Masse d'un trou noir

[mach3]

On voit qu'un bête changement de variable permet de prolonger spatialement (mais pas temporellement)* au delà de rs. On pourrait en trouver une infinité d'autres. Il y a aussi un paquet d'autres bêtes changements de variables, qui eux permettent un prolongement temporel au delà de rs (soit vers le passé, soit vers le futur), Gullstrand-Painlevé, Lemaitre, Eddington-Finkelstein... Et cela sans parler de ceux qui prolongent spatialement et temporellement (Kruskal, et aussi Novikov il me semble).

La question qui se pose (et qui a un rapport avec le (1) du message précédent), c'est quels arguments permettraient de justifier qu'on accepte le prolongement spatial (alors qu'il n'a que peu d'intérêt puisque rien ne peut y aller ou en venir) mais qu'on refuse les prolongements temporels. Un blocage sur "t" (comme déjà relevé avant-hier) ?

* : au sens que les lignes qui passent par le prolongement sont exclusivement de genre espace, ce ne sont pas des lignes d'univers

m@ch3
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[pascelus]

La question qui se pose (et qui a un rapport avec le (1) du message précédent), c'est quels arguments permettraient de justifier qu'on accepte le prolongement spatial (alors qu'il n'a que peu d'intérêt puisque rien ne peut y aller ou en venir) mais qu'on refuse les prolongements temporels. Un blocage sur "t" (comme déjà relevé avant-hier) ?
m@ch3

N'est ce pas ce que constaterait un observateur situé dans "le prolongement spatial"? Pas de causalité mais des lignes spatiales qui "remonteraient" au délà du..... "big bang" ?

[mach3]

Non. Et le big-bang est hors-sujet.

m@ch3

[bernarddo]

A ce stade de la discussion, il me semble nécessaire d'introduire (dans un document académique) une vision topologique plus pointue à même faire réfléchir sur la séparation entre ce qui est intrinsèque à un espace et ce qui est lié aux systèmes de coordonnées utilisés.
Il me semble qu'il est directement en connecté aux derniers posts.

http://www.*********.org/papers/cosm...dPhysLettA.pdf

[Amanuensis]

Dans la catégorie «vous avez mal lu le wiki, je vais vous expliquer»? Un peu lassant.

Par ailleurs le lien est mauvais. Et du JPP, c'est pas trop à la mode ici...

[pascelus]

Non.

Cette réponse expéditive manque d'explications...

Et le big-bang est hors-sujet.

Pas plus que ce débat de maths et de métrique pour un sujet qui concerne la masse d'un trou noir!

[mach3]

Cette réponse expéditive manque d'explications...

désolé, on n'a pas toujours le temps, surtout quand la question laisse profiler une assez forte incompréhension qui demandera sûrement une longue explication. En attendant, précisez votre idée, car ce n'est pas clair.

Pas plus que ce débat de maths et de métrique pour un sujet qui concerne la masse d'un trou noir!

le cadre de la discussion est la géométrie de Schwarzschild. On est en plein dedans. Et le big bang n'a rien à voir du tout avec la géométrie de Schwarzschild.

m@ch3

[pascelus]

désolé, on n'a pas toujours le temps, surtout quand la question laisse profiler une assez forte incompréhension qui demandera sûrement une longue explication. En attendant, précisez votre idée, car ce n'est pas clair.

le cadre de la discussion est la géométrie de Schwarzschild. On est en plein dedans. Et le big bang n'a rien à voir du tout avec la géométrie de Schwarzschild.
m@ch3

Ok. Je pensais que lorsque vos évoquiez le prolongement spatial au dela de rs mais pas celui de t, il était possible d'y voir une quelconque analogie physique concrète. Mais je n'avais pas réalisé que vous parliez uniquement dans le cadre Schwarzschild, qui est de toute façon très probablement inexistant dans l'univers.

Je ne veux pas faire diverger ce fil, donc poserai peut etre ma question ailleurs, quand je l'aurai mieux cernée.

Merci et désolé...

[bernarddo]

On voit qu'un bête changement de variable permet de prolonger spatialement (mais pas temporellement)* au delà de rs. On pourrait en trouver une infinité d'autres. Il y a aussi un paquet d'autres bêtes changements de variables, qui eux permettent un prolongement temporel au delà de rs (soit vers le passé, soit vers le futur), Gullstrand-Painlevé, Lemaitre, Eddington-Finkelstein... Et cela sans parler de ceux qui prolongent spatialement et temporellement (Kruskal, et aussi Novikov il me semble).
m@ch3

Il se trouve que le document cité au #124, qui ne plaît guère ici, liste les trois premiers de ces "bêtes" changements de variables.

Que ceux-là et d'autres existent, montre simplement qu'aucun ne donne une base suffisante pour avancer dans l'explication du sort réservé aux étoiles à neutron et qu'il n'y a donc pas vraiment de raison de se concentrer sur celui de Kruskal come semble le faire la communauté scientifique.

Le document en donne un, encore plus élémentaire, tout récent, à la portée de tout le monde, en montrant que, au passage de R = Rs, l'espace devient inorientable ce qui correspond à une inversion de la flèche du temps, (symétrie T) et à une symétrie P (énantiomorphie), soit deux composantes de la symétrie CPT réputée conserver les lois de la physique.

Si l'on rajoute ce qu'apporte à cette vision de l'espace, les travaux mathématiques de JM Souriau, qui a montré que l'inversion temporelle inverse le signe de l'énergie (et de la masse), il serait dommage que les nouveautés apportées par ce nouveau changement de variable échappent aux forumeurs de Futura.

D'où ce court digest

[Amanuensis]

À quand la fin de ce fil avec ces insultes et cette condescendance?

[mach3]

J'ai un peu regardé ce papier.

