est plutôt au facteur d'échelle que l'on donne une dimension spatiale ( par exemple pour l'écriture de qui est alors sans dimension avec cette convention).

Je me demandais alors, avec cette définition de distance, si je dois multiplier chaque valeur numérique (d'un rayon lumineux) obtenue avec mon code par le facteur d'échelle , malgré le fait que j'ai pris par commodité comme valeur dans le système différentiel.

Merci

[Amanuensis]

Cela donne la réponse, non?

r est la coordonnée comobile, choisie d'une certaine manière pour t=0. Pour une autre date un Δr correspond à une «distance physique» de R(t)Δr.

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

désolé pour l'erreur, je voulais écrire :

[fabio123]

vous voulez dire que est la distance comobile parce qu'initialement, j'ai pris la distance de la galaxie source à avec .

Est-ce que cela veut dire que ma coordonnée (dans mon système différentiel) ne correspond plus à une "coordonnée" mais à une distance comobile ? Pourtant, la distance comobile est par définition la valeur d'aujourd'hui de la distance (définie par ) ? Dans mon code, le rayon part à , c'est-à-dire aujourd'hui dans le référentiel de notre galaxie (axe des abcsisses) : au fur et à mesure qu'il se rapproche de nous, le facteur d'échelle change, je ne peux pas simplement multiplier par pour les différentes valeurs , non ?

[Amanuensis]

Un système de coordonnées 1+3 définit une distance spatiale, la question si elle est «physique» ou pas a des réponses relevant de l'interprétation. Les seules distances clairement «physiques» sont les distances propres, les longueurs de segments de lignes de genre espace, ce qui permet (en l'espèce) de parler de distance entre événements de même t, mais c'est plus compliqué entre événements de t différents. Et il n'y a pas de distance physique autre que conventionnelle entre événements séparés causalement.

Or ici il est question d'événements séparés causalement et non spatialement (si j'ai bien compris, ce qui n'est pas garanti, je n'ai pas creusé).

Du coup, tout dépend ce que l'on veut montrer. Si c'est l'évolution de r, pas besoin de multiplier, c'est alors la distance ramenée à l'époque 0; si on veut la distance ramenée à la date t, faut multiplier par R(t). (Pour moi elles ne sont pas plus «physiques» l'une que l'autre, parce qu'on parle d'événements se déroulant au cours du temps.)

[Mailou75]

Salut,

Pas trop d'accord... Il y a au moins deux distance qui ont un réel sens physique :
-La distance comobile Dc qui est la distance instantanée en mètres actuels a laquelle se trouve un objet
-La distance vue Dlt celle dont nous avons un usage empirique qui constitue a multiplier le temps de voyage du photon par c. En espace plat minkovskien ce qui est vu correspond a un événement ancien situé a une distance exacte dans le plan euclidien synchronisé (assimilable a l'espace comobile). A la réception d'un photon, l'œil (ou capteur lambda) fait le même exercice, il multiplie le temps de voyage du photon par c pour reconstituer un espace vu (triangulable).

La vraie question pour moi c'est comment le récepteur connaît le temps de voyage du photon..?

Mailou

[Mailou75]

Consiste... Dsl pour les fautes, par d'édit sur phone :/

[invite73f51cc1]

Un système de coordonnées 1+3 définit une distance spatiale

surprenant, j'aurais plus vu dans un système de coordonnées 1+3 une définition spatio-temporelle (3 dimension d'espace+1 de temps) mais je me trompe certainement

[fabio123]

Si c'est l'évolution de r, pas besoin de multiplier, c'est alors la distance ramenée à l'époque 0; si on veut la distance ramenée à la date t, faut multiplier par R(t)

Justement, je pense qu'il faut que je multiplie, pour chaque valeur de mon ensemble de valeurs numériques , par car je veux représenter la distance à laquelle se situe le rayon lumineux au fur et à mesure que le temps passe (je rappelle que l'émission se fait à t=t0, c'est-à-dire aujourd'hui) : ceci veut dire en se déplaçant vers une abscisse croissante.

Est-ce que je peux prendre dans l'application du facteur défini ci-dessus.

Je m'embrouille un peu car je résous numériquement le système différentiel pour la partie "coordonnée" en prenant et une fois les valeurs obtenues, je dois multiplier par l'expression de : multiplier par serait-il correct ?

