Quel est le lien entre l'attraction gravitationnelle et la distorsion de l'espace-temps ?

[Redyat1]

Bonjour à tous,

Bien que je pense avoir compris en surface la relativité générale d'Einstein, je ne comprends toujours pas ce qui fait qu'un corps accélère quand il approche d'un autre corps vers celui-ci.

Einstein nous dit (si j'ai bien compris) que tout corps ayant une masse, déforme l'espace-temps autour de lui (plus ou moins selon sa masse), et donc que si un autre corps se rapproche, celui-ci suivra sa trajectoire (les "lignes" de l'espace-temps),
bien que celle-ci soit courbé par le premier corps.

Jusqu'ici pas de problèmes, mais étant un joueur de KSP, j'ai une petite idée de comment les trajectoires et les orbites fonctionnent. Il faut une accélération (ici l'accélération est générée par le champs gravitationnel des astres à proximité).
On peut parfois avoir des orbites circulaires, elliptiques, et parfois, ne pas avoir d'orbite du tout, mais seulement une trajectoire déformée.

Sauf que voila, quand on cherche à quoi ressemble une distorsion de l'espace-temps sur internet, on tombe souvent sur ce genre d'image , et quand on regarde les lignes de l'espace-temps (et donc les trajectoires ?), on voit bien que ces lignes bien que déformées par le champs gravitationnel de l'astre en question, ressortent alignées avec leurs directions d’origines, ce qui me semble incorrecte par rapport à ce que ma logique (ainsi que KSP et la réalité) me laisse penser. d'où la question du titre.

Dans la réalité et dans KSP pour savoir si un objet est en orbite ou pas, on cherche à connaître sa masse, sa vitesse, son altitude par rapport à l'astre en question, et la masse de cet astre.
On peut voir aussi sur internet des vidéos d'expériences qui nous explique la gravité à l'aide d'une toile tendue représentant l'espace-temps, et des boules représentants les astres. Bien que plutôt réalistes en excluant les forces de frottements, ces vidéos, KSP et la réalité ont tous un point communs : ils possèdent une accélération qui maintient les objets dans une trajectoires circulaires, ou modifient ces trajectoires simplement.
J'ai l'impression que le modèle utilisé pour nous représenter la distorsion de l'espace-temps est erroné, ou c'est tout simplement moi qui omet un paramètre.

j'espère avoir été assez clair,

Merci d'avance pour vos explications
-----

[mach3]

Les histoires de toiles tendues, il faut les oublier. C'est une très mauvaise analogie. Il n'y a en fait quasiment aucun lien entre ces toiles tendues et la RG. On en a discuté il y a peu.

Je n'ai pas le temps de faire un post de bonne qualité ce matin. En attendant, il y a la fonction recherche du forum.

m@ch3

[Gilgamesh]

Bonjour Rediat et bienvenue sur Futura.

Ton intuition est la bonne, cette représentation de la toile élastique ne permet pas de se faire une idée adéquate de la façon dont le champ de gravité influe sur la trajectoire. Mais la représentation correcte nécessite un effort d'abstraction assez important, c'est la raison pour laquelle la toile élastique règne en maître dans la vulgarisation...

Ce qui reste vrai, c'est que l'équation du mouvement d'un corps en chute libre (donc accéléré par la gravité dans le cadre newtonien) est formellement identique à l'équation des géodésiques sur une surface courbe. De ce fait la gravitation peut s’interpréter comme une courbure de l’espace-temps. Mais le point important à retenir, c'est qu'en première approximation, cette courbure joue sur la coordonnée temporelle, et quasiment pas sur la courbure spatiale. Concrètement, tu fait une erreur complètement négligeable en considérant que l'espace est plat (au sens de euclidien) autours de la Terre, et même du Soleil. Il faut vraiment des astres extrêmes comme les étoiles à neutron et surtout les trous noirs pour voir des effets de courbure spatiale prononcée.

Le cheminement intellectuel qui mène au formalisme de la relativité générale implique d'abord de se familiariser avec la notion d'intervalle d'espace-temps et de métrique. La révolution conceptuelle introduite par la relativité restreinte, est basée sur un questionnement élémentaire : comment est il possible de repérer de façon univoque un événement dans l'espace et dans le temps ?

Commençons par essayer de le localiser dans l'espace. On va raisonner pour simplifier en deux dimensions. Soit un point A du plan. Ses coordonnées dans cet espace sont (x,y). Ici x=5 et y=3

Axe y
4
3---------A (5,3)
2         |
1         |
O 1 2 3 4 5 Axe x
(0,0)

De façon évidente, les deux valeur 5 et 3 ne sont valables que pour le choix d'un référentiel donné, qui est complètement arbitraire. On souhaite donc se donner une procédure permettant de passer des coordonnées du point à une grandeur physiquement pertinente. Ce qui a un sens physique, c'est par exemple la distance séparant A de l'origine. Je veux donc une "machine" (une fonction) qui prenne en arguments les coordonnées et qui me sorte en résultat une grandeur invariable. Cette machine doit donner le même résultat quel que soit le choix de départ de l'observateur. C'est ce qu'on appelle une métrique.

Quelle est la distance s qui relie A(5,3) à l'origine du repère, le point O(0,0) ? Tu reconnais un triangle rectangle, avec x le coté adjacent, y le coté opposé et s l’hypoténuse. Trouver la distance consiste à calculer l’hypoténuse ce qui se fait grâce à la relation de Pythagore.