Mr Petit et D'agostini commencent par critiquer la métrique de Schwarzschild (écrite avec un petit r, celle que l'on trouve sur wikipédia par exemple, et qui est la même que celle que Schwarzschild écrit avec un grand R dans son article) : il y a un problème en r=Rs, qui est une singularité de coordonnées, et dont l'élimination se fait par des changements de coordonnées variés (ils donnent en exemple eddington-finkelstein, gullstrand-painlevé et les coordonnées isotropiques), et il y a un problème en r=0, qui est considéré comme une "vraie singularité, un point de l'espace où les géodésiques finissent". Ils disent que le but de leur article est de montrer que cette "singularité centrale" est due à "un mauvais choix de topologie locale".

Ils donnent ainsi divers exemples, citons-en un, la métrique :

(au passage, coquille, le carré sur le dphi est oublié dans le papier, on voit que ça a été relu sérieusement, et par les auteurs ET par les reviewers... je dis ça je dis rien)

est de signature (+,+) pour |r|<rs et (-,+) pour |r|>rs, mais si on pose , la métrique s'écrit :



qui est la métrique d'une sphère.

Commentons rapidement : La métrique proposée est définie sur trois domaines disjoints, r<-rs, -rs<r<rs et r>rs. Le changement de variable proposé n'est compatible qu'avec le 2e domaine, car la fonction sinus de base va de -1 à +1 (on pourrait néanmoins considérer l'usage de la fonction sinus étendue aux imaginaires, le sinus d'un imaginaire n'étant autre que le sinus hyperbolique d'un réel).

Prenons les choses dans l'autre sens, on a une sphère, avec la métrique exprimée dans les coordonnées theta,phi et on veut la représenter avec des coordonnées r, phi avec r la distance verticale d'un point de la sphère au plan équatorial (il me semble que ça donne une projection de Gall-Peters https://en.wikipedia.org/wiki/Gall%E...ers_projection ), la métrique devient alors celle donnée en exemple, r étant alors compris entre -rs et +rs (il n'y a pas de point de la sphère donnant un r supérieur à rs en valeur absolue). A noter au passage que dans les deux systèmes de coordonnées theta,phi ou r,phi, on a une singularité de coordonnée à chaque pôle.

La métrique proposée décrit en fait 2 (voire 3) variétés différentes. Si -rs<r<rs, elle décrit une variété Riemannienne correspondant à la sphère S2. Si |r|>rs elle décrit une (ou peut-être deux) variété pseudo-Riemannienne (un espace-temps 1+1). Il n'y a aucun lien entre les deux si ce n'est qu'un certain choix de coordonnées donne la même écriture pour leur métrique. En particulier, il n'y a aucune géodésique incomplète (extensible) dans la sphère et il n'y a pas à chercher à prolonger au-dela de |r|=rs (je ne me prononce pas définitivement pour la variété pseudo-riemannienne qu'il faudrait étudier mais ça doit être pareil pour elle), ce serait comme vouloir aller au nord du pôle nord.

Ils continuent en considérant la métrique de Schwarzschild, en coordonnées de Schwarzschild, mais à t constant et theta=pi/2 :



qui est de signature (+,+) pour r>rs et (-,+) pour r<rs.

Ils posent , fonction paire, dont le minimum est rs. Un peu comme le changement de variable sur l'exemple de la sphère empêchait r de sortir de l'intervalle [-rs,rs] ce changement de variable empêche r d'avoir des valeurs inférieure à rs.

Avec cette coordonnée rho au lieu de r, la métrique s'écrit :



Ils constatent qu'il n'y a plus de singularités. C'est bien normal, le changement de variable permet d'éviter soigneusement le domaine r<rs (et donc r=0) et fait sorte qu'aucun coefficient de la métrique ne diverge en r=rs.
Ils constatent aussi que le déterminant de la métrique écrite avec ces coordonnées en rho=0 (donc r=rs) n'est pas nul. On ne voit pas vraiment le point. En effet en coordonnées de Schwarzschild, avec t constant et theta=pi/2, le déterminant est r^3/(r-r_s). Il n'est pas nul non plus en r=rs (rho=0), bon, il diverge, mais il n'est pas nul. Il est en revanche négatif pour 0<r<rs, et nul en r=0, mais de toutes façon ce domaine là n'est jamais exploré avec la coordonnée rho. Cependant, il est vrai, comme ils le disent, que "la métrique est bien définie pour toute valeur de rho". Mais l'intérêt reste bien limité. Le changement de variable fait en sorte qu'il n'y a pas de singularité de coordonnée en r=rs, rien d'innovant (voir eddington-finkelsteil, gullstrand-painlevé, etc), et fait en sorte que la singularité r=0 (en fait tout le domaine 0<r<rs) ne soit pas sur la carte...

La métrique décrit une variété Riemannienne analogue à un diabolo, avec des géodésiques qui passent d'un côté à l'autre par le cercle r=rs (rho=0). Le changement de variable est différent, mais c'est peu différent qualitativement du changement de variable u²=r-rs mentionné au message 119 : on décrit simplement le pont de Rosen, le passage entre la région I et la région III, en 2D.

Ensuite ils passent en 3D, métrique de Schwarzschild en coordonnées de Schwarzschild avec t constant



qui est de signature (+,+,+) pour r>rs et (-,+,+) pour r<rs. Ils appliquent le même changement de variable, ce qui donne :

Ils insistent à nouveau sur le fait que déterminant ne s'annule jamais. Mais c'est faux : il s'annule pour . C'est le cas aussi pour la métrique de Schwarzschild (que ce soit en 1+3 ou 3D t constant), c'est une singularité de coordonnée propre au système theta,phi de la sphère S2. Bon, c'est un peu de mauvaise foi, car à part pour , il ne s'annule effectivement jamais, mais comme pour le cas 2D, ça nous fait une belle jambe et n'est que de peu d'intérêt.

