Optimisation - Calcul différentiel

[invitebbd6c0f9]

Bonsoir à tous ^^

J'ai un problème d'optimisation qui est le suivant :

"Un écran géant de cinéma est placé à 10 mètres au-dessus du sol et mesure 20 mètres de haut. À quelle distance de l'écran devrait-on se placer pour que l'angle de vision soit le plus grand possible?"

Je me suis fait un schéma, mais j'hésite entre deux situations :

Soit, il faut prendre en compte le point depuis lequel on regarde l'écran comme "au sol", comme si nos yeux sont par terre et alors le schéma est plus simple ou alors il faut étudier l'angle de vision à une distance d'environ 1m80 (d'humain) pour faire les calculs.

Si j'observe le premier cas, j'obtiens un triangle ABC rectangle en A (Le point C est là où on se place, le point B est le sommet de l'écran, et le point A est le sur le sol en dessous de l'écran), avec un côté AB de 30m (10m+20m), un côté AC de longueur recherchée (c'est la distance optimisée à laquelle on se place). Je nomme D le point représentant le bas de l'écran et je trace AD, et je me dis alors qu'il faut que je trouve le plus grand angle (de vision) .

Mais le truc, c'est que je n'ai aucune idée sur comment débuter...
Je sais uniquement que l'écran fait 20m, que l'espace entre l'écran et le sol fait 10m, mais je ne vois pas comment calculer n'importe quel angle, même avec des formules trigonométriques...

Si j'observe le deuxième cas, j'obtiens un trapèze rectangle, mais à nouveau, je ne vois pas du tout en quoi les informations de l'énoncé peuvent servir/suffire. En fait, j'ai pensé que cette façon de penser est plus réaliste donc je m'y suis penché un peu plus attentivement... Je referai un message un peu plus tard (ce n'est pas du double-post volontaire, je dois just changer de plateforme).

Merci d'avance pour toutes vos réponses

Cordialement
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[invitebbd6c0f9]

Re-

Pour la méthode du trapèze, je vais essayer d'être clair :

Je nomme A le point du haut de l'écran.

B est le point correspondant aux yeux du téléspectateur, à une hauteur du sol (L'homme fait de taille). C est le point correspondant aux pieds de la personne.

D est le point sur le sol, en dessous de l'écran.

Si jusque là j'ai réussi à me faire comprendre, j'ai obtenu un trapèze rectangle en et en .

Je note encore les points E qui est à hauteur de l'homme sur le mur, et le point F qui est le bas de l'écran.

Comme je trouve que , alors je me suis lancé dans un peu de trigonométrie circulaire dans les triangles AEB et FEB.

Je note déjà , et, et donc je trouve que ( est l'angle de vision, donc on recherche son maximum).

Comme vaut la distance recherchée à laquelle il faut se placer, je la nomme .

Je calcule alors .

Similairement, je calcule .

Et j'ai continué :

.

Donc, .

En simplifiant, j'obtiens .

En me souhaitant que cela soit juste ^^ je calcule la dérivée et j'obtiens :

, et donc quand j'égale la dérivée à zéro, j'arrive à .

Je m'imagine donc bien que ce n'est pas en se plantant dans le mur qu'on va avoir le meilleur angle de vue...

Pourtant, je trouvais mon début de raisonnement assez convainquant...

Enfin bref, merci pour l'aide que vous pourrez m'apporter

Cordialement

[gg0]

Bonjour.

Amusant, ton problème, qui caricature des sujets classiques (position du buteur lors d'un essai de transformation au rugby) de façon irréaliste : L'écran a deux dimensions, la largeur compte autant que la hauteur; sans compter que le champ visuel utile n'est pas si large que ça (j'ai vu avatar au premier rang, fallait bouger la tête !).
Bon, éliminons tout de suite les 1,80 qui ne peuvent se justifier (et les nains ? Et les basketteurs professionnels ?).
Finalement, en se plaçant dans un plan perpendiculaire à l'écran, on est ramené à un segment AB de 20 m, une droite D perpendiculaire à (AB), extérieure au segment et distante de 10 m de A, un point M sur D, et chercher la position de M pour que l'angle AMB soit le plus grand possible.
Les calculs que tu as fait sont peut-être adaptés, mais il est assez simple d'utiliser le projeté H de A sur D, et de calculer les angles AMH ET BMH.
Ce problème peut aussi se traiter par la géométrie pure, avec la notion d'arc capable. Il revient à trouver un cercle tangent à D passant par A et B.

Cordialement.

NB : x=0 est évidemment faux.

[invite4bf147f6]

Bonjour,

Si j'observe le premier cas, j'obtiens un triangle ABC rectangle en A (Le point C est là où on se place, le point B est le sommet de l'écran, et le point A est le sur le sol en dessous de l'écran), avec un côté AB de 30m (10m+20m), un côté AC de longueur recherchée (c'est la distance optimisée à laquelle on se place). Je nomme D le point représentant le bas de l'écran et je trace AD, et je me dis alors qu'il faut que je trouve le plus grand angle (de vision) BAD.

ne s'agit il pas plutôt de maximiser l'angle BCD?

[A voir en vidéo sur Futura]

[danyvio]

Ce problème peut aussi se traiter par la géométrie pure, avec la notion d'arc capable. Il revient à trouver un cercle tangent à D passant par A et B.
.

Ce problème m'a intéressé, j'en suis arrivé à faire la construction indiquée, mais à ma grande honte , je n'arrive pas à démontrer que c'est la solution optimale

[gg0]

Bonsoir.

Si A et B sont sur un cercle de centre O, pour tout point M situé du même côté de (AB) que O, on a
* si M est sur le cercle
* si M est strictement intérieur au cercle
* si M est strictement extérieur au cercle

Les deux dernières propriétés sont des conséquences de la première.

Cordialement.

[danyvio]

Bonjour !
Je connaissais cette propriété , mais ma réflexion portait sur la démo que cette construction était optimale.
J'ai fait un p'tit croquis et je pense avoir compris.
Les cercles passant par A et B ne coupent pas ou bien sont tangents ou bien sont sécants à D selon l'éloignement de leurs centres à AB. Le cas O2 est celui où l'angle au centre est le plus grand. CQFD. Le cas 1 n'est pas intéressant il ne coupe pas D.
Cordialement,

Pièce jointe supprimée

[JPL]

Les schémas doivent être postés dans un format graphique (gif, png, jpg). Merci.

[danyvio]

Au format png.

[danyvio]

Je reviens pour la construction géométrique :
1) Au compas et crayon (je passe le détail) évaluer la distance H entre le milieu de AB et D
2) tracer le cercle de centre B et de rayon H. Le point d'intersection de ce cercle avec D est le bon !!! (en fait il y en a deux, mais un se trouve derrière l'écran)