Tu vois, c'est pas bien compliqué, les bases de la métrique, c'est ce bon vieux Pythagore . Cette relation de Pythagore se généralise immédiatement en 3 dimensions. Si j'ai A(x, y, z), la métrique s'écrit :



Bon, mais là je ne veux pas calculer la distance de A à l'origine O(0,0) mais disons au point A'(x',y',z'). Ça ne complique pas beaucoup :



Simplement, dans toutes la suite des événement on considère toujours la distance à l'origine pour ne pas alourdir la notation, sans que ça particularise le problème, puisque c'est un simple changement de référentiel à opérer (A' = O).

Et maintenant, je rajoute le temps... Le problème c'est que jusque maintenant, j'avais des grandeurs homogènes, à savoir des longueurs, qui se mesurent en mètre et là, je rajoute une dimension qui se mesure en seconde. Qu'à cela ne tienne, on va mesurer le temps en mètre également. Pour cela on va multiplier le temps t par une constante, disons k, pour obtenir des mètres. Soit :

t[seconde] * k = L [mètre]

Il suffit pour cela que k soit une grandeur divisant par des secondes et multipliant par des mètres : k [mètre/seconde]

Des m/s autrement dit : une vitesse. Un vitesse qui relie fondamentalement l'espace au temps de sorte qu'ils forment ensemble un bloc inséparable. La Traductrice, en quelque sorte. On la note c, on devrait l'appeler constante d'Einstein, ou constante d'espace-temps, quelque chose comme ça, mais usuellement on la désigne comme la vitesse de la lumière. Ce n'est certes pas faux, mais c est plus fondamental que ça, elle n'est pas liée en particulier à la lumière, c'est juste que tous les corps sans inertie, dont la lumière, se déplacent dans l'espace à cette vitesse.

Donc ma coordonnées temporelle s'écrira toujours ct (en mètre).

Une autre particularité tout à fait fondamentale de cette coordonnées temporelle est le changement de signe.



sachant que les deux formes de la métriques -+++ et +---, ce qu'on appelle une "signature", sont correctes. Usuellement on utilise la seconde et l'élément de distance est donc négatif ou nul, ce qui peut paraître curieux pour un carré mais c'est comme ça.

On peut aussi utiliser les coordonnées polaires et si on simplifie ça donne cette expression, encore plus simple :



où r désigne le vecteur distance spatiale. On voit ainsi bien clairement que la distance s parcourue dans l'espace temps est la composée d'un déplacement dans le temps, t et d'un déplacement dans l'espace, r.

Cette expression est un invariant : quel que soit le référentiel, si je mesure la distance entre deux événements de cette manière je trouverais la même valeur pour ds. A mon sens, c'est la seule chose à admettre dans la relativité restreinte, et il faut bien souligner ce point : ce qui précède ne se démontre pas. Pour quelle raison est-il valide d'utiliser dans la même équation une coordonnée temporelle rendue homogène à une coordonnée spatiale par le truchement d'une constante de vitesse ? C'est comme ça. Pour quelle raison est-ce un invariant ? C'est comme ça. Pour quelle raison faut il inverser le signe ? C'est comme ça. Le nœud de tout ça, c'est qu'on dispose d'un invariant ce qui lui donne un aspect fondamental et fondateur : tout le reste en découle.

Ainsi par exemple... Si je mesure dans mon propre référentiel mon déplacement spatio-temporel ds, j'ai par définition dr=0 (je ne me déplace pas dans l'espace par rapport à moi même). D'où : ds = cdt. Sans rien faire, nous nous déplaçons dans l'espace-temps selon la dimension temporelle (nous sommes constamment en déplacement vers le futur) à la vitesse c. Or on a vu que ds est un invariant. Donc TOUT déplacement dans l'espace temps sera mesuré à c. Cette constante de vitesse c n'est donc pas une vitesse limite, mais une vitesse unique. Tout est à c, le quadri-vecteur vitesse est de norme constante. Pour simplifier un peu : c'est comme si on était dans un voiture sans pédale d’accélération ni frein, avec un volant calé en buté ne permettant pas de faire demi tour, se déplaçant à vitesse constante sur un parking de dimension infinie qui offre deux axes pour se diriger : si on tire strictement tout droit, on se déplace uniquement selon le temps, si on tire à droite ou a gauche, on se déplace aussi dans l'espace. Comme la vitesse totale est constante si on se déplace dans l'espace, alors on va forcément moins vite sur l'axe du temps.

Et donc, quand je mesure cette fois ci le ds d'un corps en mouvement par rapport à moi, dr n'est pas nul. Or le c²dt² - dr² doit rester constant. Donc dt diminue par rapport à mon temps propre. La tic-tac que je mesure sur une horloge en mouvement est plus lent que celui que je mesure sur la montre à mon poignet.

Mais restons en au cas où ds = cdt. Qu'est ce que cela signifie ? Que la distance parcourue dans l'espace-temps, cet invariant fondamental, n'est rien d'autre que la coordonnée temporelle que tout un chacun mesure à la montre qu'il porte au poignet. Ça porte un nom : le temps propre, et ça se note usuellement τ (tau).

Ainsi, on peut toujours écrire :



L'invariant fondamental de la métrique n'est autre que le temps propre.

[Gilgamesh]

Avant de continuer sur ce qui advient de la métrique quand on rajoute un champ de gravité, un rappel sur la façon dont celle ci est établie en physique newtonienne.