On a à nouveau le diabolo, mais avec une dimension de plus, deux espaces à symétrie sphérique connectés par une sphère r=rs (rho=0), avec des géodésiques qui passent de l'un à l'autre via cette sphère.

Enfin, ils en arrivent à la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Schwarzschild 1+3,



Ils appliquent le changement de variable pour avoir :



Ils parlent alors de "pont spatio-temporel". Et voilà qu'ils partent à calculer des géodésiques qui passent par ce pont.
...
Sauf que...
On sait très bien que par ce pont ne passent que des géodésiques de genre espace. Pire, aucune ligne (même pas géodésique, juste une ligne) d'univers (genre temps ou nul) n'y passe. En clair, jamais un objet matériel ou de la lumière ne passe de rho>0 à rho<0 ou inversement. Ce point n'est pas discutable, ce sont des mathématiques. Toute personne assez calée en mathématique est capable de démontrer ça. Et ça ne dépend pas des coordonnées.
Donc on peut fantasmer qu'un objet qui passerait de rho positif à négatif se retrouverait inversé et avec une masse négative (et mon cul sur la commode), de toutes façons il n'y a pas de chemin qui passe de rho positif à négatif.

Du reste :

On voit bien que l'on peut supprimer la singularité centrale sans modifier la signature de la métrique pour r<Rs, ce qui rend inutile ce discours singulier sur les courbes de genre temps ou de genre espace que je n'ai jamais compris

-Non, on ne supprime pas la singularité centrale, on choisi juste une carte qui ne la montre pas.
-Si vous ne comprenez rien aux courbes de genre temps ou espace, ce serait bien de vous y mettre un peu, c'est quand même essentiel pour étudier la relativité générale.

m@ch3

[Amanuensis]

Caveat: Le commentaire ci-après ne réfute pas le fond de l'argumentation de Mach3. C'est juste un point de détail. Le papier critiqué est erroné.

On sait très bien que par ce pont ne passent que des géodésiques de genre espace. Pire, aucune ligne (même pas géodésique, juste une ligne) d'univers (genre temps ou nul) n'y passe.

Il y a une infinité de lignes d'Univers (et lumière) qui y passent, y compris des géodésiques. Mais elle vont directement de la région IV à la région II, sans événements dans I ou III.

Sont remarquables les géodésiques d'équation (en KrSz) X=vT, avec v²<c², θ et φ constants, qui vont d'une singularité à l'autre en durée propre finie (la même pour toutes ces lignes). (Cela inclut les immobiles X=0, θ et φ constants.)

En clair, jamais un objet matériel ou de la lumière ne passe de rho>0 à rho<0 ou inversement.

Oui, mais cela est dû à ce que le système de coordonnées ne permet pas de couvrir les régions II et IV.

[mach3]

Oui, mais cela est dû à ce que le système de coordonnées ne permet pas de couvrir les régions II et IV.

J'ai un petit souci de compréhension (même après correction). Le fait qu'il n'y ait pas de ligne d'univers allant de I à III, équivalemment de rho>0 à rho<0 n'est il pas intrinsèque et sans dépendance au système de coordonnées (qu'il couvre ou non II et IV ne devrait pas changer pas le fait qu'il n'y a pas de ligne d'univers allant de I à III, ou de rho>0 à rho<0)?

m@ch3

[Amanuensis]

Bien sûr. Le fait est qu'un objet matériel puisse passer par le centre pour aller de IV à II est intrinsèque.

Le «problème» (qui ne devrait pas en être un) est que les coordonnées choisies dans le papier ne couvrent que I, III et le centre. C'est pareil que de prendre les coordonnées de KrSz et d'imposer T²<=X² (1). C'est évidemment incomplet, avec une telle restriction il n'y a pas les lignes d'univers IV->II. Mais cela ne se voit pas parce que la coordonnée temporelle choisie couvre toute la droite réelle (comme le fait la coordonnée t de Schw. ) indépendamment de la coordonnée radiale. Or c'est une illusion : pour ρ=0, l'image de la coordonnée temporelle se réduit à un événement (par valeur de θ, φ). Ce n'est même plus une variété 4D (remarque de topologiste...), il manque en ρ=0 tout le voisinage correspondant à T²>0 en coordonnées de KrSz. Et cela inclut le fait que les qvecteurs des lignes d'Univers IV->II sont absents: le cotangent ne contient que la moitié de l'espace vectoriel, manquent tous les dX²/dT²<c².


Du coup cela crée l'apparence d'un espace-temps genre temps x espace, avec l'hyperespace le diabolo en question. (On voit là l'influence de l'idée de temps absolu, déjà évoquée.)

En d'autres termes, c'est comme si l'effet du coefficient de dt² était ignoré. L'espace (l'hyperespace) étant complet, le temps étant complet, l'idée que l'espace-temps ne l'est pas ne saute par aux yeux. Et non plus que ce n'est même pas une variété 4D.

La «leçon de la RR» (la non indépendance du temps et de l'espace), n'a pas été assimilée.

(1) Sauf qu'en KrSz on voit immédiatement que les coupes T constant ne sont pas isométriques les unes des autres ; elles sont mêmes non connexes pour T²>1.

[Amanuensis]

Note (et allusion): Il y a une sorte d'erreur commune dans le domaine consistant à penser que donner une métrique suffit à décrire une variété (pseudo-)riemannienne.

Faut non seulement fournir le domaine de définition des coordonnées, mais aussi un atlas, avec la métrique correctement définie pour toutes les cartes. Un atlas a la propriété que tout événement est à l'intérieur de l'image d'au moins une des cartes (et donc a un voisinage de la bonne dimension), et la donnée de l'atlas permet de le vérifier.