Désolé pour ces confusions, toute remarque est la bienvenue.

[fabio123]

Je pense qu'en résolvant avec , ceci revient à obtenir des valeurs , donc après re-multiplier les résultats par
revient à obtenir la distance propre (autrement dit, la distance physique à l'instant t), c'est-à-dire :



Pensez-vous que c'est correct ?

[Amanuensis]

Pas trop d'accord... Il y a au moins deux distance qui ont un réel sens physique :
-La distance comobile Dc qui est la distance instantanée en mètres actuels a laquelle se trouve un objet

Celle-là, c'est mal barré, le référentiel comobile n'ayant pas de «réel sens physique».

-La distance vue Dlt celle dont nous avons un usage empirique qui constitue a multiplier le temps de voyage du photon par c.

Quand à celle-là elle dépend clairement de la datation choisie, et n'a donc aucun sens universel.

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On peut toujours en proposer d'autre. Seules celles qui dériveront directement de la métrique pourront avoir un sens physique indépendant de tout observateur ou convention.

[fabio123]

Pour y voir un peu plus clair, voici ci-dessous les figures obtenues. Il y a le cas (1) où le facteur en question n'est pas appliqué : on voit une trajectoire légèrement courbe et plus précisément convexe.

Sur la seconde figure, j'applique le facteur en question et j'obtiens aussi une trajectoire courbe mais cette fois-ci concave.

Figures : cas (1)

pas-de-facteur-sur-coordonnee-radiale-dun-rayon-lumineux-radial.png

cas (2) :

facteur-applique-sur-coordonnee-radiale-dun-rayon-lumineux-radial.jpg

Je voudrais savoir quelle est la convexité attendue dans ce type de problème et de calcul pour la trajectoire d'un rayon lumineux, c'est-à-dire une courbe convexe ou concave ???

Ceci me permettrait de trancher définitivement sur la question de savoir si je dois appliquer ce facteur à l'ensemble des valeurs numériques ou pas.

Je mets aussi en pièce jointe le schéma suivant qui permet de mieux comprendre dans quel cadre on se situe (à noter que sur cette figure, le rayon part de la galaxie source à t=t1 alors que dans mon cas, le rayon lumineux est émis à t=t0, c'est-à-dire au moment présent; de plus, la trajectoire du rayon lumineux est convexe par rapport à notre galaxie)

light_curve.png

Merci par avance

[fabio123]

juste une petite précision : quand je parle de "quelle est la convexité attendue ?", je parle du cas ( et ).

De plus, je me suis rendu compte grâce au schéma que la courbe calculée n'est pas à "proprement dit" la trajectoire du rayon lumineux : les 3 plans dessinés dessus représentent des hyperplans (de dimension 2) pour une valeur de t (temps local de notre galaxie) bien précise (c'est-à-dire t=t0, t=t1 et t=t2).

Je pense que c'est la relation entre un donné et le correspondant, qui n'est pas linéaire.

[Mailou75]

Salut,

Comme tout le monde te met un zef j'essayerai de répondre ce soir si je peux. Tu verras que l'expansion version 2017 ça demande un niveau 6eme a peu près.. du lourd quoi !

[Mailou75]

Re,

Bon... j'avais pas realisé que 3000MPc ca faisait loin, ton dessin laissait entrevoir une experience

Comme l'horizon est a 4200MPc tu parles d'un truc qu'on ne voit et connais pas bien, à 10GAL (~3000MPc) l'objet aura aujourd'hui un z~1,8 ce qui fait qu'à l'epoque H(z) vallait ~2,6Ho ce qui complique le probleme. Et en plus tu ne t'interesse pas au domaine passé mais à l'avenir donc la donnée necessaire c'est "H futur", perso je ne la connais. Un tel objet se trouve aujourd'hui en distance comobile a 16GAL donc une prediction a 16millards d'années mini je m'en méfierai... d'autant que les omegas pourraient changer d'ici là et la formule H(z) devenir obsolete.