Dans ce formalisme, une particule-test de masse m subit une force gravitationnelle F quand elle est située à la distance R d'une masse M telle que :



avec :
G la constante de gravitation
M la masse de l'astre attracteur (ex: la Terre)
m la masse de la particule-test
R la distance de la particule-test à M
u un vecteur unitaire dirigé de m au centre de M

Si la particule tombe, elle gagne de la vitesse et acquiert de l'énergie. On définit le potentiel de gravité Φ comme l'énergie dont dispose une unité de masse dans ce champ de gravité :



Et dans le formalisme newtonien, la force de gravité F est égale au gradient de ce potentiel. Le gradient, c'est la dérivée d'une quantité, mais au lieu que ce soit par rapport au temps, c'est pas rapport à l'espace. Par exemple si j'ai une température T la grandeur dT/dt me dit comment elle varie dans le temps (en °C par heure par exemple), et dT/dx me dit comment elle varie dans l'espace, sur l'axe x (en °C par km par exemple).




On continue sur la métrique. La relativité restreinte nous donne la métrique dans un référentiel inertiel c'est à dire que le point matériel dont on étudie le mouvement ne subit pas de force. La théorie de la relativité générale est basée sur un principe dit d'équivalence : Sous sa forme forte ce principe s'énonce ainsi : dans un champ de gravitation il est toujours possible, en tout point de l’espace, de choisir un référentiel (appelé référentiel inertiel) dans lequel les lois de la physique sont localement identiques à celles en l’absence de champ de gravitation.

Et si on se restreint à l’étude des particules-test en chute libre, on l'exprime sous forme faible : dans un champ de gravitation, les lois de la physique dans un référentiel inertiel sont localement décrites par la relativité restreinte. C'est à dire avec la métrique qui précède.

Tout le formalisme de la relativité générale va consister à sauter d'un référentiel à l'autre, tels des cavaliers du Pony Express : l'un par exemple est celui de l'observateur à l'infini (hors champ de gravité) et l'autre celui du corps en chute libre.

Pour faire ce changement de référentiel, on va multiplier chaque coordonnée par des coefficients ad hoc, et tout l'aspect calculatoire va revenir à ça : calculer la valeur de ces coefficients.

Le point important est que dans ce changement de référentiel, on peut s'autoriser des termes croisés. Qu'est ce que cela signifie ?

En toute généralité, on pourrait écrire l'intervalle d'espace-temps de la façon suivante :



avec des coefficients a, b, c, ..., j idoines. Soit 10 coefficients à trouver, en toute généralité pour écrire la métrique.

Comme c'est un poil fastidieux (j'ai lutté pour ne pas me noyer dans les symboles en l'écrivant), on représentent ces symboles sous la forme d'une matrice. Mais mathématiquement, c'est bien plus qu'une matrice : un tenseur. Un tenseur c'est un objet qui existe dans un espace vectoriel et dont la valeur est invariante par changement du système de coordonnées, ce qui en fait un objet de choix pour la Physique. Un genre de tenseur que tu dois connaitre, c'est par exemple le vecteur. C'est un tenseur d'ordre 1 (une seule colonne). Les coordonnées dans l'espace-temps se représentent par un tenseur d'ordre 1 mais à 4 coordonnées (un quadrivecteur, avec ct, x, y, z, et sans oublier le changement de signe). Et en relativité générale, on a besoin d'une tenseur d'ordre 2 symétrique, c'est-à-dire 4 lignes x 4 colonnes. Ceci car les coordonnées peuvent se croiser. Et symétrique, c'est à dire que le coefficient associé à dx.dy est le même que celui associé à dy.dx. Ce qui se visualise dans l'équation ci-dessus par le fait qu'on ne représente qu'une fois ces coordonnées croisées (on a dx.dy mais pas dy.dx) .

Nos coefficients s'écriraient ainsi, avec les lignes et colonnes dans le même ordre ct, x, y, z:



On voit que la matrice est symétrique selon la diagonale, représenté par les coefficients a, b, c, d. Bon et c'est sûrement la première et la dernière fois que tu verras la matrice des potentiels de la métrique g_μν écrite de la sorte. Dans le cas usuel, on numérote les coordonnées, μ (mu) = 0, 1, 2, 3 et pareil pour ν (nu) = 0, 1, 2, 3. On aura g₀₀ = a, le coef associé à la composant (cdt)², g₁₁ = b, le coef associé à la composant dx², g₁₂ = h, le coef associé à la composant dx.dy, etc.



Et comme g_μν est symétrique, il reste :



Soit donc, 10 coefficients pour le tenseur métrique, les potentiels de la métrique. C'est l'inconnue de l'équation d'Einstein.

Celle-ci s'écrit :



où :
* est le tenseur de Ricci ;
* est la courbure scalaire ;
* est le tenseur énergie-impulsion ;
* est le tenseur métrique de signature (+,-,-,-) ;
* est la constante d'Einstein

La partie gauche représente la géométrie de l'espace temps (sa courbure) et la partie droite, avec T_μν, le tenseur énergie-impulsion, représente le contenu en énergie et en quantité de mouvement de l'espace-temps.