On est en présence de ce cas: il a été pensé que donner la métrique suffisait... Seulement, dans la seule carte fournie, les points ρ=0 ne sont pas à l'intérieur de l'image. Du coup, cette seule carte ne constitue pas un atlas de l'image de la carte.

[Mailou75]

Salut, puis-je m'autoriser une parenthèse ?

Bien sûr. Le fait est qu'un objet matériel puisse passer par le centre pour aller de IV à II est intrinsèque. (...)
Et cela inclut le fait que les qvecteurs des lignes d'Univers IV->II sont absents (...)

De quoi est-on en train de parler, concrètement ? De trajectoires allant de la singularité passée à la singularité future, que sont elles physiquement ?

Tout d'abord il faut supposer que les trous blancs existent. Comme on ne connait pas de processus de formation de trou blanc alors on doit supposer qu'ils sont éternels. Comme on en voit pas concrètement, les régions III et IV restent spéculatives. Et supposer que les coordonnées de KS sont idéales pour décrire ces régions. Mais admettons..

Prenons une trajectoire, la plus simple, en ligne droite verticale de la singularité passée à la singularité future. Pour l'observateur extérieur éloigné la portion de cette trajectoire en région II est un rayon du trou noir, de valeur Rs. Il n'en voit rien, mais dans ses coordonnées, si une telle trajectoire devait exister elle serait de genre "instantanée". Si on devait prolonger ses coordonnées à l'intérieur (en pensant à inverser t et r) alors elle parcourrait une durée coordonnée infini. Enfin, je suppose ici que les coordonnées ayant un t infini à l'extérieur ont aussi un t infini à l'intérieur, dans le cas inverse je vois mal ce qui se passerait dans un changement de repère d'un KS vers un autre KS... le fait qu'une trajectoire de chute puisse avoir à l'intérieur une coordonnée t infinie sur la singularité n'a bien sur rien à voir avec le redshift infini pour l'observateur extérieur.

Du point du vue de celui qui parcours cette trajectoire (verticale en KS), on peut supposer que son temps propre est fini. Cela pose donc une question, comment une trajectoire ayant un temps propre fini peut elle faire partie de la réalité physique (même si non vue car intérieure) de l'observateur extérieur qui donne à cette trajectoire une durée nulle (les points (0;0) et (0;1) de KS sont réputés synchronisés chez Schw, c'est le plan euclidien de l'observateur à t0, le t0 du KS représenté). Peut être est ce le propre des trous noirs, dissimuler "instantanément" des histoires de durées finies non nulles ?

Concrètement cette trajectoire décrit donc... un objet qui serait partit depuis un temps infini (coordonnées ou pas le trou blanc est nécessairement éternel) aurait rejoint la surface du trou noir Rs (point central de KS) puis serait retombé sur la singularité future. Malgré cette date de départ imposée cette trajectoire pourrait prendre un temps propre fini à être parcourue (je n'en demande même pas le calcul, peu importe la valeur numérique). Tout ceci se déroulant dans un seul plan synchronisé de l'observateur extérieur cad un aller retour instantané.

Que doit on retenir de tout ça ? Peut il y avoir un rapport avec le monde réel ?

Merci

Mailou

[invite6486d7bd]

Concrètement cette trajectoire décrit donc... un objet qui serait partit depuis un temps infini (coordonnées ou pas le trou blanc est nécessairement éternel) aurait rejoint la surface du trou noir Rs (point central de KS) puis serait retombé sur la singularité future. Malgré cette date de départ imposée cette trajectoire pourrait prendre un temps propre fini à être parcourue (je n'en demande même pas le calcul, peu importe la valeur numérique). Tout ceci se déroulant dans un seul plan synchronisé de l'observateur extérieur cad un aller retour instantané.

Sans trop m'avancer, ça ne m'intrigue pas plus que ça puisque ça impliquerait simplement que deux portion d'un univers peuvent être séparés causalement.
Une durée infinie de l'une par rapport à l'autre ne présente pas de contradiction.
D'autre part, une durée infinie peut tout à fait se concevoir comme "une boucle" qui produit cycliquement des états d'univers identiques un nombre infini de fois.
Si les deux portions d'univers séparées se rencontrent à nouveau, par exemple ils sont séparés causalement pendant une bref durée propre, mais pendant une durée relative infinie, ça ne pose pas non plus à mon avis de paradoxe.

[Amanuensis]

De quoi est-on en train de parler, concrètement ?

De mathématiques. Précisément de variétés munies d'une forme bilinéaire symétrique de signature lorentzienne.

De trajectoires allant de la singularité passée à la singularité future, que sont elles physiquement ?

On s'en fiche, c'est des maths.

Tout d'abord il faut supposer que les trous blancs existent.

Ils apparaissent dans la solution mathématiques, cela suffit.

Comme on ne connait pas de processus de formation de trou blanc alors on doit supposer qu'ils sont éternels.

Ce genre de supposition n'a pas grand sens quand on étudie une solution 4D.

Comme on en voit pas concrètement, les régions III et IV restent spéculatives.

On parle de maths.

Et supposer que les coordonnées de KS sont idéales pour décrire ces régions. Mais admettons..

Supposition avérée du point de vue des maths.

Prenons une trajectoire, la plus simple, en ligne droite verticale de la singularité passée à la singularité future.

Que signifie «verticale»? La direction de la pesanteur? Quelle pesanteur?

Pour l'observateur extérieur éloigné la portion de cette trajectoire en région II est un rayon du trou noir, de valeur Rs.

??

Il n'en voit rien, mais dans ses coordonnées, si une telle trajectoire devait exister elle serait de genre "instantanée".

Un observateur n'a pas de coordonnées. À moins de parler de là et où il observe, dans un système de coordonnée précisé au préalable.

