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Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon



  1. #1
    crashray

    Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Bonjour,
    J'essaye de trouver la possibilité de calculer les coordonnées d'un centre d'un cercle de Rayon 15 en ayant établi deux équations de tangente au préalable.
    Mes équations de tangentes se présente sous cette forme :
    Code:
    Y1=0.05*X+155-B
    Y2=4*X+(141-4*A)
    Avec par exemple A=-19.1 et B=3.6. Ou sinon A=-8.3 et B=5.1.
    Donc par exemple :
    Code:
    Y1=0.05*X+149.9
    Y2=4*X+174.2
    A partir de ces deux équations de tangente, je souhaite trouver les coordonnées du centre de R15.
    Comment réaliser cette prouesse ? J'essaye de partir de X²+Y²=15² soit X²+Y²=225
    Et là je bloque.

    -----


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  3. #2
    gg0

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Bonjour.

    Si je comprends bien, tu cherches le centre d'un cercle tangent à deux droites et de rayon donné. Tu ne connais pas les points de tangence (ce qui rendrait le problème facile).
    Il y a à priori 4 cercles possibles, un dans chaque secteur angulaire déterminé par les deux droites. leurs centres sont sur les bissectrices des deux droites.
    Une première étape serait de déterminer les équations des bissectrices (tu peux lire ce sujet sur un autre forum), puis en supposant que M(x,y) est sur l'une des bissectrices, écrire que sa disance à l'une des droites est 15, ce qui donne bien x²+y²=225, mais avec une relation entre x et y, qui te permettra de te ramener à une équation du second degré. Les deux racines donnent les deux centres qui sont sur cette bissectrice (symétriques par rapport à l'intersection des deux droites). Idem pour la deuxième bissectrice.

    Vérifie bien, avant de commencer que tes droites ne sont pas parallèles !

    Cordialement.

  4. #3
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Merci pour cette réponse clair. je vais essayer de calculer ma bissectrice qui m'intéresse.

  5. #4
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Merci pour cette réponse clair. je vais essayer de calculer la bissectrice qui m'intéresse.
    Si je résume dans l'autre sens.
    1) trouver la solution du système : équation bissectrice et cercle R15 de centre l'intersection X0,Y0 des deux tangentes
    2) trouver l'équation de la bissectrice souhaitée
    3) trouver le point d'intersection des deux tangentes
    4) trouver l'équation des 2 tangentes

    Pour le moment j'ai le point 4 Ok (enfin je crois) mais quand je calcule mon intersection et que je vérifie avec un logiciel de dessin (AutoCAD) je trouve pas la même cote. Faut que je reprenne tout ça calmement.

  6. #5
    gg0

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Heu...

    Les centres des cercles sont sur les bissectrices, pas à l'intersection !!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    pascaltech

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Bonjour,

    Pars sur un exemple avec dse valeurs entières et que tu fixes pour valider tes calculs.
    Il faut toujours passer deux couches, car cela plaît aux nasmes.

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  10. #7
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Je cale sur l'équation de la bissectrice. J'ai utilisé la forme implicite sur cette page http://integraledesmaths.free.fr/idm...eoAPBisDro.htm
    Mes deux équations sont
    4X-Y+174.2=0
    et
    0.05X-Y+149.9=0
    Après calcul je trouve :
    Y=-1.216X+142.106
    Le 142.106 est pourtant correct d'après mon dessin mais le coefficient directeur devrait être de -82.179 ou sinon +121.685. Y'a une erreur de *-100 on dirait mais je trouve pas.

  11. #8
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Bon en fait, j'ai été débile. Y'a pas d'erreur de 100. Après calcul, je trouve une équation de bissectrice qui m'intéresse :
    Y=-0.821X+142.106

    Mais en fait, j'ai pas bien compris l'étape d'après.

  12. #9
    gg0

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Tu ne faisais pas d'erreur avec ton -1,216, qui est bien le coefficient directeur de l'une des bissectrices, celle que l'on obtient avec le +; Avec le -, on trouve l'autre (sans doute celle qui t'intéresse), mais pas avec -0.821 !! Tu trouve une droite qui "descent comme bissectrice pour 2 droites qui monte. Or tu en as déjà une.

    Il serait peut-être bon que tu revoies ce que sont les bissectrices de 2 droites.

    Je continue mes vérifications.

  13. #10
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Après j'ai comme idée de calculer l'équation de la droite parralèle à
    Y=4X+174.2
    décalé du rayon de 15.
    Et après trouver l'intersection de cette nouvelle droite et la bissectrice.
    Mais pas encore trouvé comme calculé une équation d'une droite parallèle sauf qu'elle sera de la forme Y=4X+A

  14. #11
    gg0

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Ce n'est pas évident !

    Tu peux simplement calculer la distance d'un point de la bissectrice (*) à l'une des deux droites et l'égaler à 15. Comme y est calculé en fonction de x, ça te donne une équation à une seule inconnue.

    Cordialement.

    (*) attention, il y a deux bissectrices. Et aussi 2 droites situées à une distance de 15 d'une droite donnée ..

  15. #12
    gg0

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Voila la vérification (J'ai mis du temps car à cause de la neige j'ai des coupures de réseau !)
    Les équations des deux bissectrices sont
    y=-1,21685x+131,81274
    y=0,82179x+148,37686

    valeurs arrondies au plus près et calculées par un logiciel.

    Cordialement.

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  17. #13
    mécano41

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Bonjour à tous,

    Autre possibilité : on pourrait déterminer les coordonnées des points d'intersections des 4 parallèles aux deux droites données menées à une distance R de ces droites.

    Si l'équation d'une droite est :



    celle des deux parallèles à distance R est (on décale l'ordonnée à l'origine) :



    est l'angle de la droite avec Ox, donc :



    en notant :



    on obtient pour des droites d'indices 1 et 2 :



    donc 4 abscisses des points d'intersection qu'il suffit de reporter dans les équations des parallèles pour obtenir les ordonnées de ces points.

    Cordialement

  18. #14
    crashray

    Re : Coordonnée d'un centre de cercle en connaissant équation de 2 tangentes et le Rayon

    Citation Envoyé par mécano41 Voir le message
    Bonjour à tous,

    Autre possibilité : on pourrait déterminer les coordonnées des points d'intersections des 4 parallèles aux deux droites données menées à une distance R de ces droites.

    Si l'équation d'une droite est :



    celle des deux parallèles à distance R est (on décale l'ordonnée à l'origine) :



    est l'angle de la droite avec Ox, donc :



    en notant :



    on obtient pour des droites d'indices 1 et 2 :



    donc 4 abscisses des points d'intersection qu'il suffit de reporter dans les équations des parallèles pour obtenir les ordonnées de ces points.

    Cordialement
    Cette dernière solution me semble très bien. Je vais essayer de la tester pour voir si je retombe sur mes pieds.
    Sinon j'avais trouvé qu'entre le point d'intersection et le centre du cercle, il y a toujours le même décalage en X et Y car les deux droites ont toujours les mêmes coefficients directeurs (à savoir 4 et 0.05). Donc il suffit que je calcule précisément ces X et Y et que je les rajoute à mes coordonnées de points d'intersection.
    Mon but est une application numérique donc ça me conviendrait.

    Merci en tout cas pour tout vos conseils.

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