Tenseur, tenseur everywhere. Chaque symbole à deux indices μν est un tenseur d'ordre deux. Ce qui fait trois tenseurs : le tenseur de Ricci, le tenseur métrique et le tenseur énergie-impulsion. Mais même R, la courbure scalaire est un tenseur, d'ordre zéro. Un scalaire en Physique c'est un simple nombre, mais qui possède cette caractéristique essentielle d'être indépendant du choix du référentiel. Ici, R est un nombre réel qui caractérise la courbure intrinsèque de la variété (l'espace-temps) en ce point. R s'obtient pas "contraction des indices" (on somme d'une certaine façon les coefficients du tenseur de Ricci).

Tout ça ce rend l'équation d'Einstein bien complexe à comprendre mais l'utilisation de tenseurs est la condition sine qua non pour garantir que la relation est valable dans tous les cas : pour le gars en chute libre dans un champ de gravité et pour l'observateur ne subissant aucune force situé au loin hors de tout champs de gravité (situation largement fictive dans l'univers, notons-le), ou subissant une force dirigée vers le haut à la surface de la Terre.

Plus embêtant, ça rend l'équation d'Einstein difficile à résoudre. Impossible à résoudre en toute généralité, même. Pourquoi ? On pourrait se dire : bon, mathématiquement c'est plein de matrices mais pas grave, je vais faire comme avec une équation avec des réels je passe R_νμ de l'autre côté, j'isole g_μν et c'est bon. Le problème, c'est que le tenseur de Ricci est plein de g_μν. Chaque coef de R_μνen est farci. Ce que ça signifie en profondeur, c'est que "la gravité gravite" : le fait que l'espace soit courbé a une influence sur la courbure elle même...

Arrivé là on se dit que c'est une tanné et qu'on y arrivera jamais. Sauf que bon : on y arrive super facilement avec Newton. Il doit forcément exister une forme simplifiée, au premier ordre, permettant de trouver g_μν. Et on va adopter le principe d'équivalence faible, dans la limite newtonienne, c’est-à-dire pour des vitesses faibles, pour des champs gravitationnels faibles et dans une situation stationnaire (c'est à dire que le champs ne change pas au court du temps).

Pour commencer : quel est le g_μν quand le champ gravitationnel est strictement nul ? C'est celui qui correspond à l'équation de Lorentz, avec sa signature (disons +--- pour être raccord avec ce qui précède) il ne comporte que des termes diagonaux (il n'y a que des (cdt)², dx², dy² et dz²). On le note η_νμ :



(Je ne note pas les zéros qui font moche).

Si on rajoute un champs de gravité faible, on va dire que le g_μν est égale à ce η_μν, plus une perturbation notée h_μν

g_νμ = η_νμ + h_νμ avec h_νμ<<η_νμ

Ensuite, il y a quelque calculs à faire (voir le support de cours ci-après)... Et on aboutit à ce que tous les termes de h_μν sont nuls, sauf h₀₀. Et pour raccorder la relativité générale à la gravité newtonienne, il faut le relier h₀₀ au potentiel de gravité Φ qu'on a vu plus haut de telle sorte que :



D'où l'expression finale du g_νμ dans la limite newtonienne :



Autrement dit, le seul écart (faible, car c² est numériquement très grand par rapport à Φ) à la platitude porte sur la coefficient temporel, et comme signalé en intro, les composantes spatiales restent euclidiennes, au premier ordre.

Tu vois que ça nécessite une abstraction bien plus poussée que le représentation du drap élastique. Mais au moins, c'est correct.

Si tu veux en savoir plus, il existe un excellent podcast de Richard Taillet de l'université de Savoie :
Cours d’introduction à la relativité générale

avec un même un support de cours téléchargeable ici en pdf : Notes de cours.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

je ne comprends toujours pas ce qui fait qu'un corps accélère quand il approche d'un autre corps vers celui-ci.

En complément aux autres réponses, et sous un autre angle.

Une première manière de comprendre (et elle n'est pas mauvaise!) est celle évidente: les corps s'attirent. C'est la manière d'expliquer classique, mais elle reste valable.

En classique, on fait apparaître le «champ gravitationnel». Si on voit ce champ comme un «objet», alors on peut décomposer la chaîne causale. Dire qu'un objet A en attire un autre B est «augmenté» en faisant intervenir un intermédiaire: l'objet A modifie le champ, et le champ affecte la trajectoire de B.

On a la même chose avec l'électrodynamique, l'intermédiaire étant le champ électromagnétique.

Ce qui est nouveau avec la RG est la nature du champ. Déjà, en classique, il n'est pas du tout clair que le champ gravitationnel soit un «objet physique», on peut défendre l'idée que c'est un artefact mathématique, un truc qu'on introduit pour simplifier les formules.

La première «révolution» de la RG, basé sur le principe d'équivalence (ou la simple proportionnalité entre masse inerte et masse grave), est que le champ est de nature géométrique ; ce n'est pas un «champ de force», mais quelque chose de «géométrique». (En fait, c'est déjà possible de le voir ainsi en classique, mais faute des bonnes connaissances en géométrie, cela n'a pas été vu ; et quand bien même cela n'amène pas grand chose.)

La deuxième idée a été «simplement» de trouver une présentation du champ en termes géométriques ; et c'est le «champ de courbure spatio-temporelle» (ou un dérivé de (1)). La relativité restreinte avait fait comprendre qu'on ne peut pas parler de la géométrie de l'espace seule. Le champ n'est pas précisément «géométrique», mais «chrono-géométrique»: faut le voir en géométrie à quatre dimensions, en incluant le temps.