Du point du vue de celui qui parcours cette trajectoire (verticale en KS), on peut supposer que son temps propre est fini.

S'il s'agit (?) d'une ligne X=0, θ, φ constants, cela se démontre, nul besoin de supposer.

Cela pose donc une question, comment une trajectoire ayant un temps propre fini peut elle faire partie de la réalité physique (même si non vue car intérieure) de l'observateur extérieur

Que signifie « la réalité physique de l'observateur» ? Et on parle de maths de toutes manières.

Etc.

Que doit on retenir de tout ça ? Peut il y avoir un rapport avec le monde réel ?

Qu'en sait-on? Faudrait déjà définir «monde réel». Et en générale on part dans l'autre sens: on constate des observations, et on cherche un modèle mathématiques qui marche.

Si Riemann s'était posé la question si la géométrie courbe avait «un rapport avec le monde réel», sa réponse aurait peut-être été «non». Et alors?

Bref, en résumé, faudrait comprendre qu'on peut étudier des modèles mathématiques indépendamment des observations.

[mach3]

Prenons une trajectoire, la plus simple, en ligne droite verticale de la singularité passée à la singularité future. Pour l'observateur extérieur éloigné la portion de cette trajectoire en région II est un rayon du trou noir, de valeur Rs. Il n'en voit rien, mais dans ses coordonnées, si une telle trajectoire devait exister elle serait de genre "instantanée". Si on devait prolonger ses coordonnées à l'intérieur (en pensant à inverser t et r) alors elle parcourrait une durée coordonnée infini.

Il va falloir sortir de l'ornière comme quoi le système de coordonnées de Schwarzschild serait Le système de coordonnée d'un "observateur extérieur éloigné". Ce système de coordonnée est certes tel que l'expression de la métrique tendra vers celle de Minkowski en coordonnées polaires sphériques () pour r grand, mais ce n'est pas le seul.

Celui proposé par Petit et d'Agostini (et qui vraisemblablement était déjà connu car se trouvant dans le Adler), ainsi que celui avec le petit r dans l'article de Schwarzschild, possèdent aussi cette propriété.

Celui d'Eddington-Finkelstein aussi! Ca se voit bien quand on l'écrit : le dernier terme devient négligeable quand r est grand et il ne reste que Minkowski en coordonnées sphériques. Et Gullstrand-Painlevé, itou.

De plus, qu'un système de coordonnée soit tel que l'expression de la métrique tende vers celle de Minkowski en polaire sphérique pour r grand n'en fait pas un système coordonnée vraiment adéquat pour un "observateur extérieur éloigné", qui préférera des coordonnées normales, des coordonnées de Fermi ou d'autres systèmes dont il occupe l'origine spatiale (ou, à la rigueur, n'en est jamais bien loin) et dans lesquels l'expression de la métrique tend vers celle de Minkowski à l'origine. Selon la définition de tels systèmes, ils peuvent permettre ou non d’étiqueter proprement des évènements en r<rs.

m@ch3

[mach3]

Celui d'Eddington-Finkelstein aussi! Ca se voit bien quand on l'écrit : le dernier terme devient négligeable quand r est grand et il ne reste que Minkowski en coordonnées sphériques. Et Gullstrand-Painlevé, itou.

Détail intéressant, Schwarzschild, en cherchant sa solution, s'est imposé qu'elle soit symétrique par renversement de la coordonnée t qu'il voulait de genre temps (cela implique que les termes rectangles type dtdr sautent). Si il ne l'avait pas fait, il serait surement tombé sur une famille de solutions incluant la sienne, Eddington-Finkelstein et Gullstrand-Painlevé : elles sont toutes à symétrie sphérique et invariantes par translation suivant la coordonnée qui est de genre temps lorsque la coordonnée radiale est grande.

m@ch3

[Amanuensis]

On sait très bien que par ce pont ne passent que des géodésiques de genre espace. Pire, aucune ligne (même pas géodésique, juste une ligne) d'univers (genre temps ou nul) n'y passe.

Je reviens là-dessus, avec une remarque plus simple: il y a une propriété générale qui dit que dans une variété lorentzienne (sans bord) par tout événement passent une infinité de lignes de genre temps.

Si donc on présente un ensemble d'événements tel que pour certains d'entre eux il n'y a aucune ligne de genre temps qui y passent, alors ce n'est pas une variété lorentzienne.

Le loup dans le document critiqué est là: si la métrique spatiale proposée décrit bien (une fois le domaine de définition précisé) une variété Riemannienne (le diabolo en 3D), l'ajout de la coordonnée temporelle ne décrit pas une variété 4D. La preuve: aucune géodésique (dans cet ensemble) de genre temps ne passe par les événements de la sphère centrale.

Et la raison est simple, la fonction (t, ρ, θ, φ) vers l'ensemble n'est pas injective, et donc n'est pas une carte. Elle n'est pas injective, parce que les coordonnées (t, 0, θ, φ) pointent sur un unique événement pour t fixé et (θ, φ) variable.

En le regardant autrement, l'ensemble étudié est (exprimé en coordonnées de KrSz) l'union des lignes vX=T, v²<c². Cet ensemble de lignes est une variété (en tant qu'ensemble de lignes), qu'on peut munir de la métrique spatiale indiquée. C'est comme un référentiel (dans un espace-temps statique). Et on peut l'indexer par v (v constant correspond à t constant pour la coordonnée de Schw. temporelle dans la région I), t = 2r_s atanh(v)). Cela ressemble fichtrement à un référentiel avec datation. Mais cela ne fait pas de l'union des lignes une variété 4D, parce que cet ensemble de lignes n'est pas une foliation de l'union, les lignes n'étant pas d'intersection vide deux à deux. Cela ressemble à une variété décrite par référentiel + datation, mais ce n'en est pas une. (Par contre, en restreignant à ρ>0 on obtient bien une variété (c'est la région I) ; pareil en restreignant à ρ<0 (région III).)