Mais je me rend compte que sur ton schéma la distance de départ est notée 3000MPc c'est donc la distance comobile a prendre en compte... (les MPc m'ont mis dedans, c'est plutot une unité d'observation non ?) A Dc=10GAL tu auras un z~0,9 et un H(z)~1,6Ho. Bon, je t'avoue que j'espérais trouver un truc negligeable pour simplifier le sujet. Et de toute façon c'est le H futur qui t'interesse.. j'ai po

Quoi qu'il en soit, pour ton graph tu dois obtenir qq chose qui ressemble au cas 2, la lumiere va accélerer puisqu'elle sera de moins en moins ralentie par l'espace. Et sans doute que l'accéleration sera plus forte vers la fin a cause de la diminution de H.

Voilà desolé de ne pas pouvoir t'aider plus

[Mailou75]

Rere,

Il y a qq chose qui me chiffonne dans ton dessin, on dirait que l'objet emetteur va a qq chose comme la moitié de la vitesse lumiere. Un objet situé aujourd'hui à Dc~10GAL serait vu à Dlt~7,3GAL ce qui en appliquant v=H.d donnerait qq chose de l'ordre de ce que tu dessines. Mais la formule de Hubble doit etre appliquée dans la version FLRW a l'espace comobile et la vitesse devrait donc tourner vers ~0,7c (au moins au depart.. )

[fabio123]

Merci Mailou75 pour tes explications. Je comprends mieux pourquoi la courbe, qui est physiquement attendue, est la courbe concave car le taux d'expansion diminue avec le temps ( dans mon cas ). Je pense qu'on aurait une courbe convexe si le taux d'expansion augmentait avec le temps (comme cela est constaté observationellement aujourd'hui).

Cependant, j'ai du mal à comprendre les valeurs et ordres de grandeurs que tu donnes dans ton avant-dernière et dernière réponse :

1)

Comme l'horizon est a 4200MPc

: l'horizon cosmologique est actuellement environ égal à 44 GAL, d'après ta valeur, ça donnerait 42000*10^6*3.26 = 13.692 GAL. Est-ce que tu veux plutôt parler de l'horizon correspondant à l'âge de l'univers ?

2)

à 10GAL (~3000MPc) l'objet aura aujourd'hui un z~1,8 ce qui fait qu'à l'epoque H(z) vallait ~2,6Ho

: tu veux dire que, si dans le passé, un objet émetteur se situant à 10 GAL de nous, et que son rayon lumineux nous arrivait aujourd'hui, alors son redshift mesuré aujourd'hui serait égal à 1.8 ??

Pour calculer le taux d'expansion de l'époque, est-ce que tu te sers de la formule :

??

Dans mon cas :

et donc j'aurais :

, ce qui n'est pas la même valeur que tu donnes ( 2.6 Ho).

3)

Il y a qq chose qui me chiffonne dans ton dessin, on dirait que l'objet emetteur va a qq chose comme la moitié de la vitesse lumiere.

Comment déduis-tu que l'objet émetteur va "a quelque chose comme la moitié de la vitesse lumière" ?

Un objet situé aujourd'hui à Dc~10GAL serait vu à Dlt~7,3GAL ce qui en appliquant v=H.d donnerait qq chose de l'ordre de ce que tu dessines

Si je comprends, tu prends ici Dc comme distance comobile. Mais qu'entends-tu par "il serait vu à Dlt~7.3 GAL" ? Que représente "Dlt" ?

ce qui en appliquant v=H.d donnerait qq chose de l'ordre de ce que tu dessines

A partir de ces 2 valeurs (10 GAL et 7.3 GAL), comment te sers-tu de la loi de Hubble pour justifier "la validité du dessin au niveau des ordres de grandeur" ?

Mais la formule de Hubble doit etre appliquée dans la version FLRW a l'espace comobile et la vitesse devrait donc tourner vers ~0,7c

Comment obtiens-tu cette valeur de ~0.7c, j'aimerais savoir quelle formule tu utilises.

Je te remercie d'avance pour les explications sur toutes ces valeurs que tu donnes, mais le principal est compris, à savoir la convexité ou la concavité attendue de la courbe.

ps : par contre, en prenant z=0.9, j'obtiens H(z=0.9)= (1.9)^(3/2) ~2.61 Ho ( avec la formule ci-dessus de H(z) )

[Mailou75]

Salut,

l'horizon cosmologique est actuellement environ égal à 44 GAL, d'après ta valeur, ça donnerait 42000*10^6*3.26 = 13.692 GAL. Est-ce que tu veux plutôt parler de l'horizon correspondant à l'âge de l'univers ?