Pour résumer: l'attraction entre deux objets est médiatisée par un champ, le premier affecte le champ, et le champ affecte les mouvements du second, et la combinaison est une attraction dans le cas d'objets massifs ; le champ est présenté comme «chrono-géométrique», grâce au principe d'équivalence ; et la recherche mathématique du machin chrono-géométrique qui rend compte des observations est le champ de courbure 4D (ou un dérivé de).

(Cela donne la trame générale, les messages de Gilgamesh vont plus dans le détail.)

(1) Il y d'autres manières, revenant en gros au même, de présenter un champ intermédiaire, le choix étant débattable. Ce que cherche à illustrer (plutôt mal que bien) la toile tendue est un champ de courbure, ce pourquoi je le choisis ici, alors que ce n'est pas mon choix favori.

[mach3]

@Gilgamesh : j'ai pas fini de tout lire, mais pour améliorer la qualité de ce texte dans le futur, j'ai pour l'instant une critique, sur ce passage là :

D'où : ds = cdt. Sans rien faire, nous nous déplaçons dans l'espace-temps selon la dimension temporelle (nous sommes constamment en déplacement vers le futur) à la vitesse c. Or on a vu que ds est un invariant. Donc TOUT déplacement dans l'espace temps sera mesuré à c. Cette constante de vitesse c n'est donc pas une vitesse limite, mais une vitesse unique. Tout est à c, le quadri-vecteur vitesse est de norme constante.

on voit ça de temps en temps dans la vulgarisation en effet. Mais c'est "misleading".
-ds/dt n'est pas une vitesse.
-la norme du 4-vecteur vitesse n'est pas une vitesse (on peut extraire de ce 4-vecteur la vitesse par rapport à une référence via une relation avec le 4-vecteur vitesse de la référence)
-la 4-vitesse d'un photon possède une norme nulle alors que celles des particules massives ont pour norme la vitesse limite. C'est plutôt confusant si on croit que cette norme est une vitesse et qu'on nous a dit que la vitesse de la lumière est la vitesse limite (et pas 0) et celles des particules massives strictement inférieure à la vitesse limite (et non égale).

m@ch3

[Amanuensis]

Texte et critiques déjà vus, il me semble. Si pas d'effet une première fois, une deuxième est-elle utile?

Ou peut-être la vulgarisation est «démocratique»: chaque parti présente son programme, et les vulgarisés choisissent ce qui leur plaît le plus.

[Oroche]

(1) Il y d'autres manières, revenant en gros au même, de présenter un champ intermédiaire, le choix étant débattable. Ce que cherche à illustrer (plutôt mal que bien) la toile tendue est un champ de courbure, ce pourquoi je le choisis ici, alors que ce n'est pas mon choix favori.

Quelles sont ces autres manières de présenter le champ ?

[Amanuensis]

Quelles sont ces autres manières de présenter le champ ?

Champ de métrique. Connexion. Christoffels (pareil que connexion, mais présenté en coordonnées). Non exhaustif (Penrose défend il me semble la structure des cônes de lumière (doit y avoir moyen de le présenter comme un champ, ou un fibré.)

Il y a des parallèles avec champ électro-magnétique vs. potentiel vecteur.

[Oroche]

Champ de métrique. Connexion. Christoffels (pareil que connexion, mais présenté en coordonnées). Non exhaustif (Penrose défend il me semble la structure des cônes de lumière (doit y avoir moyen de le présenter comme un champ, ou un fibré.)

Il y a des parallèles avec champ électro-magnétique vs. potentiel vecteur.

Merci, je vais essayer de me documenter sur ces sujets.
En vulgarisation je suis toujours tombé sur le concept de coubure spatio-temporelle et la fameuse analogie de la toile tant décriée (mais que perso je ne trouve pas si mauvaise pour peu que l'auteur prenne la peine d'en évoquer les limites).

[ansset]

Elle a été faite dans l'esprit de "un bon dessin vaut mieux qu'un long discours", qui est bien ancré dans les têtes.
Et qu'une très large majorité de personnes intéressées réclame à corps et à cri.
On a souhaité leur faire plaisir. ( réponse à une demande ).
Parmi les "défauts" de cette représentation, une des plus flagrante et pourtant simple à corriger est cette description qui semble limitée dans l'espace ( comme une "cuvette" locale ) alors que c'est nier que le phénomène gravitationnel s'étend à l'infini.

Bien évidemment, sur le fond, il y a pire que ma remarque ( et beaucoup ici pourraient les expliciter ) , mais celle que je mentionne bêtement ici me semble assez simple à corriger, à défaut du fond.

[Gilgamesh]

@Gilgamesh : j'ai pas fini de tout lire, mais pour améliorer la qualité de ce texte dans le futur, j'ai pour l'instant une critique, sur ce passage là :



on voit ça de temps en temps dans la vulgarisation en effet. Mais c'est "misleading".
-ds/dt n'est pas une vitesse.
-la norme du 4-vecteur vitesse n'est pas une vitesse (on peut extraire de ce 4-vecteur la vitesse par rapport à une référence via une relation avec le 4-vecteur vitesse de la référence)
-la 4-vitesse d'un photon possède une norme nulle alors que celles des particules massives ont pour norme la vitesse limite. C'est plutôt confusant si on croit que cette norme est une vitesse et qu'on nous a dit que la vitesse de la lumière est la vitesse limite (et pas 0) et celles des particules massives strictement inférieure à la vitesse limite (et non égale).

m@ch3

Je suis conscient de cette imperfection, et disposé à l'améliorer. (Si, si, Amanuensis). Je te laisse la main, pour voir. Comment est ce que tu retravaillerais ce paragraphe pour lui donner une tournure qui reste intuitive (quitte à faire dix lignes) sans sacrifier exagérément de rigueur formelle ?