[bernarddo]

Il va falloir sortir de l'ornière comme quoi le système de coordonnées de Schwarzschild serait Le système de coordonnée d'un "observateur extérieur éloigné". Ce système de coordonnée est certes,…. mais ce n'est pas le seul.

Celui proposé par Petit et d'Agostini (et qui « vraisemblablement » était déjà connu car se trouvant dans le Adler), ainsi que celui avec le petit r dans l'article de Schwarzschild, possèdent aussi cette propriété.

m@ch3

Il faudra m’indiquer où trouve-t-on la métrique (et non le système de coordonnées) de Petit et de d’Agostini dans le Adler, parce qu’elle ne s’y trouve « vraisemblablement » pas : il y a au moins trois raisons à cela :
1- Une raison de cohérence de présentation : elle ferait au moins l’objet d’un intertitre comme toutes ses pairs, ou au moins une mention dans le sous chapitre 7.6 « Others coordinates » comme celle de Boyer and Lindquist.
2 – Une raison de visibilité : elle serait alors connue et discutée dans la communauté qui partage largement la matière de ce manuel
3 – Une raison beaucoup plus fondamentale qui rend sa présence invraisemblable :
les auteurs (et la communauté) auraient alors eu beaucoup de mal, la connaissant, à introduire (ou accepter) le sous-chapitre 6.8 sur les coordonnées de Kruskal en l’absence de singularité et en l’absence d’avoir à justifier l’inversion de t et r (dans la fameuse distinction entre spacelike ou timelike curves qui n’a de sens mathématique que de conserver, dans une signature -+++, le signe – pour la variable temps), tous problèmes que résout la métrique de Petit et de d’Agostini.

Indiquer qu’elle y figurait n’a comme conséquence (et objet ?) que de minimiser son apport dans le débat scientifique.

[mach3]

Il faudra m’indiquer où trouve-t-on la métrique (et non le système de coordonnées) de Petit et de d’Agostini dans le Adler, parce qu’elle ne s’y trouve « vraisemblablement » pas : il y a au moins trois raisons à cela :

Je me suis créé un faux souvenir sur la base de ce post là :

A didier941751 (# 18)
Je suis tout à fait d’accord avec le fait que le système de coordonnées peut créer des singularités qui ne sont pas intrinsèques à l’espace, et que séparer l’intrinsèque de ce que vous appelez artefact est difficile.
D'ailleurs, sur la solution dite de Schwarzschild [chez Adler, relation 6.53] et avant d’entrer, pour r < 2m, dans l’espace imaginaire que je conteste, une singularité apparaît pour r = 2m, qui pose problème puisque là nous sommes toujours dans l’espace-temps réel.
Il se trouve que cette singularité est une singularité de coordonnées, et qu’on peut l’annuler en remplaçant r par ρ suivant : r = 2m (1 + ln ch ρ) (log népérien et cos hyperbolique)
Le calcul est simple, je vous laisse vérifier.

ça a fait un gloubiboulga et j'ai crû me souvenir qu'il était dit dans ce message que ce changement de variable était décrit dans le Adler. Désolé de l'erreur.

m@ch3

[Amanuensis]

Sinon, faudra peut-être arriver à faire comprendre que le choix d'une métrique n'affecte absolument pas ce qu'elle décrit.

Que ce soit décrit en Mercator, en projection stéréographique, etc. (je ne vais pas me lancer dans la litanies des cartes possibles), ou par un globe terrestre, la surface de la Terre a toujours la même forme, et toujours les même propriétés.

C'est pareil pour toute variété riemannienne ou lorentzienne. Le choix d'un système de coordonnées (et donc de la forme littérale de la métrique) ne peut pas en changer les propriétés. (1) Donc, tant qu'on parle de changement de coordonnées pour la même variété, on ne peut pas en tirer de propriétés différentes.

On est littéralement dans un cas de confusion toxique entre la carte et le territoire.

(1) Cela explique aussi l'intérêt que certains trouvent incompréhensible pour les coordonnées de Kruskal: c'est parce que c'est une carte qui couvre toute la variété lorentzienne qu'est la géométrie de Schwarzschild. (Avec différents avantages, comme le fait qu'elles soient 2D-Minkoswki-conformes, et qu'elles traduisent de manière simple toutes les symétries de la géométrie.)

[mach3]

3 – Une raison beaucoup plus fondamentale qui rend sa présence invraisemblable :
les auteurs (et la communauté) auraient alors eu beaucoup de mal, la connaissant, à introduire (ou accepter) le sous-chapitre 6.8 sur les coordonnées de Kruskal en l’absence de singularité et en l’absence d’avoir à justifier l’inversion de t et r (dans la fameuse distinction entre spacelike ou timelike curves qui n’a de sens mathématique que de conserver, dans une signature -+++, le signe – pour la variable temps), tous problèmes que résout la métrique de Petit et de d’Agostini.

non, il n'aurait pas été plus difficile d'introduire Kruskal, ce n'est qu'un changement de coordonnées comme un autre. Des coordonnées qui ne couvrent pas la singularité et/ou qui ne couvrent pas la région r<rs, ou qui permettent qu'aucun coefficient de la métrique ne s'annule en r=rs, on peut en inventer à la pelle. D'ailleurs la possibilité de tranches spatiales semblables à un diabolo avec la sphère de r=rs qui joint les deux parties était connue depuis 1935 (Einstein-Rosen, avec u²=r-rs, message 119), bien avant que Kruskal trouve la solution d'extension maximale (1960).