Oui, l'espace comobile qui a émis ce qu'on voit aujourd'hui à l'horizon (CMB) se trouve à ~46GAL mais en général quand on parle de MPc, on parle de ce qu'on observe, c'est ce qui m'a induit en erreur. L'habitude est de dire que l'horizon visible est à 4200MPc (soit 13,7GAL comme tu le dis). C'est le rayon de la sphère visible centrée sur l'observateur.

tu veux dire que, si dans le passé, un objet émetteur se situant à 10 GAL de nous, et que son rayon lumineux nous arrivait aujourd'hui, alors son redshift mesuré aujourd'hui serait égal à 1.8 ??

Si un objet se trouve en distance comobile à ~16GAL c'est qu'il est vu à ~10GAL avec un z~1.8 (et donc un redshift z+1~2.8 )

Pour calculer le taux d'expansion de l'époque, est-ce que tu te sers de la formule :
??

Oui :

Dans mon cas :
et donc j'aurais : , ce qui n'est pas la même valeur que tu donnes ( 2.6 Ho).

Moi je prend
r = 0.000082392
m = 0.27
k = 0
l = 0.73

Avec tes données tu obtiens le resultat qu'il faut. Mais il faut changer tes données.

Comment déduis-tu que l'objet émetteur va "a quelque chose comme la moitié de la vitesse lumière" ?

D'après tes unités et la pente de la courbe, c'est très approximatif

Si je comprends, tu prends ici Dc comme distance comobile. Mais qu'entends-tu par "il serait vu à Dlt~7.3 GAL" ? Que représente "Dlt" ?

Dlt (lookback time) est le temps de regard en arrière x la vitesse de la lumière. C'est (l'age de l'univers - l'age de l'objet observé) x c , pour l'horizon Dlt~13,7GAL
C'est le temps de voyage du photon x sa vitesse et le récepteur fabrique une "distance visuelle" (triangulable).
Regarde ceci ça peut t'aider : http://forums.futura-sciences.com/as...ml#post5637518

A partir de ces 2 valeurs (10 GAL et 7.3 GAL), comment te sers-tu de la loi de Hubble pour justifier "la validité du dessin au niveau des ordres de grandeur" ?
Comment obtiens-tu cette valeur de ~0.7c, j'aimerais savoir quelle formule tu utilises.

D'après Hubble v=H.d avec d la distance vue (7.3GAL~2200MPc) ce qui donne pour Ho=71km/s/MPc environ v~0.52c
Mais chez FLRW cette formule s'applique à distance comobile 3000MPc ce qui donne v~0.71c

par contre, en prenant z=0.9, j'obtiens H(z=0.9)= (1.9)^(3/2) ~2.61 Ho ( avec la formule ci-dessus de H(z) )

Pareil, avec tes données c'est ce que tu dois trouver, mais on utilise pas les mêmes.

Bon courage

Mailou

[fabio123]

Bonjour,

j'essaie de déterminer de manière symbolique, la concavité ou la convexité de la trajectoire du photon représenté dans le plan 2D (distance du photon vs temps cosmique), c'est-à-dire en la représentant en fonction de notre temps cosmique.

Le problème initial de ce fil est de savoir si je dois multiplier ou non, par le facteur d'échelle , l'ensemble des valeurs numériques que j'obtiens dans la résolution du système différentiel.

Il semble que pour obtenir une distance physique, il faut appliquer ce facteur.

Je m'intéresse maintenant à l'influence des valeurs et de , dans la valeur de la distance physique définie par :

.

avec qui correspond à la distance physique, à l'instant , du photon par rapport à l'observateur comobile qui reçoit ce photon.

Je peux calculer la vitesse du photon en faisant :



avec

et

(Je mets un signe "-" car la coordonnée "r(t)" diminue, elle va vers l'observateur et donc tend vers 0.)

Je trouve donc : , ce qui parait logique pour un photon.

Mais comment faire alors pour trouver l'expression de l'accélération ou la décélération de la trajectoire radiale, ce qui permettrait de justifier le caractère convexe ou concave de cette trajectoire, en fonction du facteur d'échelle utilisé.