[Amanuensis]

Je suis conscient de cette imperfection, et disposé à l'améliorer. (Si, si, Amanuensis).

Ma remarque un peu acerbe vient de ce que j'avais fait exactement la même remarque il y a environ deux mois (ainsi que Mailou sous une autre forme). Alors parler d'amélioration... Mais je peux comprendre qu'on ne prenne pas en compte les remarques selon d'où elles viennent.

[Amanuensis]

Merci, je vais essayer de me documenter sur ces sujets.

Cela avait été abordé il y a bien longtemps dans des discussions où intervenait Rincevent. On pourrait ouvrir de nouveau une discussion là-dessus, les anciennes discussions l'étant trop.

[mach3]

Je suis conscient de cette imperfection, et disposé à l'améliorer. (Si, si, Amanuensis). Je te laisse la main, pour voir. Comment est ce que tu retravaillerais ce paragraphe pour lui donner une tournure qui reste intuitive (quitte à faire dix lignes) sans sacrifier exagérément de rigueur formelle ?

je recite le bout de paragraphe:

D'où : ds = cdt. Sans rien faire, nous nous déplaçons dans l'espace-temps selon la dimension temporelle (nous sommes constamment en déplacement vers le futur) à la vitesse c. Or on a vu que ds est un invariant. Donc TOUT déplacement dans l'espace temps sera mesuré à c. Cette constante de vitesse c n'est donc pas une vitesse limite, mais une vitesse unique. Tout est à c, le quadri-vecteur vitesse est de norme constante.

Ce bout de paragraphe ne me semble rien apporter du tout en fait, mis-à-part des choses fausses ou ne pouvant qu'être mal comprises (la seule affirmation à peu près correcte, mais qui mérite discussion sous cette forme est "ds est un invariant", au passage, autre point de détail, on peut s'abstenir d'utiliser la différentielle ds, surtout que les exemples euclidiens qui précèdent ne sont pas avec la différentielle.). On ne peut pas parler de vitesse pour un déplacement dans le temps, ça n'a aucun sens (d'ailleurs "déplacement dans le temps" c'est même un peu limite). C'est un détournement du mot vitesse, qui permet ensuite de dire des absurdités, comme "il s'agit d'une vitesse unique". A mon sens il faut simplement supprimer et ne rien mettre à la place.

Cela nécessite de retravailler la suite qui se base sur le bout de paragraphe discuté (avec l'histoire de plus on se déplace dans l'espace moins on se déplace dans le temps, qui est une horeur...). Une idée pour présenter les choses (seulement une idée, ce sera à rédiger correctement) est de considérer un premier observateur, immobile dans le système de coordonnées (de Lorentz) ct,x,y,z et l'intervalle entre deux évènements A et B de sa ligne d'univers : (avec ). Comme il est immobile, le delta r est nul et l'intervalle est donc, au facteur c près, la différence de coordonnée temporelle entre A et B : . Par construction des coordonnées de Lorentz, il s'agit de la durée mesurée par notre observateur entre l'évènement A et B (à un facteur c près). Mettons que la durée soit de 1 seconde, l'intervalle entre A et B sera de 300000km.
On considère un 2e observateur, en mouvement rectiligne uniforme par rapport au premier, et l'intervalle entre deux évènements C et D de sa ligne d'univers. Le delta r et le delta t sont liés par leur rapport, qui est la vitesse du 2e observateur dans le système de coordonnées considéré : . La durée entre C et D est, pour le 2e observateur (intervalle divisé par c), inférieur à la différence de coordonnées temporelle entre C et D.

Et encore, c'est trop axé "coordonnée" à mon gout. Faire de la géométrie sans coordonnées sur un exemple type jumeau de Langevin peut être plus éclairant (c'est une simple inégalité triangulaire et on escamote le paradoxe).

En parlant de géométrie, concernant l'invariance de l'intervalle, l'analogie avec la longueur (que ce soit d'un segment ou d'une courbe) en euclidien me parait d'une bonne clarté : on comprend bien que quelque soit le système de coordonnées qu'on choisi pour le plan ou l'espace euclidien, la longueur le change pas, que c'est un invariant (à moins de déformer "physiquement" le plan). L'idée essentielle à faire passer est :
intervalle le long d'un morceau de ligne d'univers (quelconque, droite ou courbe) = analogue de la longueur d'un morceau de ligne de l'espace euclidien = la durée que mesure une horloge (au facteur c près) le long de ce morceau.

m@ch3

[Amanuensis]

J'avais commencé à écrire un texte ce matin tôt, que j'ai abandonné, pour une réponse constructive. On y retrouvait quelques points en commun (comme, détail, éviter «déplacement dans le temps», je proposais «décalage dans le temps»).

Mais ce que je soulignais est que le problème est en amont de la partie critiquée du texte.

Il est dans la spatialisation du temps, et dans l'arnaque logique consistant à comparer une forme lorentzienne avec une vraie métrique, comme la métrique euclidienne (i.e., définie positive). L'abus de vocabulaire en physique consistant à parler de métrique pour une signature +--- me fait continuellement tiquer, et est malheureusement difficile à éviter. Or ne pas avoir conscience de l'abus, confondre métrique et forme lorentzienne, prendre ds² comme le carré d'une distance, et, pire, penser ds pour une distance (ds est l'écriture de la différentielle d'un scalaire en maths, alors qu'il n'y a aucun scalaire s dans l'usage en physique), tout cela amène confusion.