La métrique de Petit et d'Agostini ne résout pas de problèmes, elle ne fait que les cacher (et mal car on voit très vite qu'il y a des soucis en rho=0).

m@ch3

[bernarddo]

Sinon, faudra peut-être arriver à faire comprendre que le choix d'une métrique n'affecte absolument pas ce qu'elle décrit.

Que ce soit décrit en Mercator, en projection stéréographique, etc. (je ne vais pas me lancer dans la litanies des cartes possibles), ou par un globe terrestre, la surface de la Terre a toujours la même forme, et toujours les même propriétés.

C'est pareil pour toute variété riemannienne ou lorentzienne. Le choix d'un système de coordonnées (et donc de la forme littérale de la métrique) ne peut pas en changer les propriétés. (1) Donc, tant qu'on parle de changement de coordonnées pour la même variété, on ne peut pas en tirer de propriétés différentes.

On est littéralement dans un cas de confusion toxique entre la carte et le territoire.

(1) Cela explique aussi l'intérêt que certains trouvent incompréhensible pour les coordonnées de Kruskal: c'est parce que c'est une carte qui couvre toute la variété lorentzienne qu'est la géométrie de Schwarzschild. (Avec différents avantages, comme le fait qu'elles soient 2D-Minkoswki-conformes, et qu'elles traduisent de manière simple toutes les symétries de la géométrie.)

Tout à fait d’accord pour les deux premières phrases.

Le seul problème est qu’il ne faut pas confondre le choix de coordonnées d’une métrique (qui, s'ils sont bien choisis, conservent les caractéristiques intrinsèques de l’espace décrit, parce qu'ils le décrivent partout localement, et les coordonnées projectives, (Mercator …, etc, toute la litanie que l’on veut), qui donnent une carte (ou un atlas) qui ne décrit pas l’espace mais en n’en donne qu’une représentation.
Et, si les coordonnées de Kruskal peuvent conduire à une carte, n’est-ce pas précisément que cette représentation se révèle, et c’est normal, incapable de donner partout une image exacte de l’espace local ?
Ne sommes nous pas dans un cas un peu analogue à celui de la carte suivante qui rajoute même des zones extérieures à l’espace représenté ?

[Amanuensis]

Le seul problème est qu’il ne faut pas confondre le choix de coordonnées d’une métrique (qui, s'ils sont bien choisis, conservent les caractéristiques intrinsèques de l’espace décrit, parce qu'ils le décrivent partout localement, et les coordonnées projectives, (Mercator …, etc, toute la litanie que l’on veut), qui donnent une carte (ou un atlas) qui ne décrit pas l’espace mais en n’en donne qu’une représentation.

Décrire un espace est exactement la même chose qu'en donner une représentation. La distinction proposée n'a pas grand sens.

Pire que ça: un jeu de coordonnées + leur domaine de définition + une «métrique» EST un espace ; en parler comme d'une carte d'autre chose est simplement dire qu'ils sont isométriques, i.e., il existe une isométrie (une bijection au moins C2 respectant la métrique) entre les deux.

(L'erreur courante est de penser que si on prend R^n ou un sous-ensemble de R^n, alors la «métrique» est nécessairement euclidienne.)

Une carte de Mercator n'est une représentation plane de la Terre uniquement si on ne prend les surfaces que topologiquement. En précisant la métrique sur le plan on en fait une isométrie (en évitant l'erreur de penser que ce soit la métrique euclidienne). La métrique est précisable par sa formule, mais il y a d'autres moyens comme par exemple l'indicatrice de Tissot. (Pour l'espace-temps, l'équivalent de l'indicatrice de Tissot est la représentation des cône des lumière).

La seule chose que change le choix de carte est la réaction des humains, ce qu'ils en comprennent, ce qu'ils «voient» comme propriétés. À ce sens là ce n'est pas tant des représentations différentes que des imaginations différentes. Comme dans toute la géométrie, on raisonne sur des images, mais ce ne sont pas les images le sujet du raisonnement.

[Et au point de vue vocabulaire et concepts, il n'y a pas de «coordonnées d'une métrique», il y a des variétés munies d'une forme bilinéaire symétrique, des jeux de coordonnées (x_i) cartographiant une variété, choisies arbitrairement, et la forme bilinéaire (qui est indépendante des coordonnées) exprimée en fonction des x_i et des dx_i. L'objet (le territoire) c'est la variété (qu'elle ait une signification physique ou pas). Ce n'est pas la formule de la métrique qui est le concept premier, mais la variété elle-même. Une sphère n'est pas un tore (deux variétés Riemanniennes), et on ne les définit pas comme des «métrique». Quand on parle de géométrie de Schwarzschild, c'est comme quand on parle d'un tore, c'est de la variété (lorentzienne) dont on parle, pas de la formule de sa métrique dans un certain choix de coordonnées, i.e., dans une certaine réalisation comme sous-ensemble de R^4, parmi l'infinité de telles réalisations.]

[bernarddo]

Je reviens là-dessus, avec une remarque plus simple: il y a une propriété générale qui dit que dans une variété lorentzienne (sans bord) par tout événement passent une infinité de lignes de genre temps.

Si donc on présente un ensemble d'événements tel que pour certains d'entre eux il n'y a aucune ligne de genre temps qui y passent, alors ce n'est pas une variété lorentzienne.

Le loup dans le document critiqué est là: si la métrique spatiale proposée décrit bien (une fois le domaine de définition précisé) une variété Riemannienne (le diabolo en 3D), l'ajout de la coordonnée temporelle ne décrit pas une variété 4D. La preuve: aucune géodésique (dans cet ensemble) de genre temps ne passe par les événements de la sphère centrale.

Et la raison est simple, la fonction (t, ρ, θ, φ) vers l'ensemble n'est pas injective, et donc n'est pas une carte. Elle n'est pas injective, parce que les coordonnées (t, 0, θ, φ) pointent sur un unique événement pour t fixé et (θ, φ) variable.