1*) Dans le cas que je considère depuis ma première question, j'ai fait les calculs avec .

Ce facteur d'échelle décélère, et on s'attend à ce que la distance physique "Distance" (plutôt sa diminution vers 0 s'accélère) décélère au fil du temps (et donc une courbe convexe).

2*) Si je prends le facteur d'échelle d'aujourd'hui (avec une décélération ), le photon aurait tendance à être ralenti avant
d'atteindre l'observateur, à cause de l'accélération de l'expansion.

Dans le cas 1*) comme dans le cas 2*), j'aimerais pouvoir justifier (de manière symbolique si possible) la convexité/concavité attendue.

En effet, si je calcule la dérivée seconde de "Distance photon - observateur", je trouverai qu'elle est égale à 0 puisque la dérivée simple vaut c :



Si vous pouviez m'aider à trouver l'expression de l'accélération/décélération de la trajectoire du photon ?

Merci

[fabio123]

J'ai oublié d'illustrer par la figure ci-dessous :




Obtenue avec .

la courbe du bas est celle du photon et celle du haut correspond à la galaxie qui a émis ce photon.

Comme vous pouvez le voir, la trajectoire est concave.

[fabio123]

Ce facteur d'échelle décélère, et on s'attend à ce que la distance physique "Distance" (plutôt sa diminution vers 0 s'accélère) décélère au fil du temps (et donc une courbe convexe).

Correction : la distance physique du "photon" aurait tendance dans ce cas-là à accélérer sur la fin de sa trajectoire car l'expansion est plus faible, c'est-à-dire qu'elle décélère.

Si je prends le facteur d'échelle d'aujourd'hui (avec une décélération q0=-0.55 ), le photon aurait tendance à être ralenti avant
d'atteindre l'observateur, à cause de l'accélération de l'expansion.

Je veux dire que le photon aura + de mal à parvenir jusqu'à nous car il doit lutter contre l'expansion qui s'accélère au fil du temps.

[Mailou75]

Salut,

la courbe du bas est celle du photon et celle du haut correspond à la galaxie qui a émis ce photon.

Je reitère ma remarque du message 18, la galaxie émettrice decrite devrait s'eloigner plus vite car il faut appliquer v=Hd à la distance comobile. Sous reserve que tout ceci ait un lien quelconque avec la realité...

[fabio123]

Salut,

je m'intéresse dans ce calcul uniquement au cas où et ; le facteur d'échelle s'exprime alors comme ceci :



Dans ce cas là, l'expansion décélère car :



Je pense qu'il faut que je cherche du coté de l'expression des géodésiques avec un paramètre affine différent du temps propre (on ne peut pas parler de temps propre pour un photon).

[Mailou75]

Salut,

Dans ce cas là, l'expansion décélère car (...)

Mais l'expansion décélère toujours. Ce qu'on apelle à tort "accélération de l'expansion" est le ralentissement du ralentissement. Sans doute le savais tu et t'es tu simplement mal exprimé ?

(on ne peut pas parler de temps propre pour un photon).

Peut on même parler de photon ?

N'etant pas d'accord avec tout ceci, je ne suis pas le bon interlocuteur. Je vais donc laisser d'autres te repondre plus sérieusement sur le sujet.

A+

[fabio123]

Mais l'expansion décélère toujours. Ce qu'on apelle à tort "accélération de l'expansion" est le ralentissement du ralentissement

Tu veux sans doute dire que dans le cas que je prends ( et ), il y a décélération, c'est-à-dire,

en prenant la définition du paramètre de décélération égal à , on a d'après :





Etant donné que , on a donc une décélération de l'expansion dans le cas que je traite.

Par contre, du point de vue des observations actuelles, on a et , ce qui donne

, ce qui correspond à une décélération négative, autrement dit une accélération.

Pour revenir à ma question, l'équation des géodésiques va surement m'aider pour l'accélération/décélération de son trajet vers nous ... mais à confirmer

[fabio123]

Tu veux sans doute dire que dans le cas que je prends ( et ), il y a décélération

désolé, je voulais dire :

" Tu veux sans doute dire que dans le cas que je prends ( et ), il y a décélération "