Et tout cela vient de l'a priori comme quoi spatialiser le temps, présenter la forme comme une métrique (une vraie), serait suffisamment plus «pédagogique» (serait un approche «intuitive sans sacrifier exagérément de rigueur formelle»). Perso je n'y crois pas, je pense que le sacrifice de rigueur intrinsèque à la spatialisation du temps est d'entrée exagéré. Et le reste en découle.

[ansset]

Ma remarque un peu acerbe vient de ce que j'avais fait exactement la même remarque il y a environ deux mois (ainsi que Mailou sous une autre forme). Alors parler d'amélioration... Mais je peux comprendre qu'on ne prenne pas en compte les remarques selon d'où elles viennent.

bonjour, en même temps "deux mois" dans le timing du forum est en fait un temps assez long.
donc, ce n'est pas forcement de l'ordre d'une "non prise en compte".
d'autant que le sujet "global" doit réunir à lui-seul une quantité très importante de fils.
que le moteur de recherche est "perfectible".
que certains intervenants ( surtout les plus récents ) ignorent qu'une réponse a déjà été donné qcq part sur un autre fil.

[mach3]

Il est dans la spatialisation du temps, et dans l'arnaque logique consistant à comparer une forme lorentzienne avec une vraie métrique, comme la métrique euclidienne (i.e., définie positive).

Je ne saisis pas bien le point. En quoi est-ce une arnaque logique? quelles sont les conséquences pour la compréhension? (je demande ça parce que je dois être dedans...)

Et tout cela vient de l'a priori comme quoi spatialiser le temps, présenter la forme comme une métrique (une vraie), serait suffisamment plus «pédagogique» (serait un approche «intuitive sans sacrifier exagérément de rigueur formelle»). Perso je n'y crois pas, je pense que le sacrifice de rigueur intrinsèque à la spatialisation du temps est d'entrée exagéré. Et le reste en découle.

Toujours pas bien saisi le point comme quoi la spatialisation du temps est exagérée. Néanmoins que faire alors?

m@ch3

[Amanuensis]

L'arnaque dont je parle est développée ensuite: entretenir la confusion entre une métrique (définie en maths comme définie positive dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique, donc de signature +++ ou ++++ etc.) et une forme bilinéaire symétrique lorentzienne. Une vraie métrique a des propriétés importantes, comme g(u,u) = 0 <=> u=0, ce qui permet de parler de distance en mathématique, etc. Et en particulier permet de définir une topologie avec les boules définies par la distance, ce qui n'est pas possible (ou du moins amène à des topologies exotiques) si on n'a pas cette propriété.

La notion (critiquée) de «vitesse» dans l'espace-temps est directement liée à cette «spatialisation du temps» expression qui sous ma plume couvre les deux points bien visibles dans le texte de Gilgamesh, à savoir passage de t à cdt, et parallèle (vicieux) entre métrique euclidienne et «métrique» lorentzienne. Et en corollaire une prétendue symétrisation «parfaite» entre temps et espace.

Ce que je ne comprends pas est la difficulté qu'il y aurait à voir la relation entre cette «spatialisation» et les notions critiquées par ailleurs de «déplacement dans le temps», et de «vitesse» (et norme de vitesse) présentée comme la variation d'un quadrivecteur en fonction du temps.

[Notons au passage le côté curieux de parler d'une variation de quadrivecteur en fonction d'un temps, qui fait intervenir le temps deux fois, et rompt totalement la symétrie recherchée entre temps et espace.]

[increa]

bonjour amanuensis :
ma question ourquoi ne pas faire de la relativité avec s^2=x^2+y^2+z^2+(ct)^2 ?
ds/ dt serait une vraie vitesse alors ! qu'il suffirait de normaliser ensuite en la divisant par c*1,414

[increa]

erreur la partie spatiale ne pouvant dépasser c

[Amanuensis]

ma question ourquoi ne pas faire de la relativité avec s^2=x^2+y^2+z^2+(ct)^2 ?
ds/ dt serait une vraie vitesse alors ! qu'il suffirait de normaliser ensuite en la divisant par c*1,414

Je n'ai pas trop d'idée ce que cela donnerait. Peut-être intéressant à étudier.

Mais de toutes manières, cela ne pourra être un modèle correct de l'espace-temps tel qu'observé. Ni même en fournir une approximation meilleure que l'espace-temps classique (qui n'a pas de «métrique 4D», seulement une métrique 1D, dt², et des métriques (pluriel!) 3D, de forme dx²+dy²+dz².

Et la limite de la vitesse spatiale à c ne correspondrait à rien de particulier aux formules. (Alors qu'en RR la limite de vitesse spatiale, et sa valeur, est étroitement liée au fait que c²dt²-dx²-dy²-dz² peut s'annuler.)

La non applicabilité à ce qui est observé suffit (du moins à mon sens) pour ne pas s'y intéresser en physique.

[mach3]

L'arnaque dont je parle est développée ensuite: entretenir la confusion entre une métrique (définie en maths comme définie positive dans le cas d'une forme bilinéaire symétrique, donc de signature +++ ou ++++ etc.) et une forme bilinéaire symétrique lorentzienne. Une vraie métrique a des propriétés importantes, comme g(u,u) = 0 <=> u=0, ce qui permet de parler de distance en mathématique, etc. Et en particulier permet de définir une topologie avec les boules définies par la distance, ce qui n'est pas possible (ou du moins amène à des topologies exotiques) si on n'a pas cette propriété.

Ok, bon, pour ma part, je sais faire la différence. Après, vu l'usage extrêmement répandu dans la littérature du mot métrique pour désigner une forme bilinéaire symétrique lorentzienne, chacun entretien la confusion, souvent à son insu, pas évident.

La notion (critiquée) de «vitesse» dans l'espace-temps est directement liée à cette «spatialisation du temps» expression qui sous ma plume couvre les deux points bien visibles dans le texte de Gilgamesh, à savoir passage de t à cdt, et parallèle (vicieux) entre métrique euclidienne et «métrique» lorentzienne. Et en corollaire une prétendue symétrisation «parfaite» entre temps et espace.

Ce que je ne comprends pas est la difficulté qu'il y aurait à voir la relation entre cette «spatialisation» et les notions critiquées par ailleurs de «déplacement dans le temps», et de «vitesse» (et norme de vitesse) présentée comme la variation d'un quadrivecteur en fonction du temps.

Pour moi, tant que c'est accompagné d'un topo sur les genres espace, nuls et temps, le parallèle entre métrique euclidienne et forme bilinéaire symétrique lorentzienne ne me choque pas. C'est une particularité de la "métrique" lorentzienne par rapport à la métrique euclidienne, quelque chose de "nouveau". Ca n'empêche pas d'utiliser les points communs qu'il reste entre les deux pour faire des analogies, comme comparer des longueurs de morceaux de courbes avec des durées propres de morceaux de lignes d'univers (tout en soulignant que la particularité de la "métrique" de Minkowski fait que la ligne droite est le chemin le plus "long", contrairement à ce qui se passe en euclidien).

J'ai pour ma part vraiment du mal à voir le lien qu'il y a entre cela et les histoires de déplacement dans le temps ou du détournement du mot vitesse. On passe d'une analogie entre deux objets mathématiques qui possèdent certains points communs et l'on se sert de l'un qui est bien connu pour introduire à l'autre (avec les précautions qui vont bien) à une invention de concepts absurdes comme des vitesses de déplacement dans le temps ou à une confusion entre vitesse et norme de la 4-vitesse. Je ne saisis pas le passage de l'un à l'autre, comment on en arrive là?

m@ch3

[mach3]

bonjour amanuensis :
ma question ourquoi ne pas faire de la relativité avec s^2=x^2+y^2+z^2+(ct)^2 ?
ds/ dt serait une vraie vitesse alors ! qu'il suffirait de normaliser ensuite en la divisant par c*1,414

A une époque, on a essayé d'utilisé ict (le i étant l'unité imaginaire) au lieu de ct pour avoir une métrique de la même forme que l'euclidienne. Mais ça n'apporte pas grand-chose et c'est même génant pour aller plus loin (en RG par exemple). Et tant qu'à faire des bricolages comme ça, autant s'orienter vers les algèbres de Clifford, comme le "space-time algebra" ou le "physical space algebra".

m@ch3

[Amanuensis]

Juste un point de détail (mais qui a sa place dans le tableau...)

(tout en soulignant que la particularité de la "métrique" de Minkowski fait que la ligne droite est le chemin le plus "long", contrairement à ce qui se passe en euclidien).

Ben non... Des fois c'est le plus long, des fois c'est le plus court, et des fois ce sont des extréma ni plus longs ni plus courts (équivalents de points selle)...

(Pour moi cela illustre comme le reste les fausses pistes amenées par l'assimilation entre une vraie métrique et un machin non défini positif...)

[mach3]

Oui, je n'ai pas précisé, mais c'est en espace-temps plat (et simplement connexe, enfin pas un tore ou autre) seulement que la ligne droite entre deux événements séparé par un intervalle de genre temps est le chemin le plus long.

m@ch3

[azizovsky]

ma question ourquoi ne pas faire de la relativité avec s^2=x^2+y^2+z^2+(ct)^2 ?
ds/ dt serait une vraie vitesse alors ! qu'il suffirait de normaliser ensuite en la divisant par c*1,414

il y'a plus de 2 décennie que je l'utilise avec le facteur
et ils ont des sens physique concret comme : , ...

[Mailou75]

Oui, je n'ai pas précisé, mais c'est en espace-temps plat (et simplement connexe, enfin pas un tore ou autre) seulement que la ligne droite entre deux événements séparé par un intervalle de genre temps est le chemin le plus long.

Oui, c’est l’inverse qui ne se verifie pas : le plus long n’est pas forcement le plus court (en temps propre)

[Amanuensis]

entre deux événements séparé par un intervalle de genre temps

Cette précision manquait. Ce n'est pas le cas pour les autres genres d'intervalle. C'est le chemin le plus court pour le genre espace, par exemple.

C'est bien la signature qui fait qu'il y a des comportements différents, qu'on ne peut pas raisonner comme avec une vraie métrique.

[invite54165721]

il y'a plus de 2 décennie que je l'utilise avec le facteur
et ils ont des sens physique concret comme : , ...

si on reste dans le cadre d'une métrique de signature (+ + + +) que signifie le nombre c qui y intervient. quel est le sens physique de ton gamma + dans ce cadre?