En le regardant autrement, l'ensemble étudié est (exprimé en coordonnées de KrSz) l'union des lignes vX=T, v²<c². Cet ensemble de lignes est une variété (en tant qu'ensemble de lignes), qu'on peut munir de la métrique spatiale indiquée. C'est comme un référentiel (dans un espace-temps statique). Et on peut l'indexer par v (v constant correspond à t constant pour la coordonnée de Schw. temporelle dans la région I), t = 2r_s atanh(v)). Cela ressemble fichtrement à un référentiel avec datation. Mais cela ne fait pas de l'union des lignes une variété 4D, parce que cet ensemble de lignes n'est pas une foliation de l'union, les lignes n'étant pas d'intersection vide deux à deux. Cela ressemble à une variété décrite par référentiel + datation, mais ce n'en est pas une. (Par contre, en restreignant à ρ>0 on obtient bien une variété (c'est la région I) ; pareil en restreignant à ρ<0 (région III).)

Merci, Amanuensis d’avoir donné la raison mathématique de notre désaccord et d’avoir réconcilié simplement mon point de vue avec la notion de « variétés munies d'une forme bilinéaire symétrique » qui m’a régulièrement été rappelée pour me faire comprendre que je ne l’avais pas bien assimilée, ce qui est d’ailleurs vrai car, mes profs de jeunesse n’étant pas très à l’aise avec les maths modernes qui avaient été récemment introduites dans l’enseignement, je ne le suis pas non plus:

Donc, au premier paragraphe, il est bien précisé « sans bord »

Il faut donc d’abord justifier cette absence de bord.

Et j'ai trois objections, trois "loups":

1 - L'aspect magique de l'extension: à ma connaissance, tout ce que la communauté avance pour justifier ce « sans bord » se limite au fait que, pour r < Rs, la coordonnée espace devient magiquement une coordonnée temps, tandis que la coordonnée espace se mue en coordonnée temps, ce qui me permet de dire qu'il s'agit avant tout de conserver une signature adéquate.
Cela explique le terme d’ « extension » associé aux coordonnées de Kruskal, mais aucune justification physique ne vient à l’appui de ce coup de baguette magique.

2 - L'aspect illogique de la négation de ce bord: il est pour moi incompréhensible qu’Adler lui-même admette cette extension sans remarquer qu’elle est contradictoire avec l’exposé conjoint de la solution interne de Schw au § 14.2 où il fait cohabiter les solutions interne et externe avec un rayon comme frontière !

3 - L'aspect physique:
a ) cette extension permet d'étendre à un espace sans bord (celui des coordonnées de Kruskal) la notion mathématique de cône de lumière (valable en espace lorentzien), qui est physiquement inutilisable en RG car cette notion ne prend pas en compte l’effet de la gravité sur les photons mis en évidence par Pound & Rebka.
b) c'est cette extension qui permet de considérer un état de concentration infinie de la matière qui n'est pour moi qu'une vue de l'esprit.

Enfin je constate l'existence d'une solution alternative, la solution de Karl, la vraie, celle avec R= (r^3 +α^3)^1/3 , avec sa solution interne associée, solution qui peut être exprimée par le changement de coordonnées de Petit et Agostini, qui retrouve le même espace que la solution extérieure de Karl, et qui sont cohérentes avec ce § 14.2. d'Adler.

Toutefois, s’il existait une bonne raison de considérer l’espace-temps de la solution extérieure sans bord, je suis prêt à revoir ma position.

[Amanuensis]

Donc, au premier paragraphe, il est bien précisé « sans bord »

Il faut donc d’abord justifier cette absence de bord.

C'est standard, rien à justifier pour un cas particulier. En RG on ne s'occupe jamais des variétés lorentziennes avec bord, qui n'ont pas de sens physique. Je ne le précise qu'à cause de l'ambigüité en français ; car en anglais «manifold» est par défaut «without boundary», et donc les textes de référence n'ont pas besoin de préciser.

[Ceci dit, je suis conscient--difficile de ne pas l'être, discussion après discussion--que «sans bord» est couramment compris de travers, au moins dans les discussions dans ce forum. Je renvoie donc à la définition mathématique, qui est la seule que j'applique pour la notion de «variété sans bord».]

Notons qu'il n'y a pas relation directe entre bord et extensibilité. L'espace-temps de Schw. (ce qui est décrit avec les coordonnées et la métrique de Schw. avec comme domaine définition r>r_s) est une variété sans bord et est extensible. Pire, on peut difficilement rajouter un bord liée à l'extensibilité (bord qui n'aurait de toutes manières pas de sens physique) avec cette description, les «limites» extensibles étant à des t infinis. (Une fois de plus, l'extensibilité importante est celle des lignes d'Univers, et pas celle lié à r=r_s, qu'on pourrait inclure (sans sens physique clair) pour construire une variété à bord.)

Bref, qu'on regarde comme on veut, il n'y a pas de raison de s'intéresser aux variétés à bord.

[Je ne réponds pas au reste, qui n'est que la répétition ad nauseam de points auxquels il a déjà été répondu de manière qui aurait due être satisfaisante.]

[Amanuensis]

PS: Notons aussi qu'on peut «rajouter» un bord à l'espace-temps de Kruskal aussi bien qu'à l'espace-temps de Schw. Là encore, la possibilité d'ajouter un bord n'est pas liée à l'extensibilité ou non.

(Pour ajouter un bords, suffit le plus souvent de prendre comme domaine de définition d'une carte un domaine non ouvert, par exemple prendre en KrSz T²-X²<=1 plutôt que T²-X²<1, ce qui ajoute le bord constitué des deux singularités, bord sur lequel la métrique ne serait pas définie. Plus amusant--et encore moins faisant sens que le précédent--, prendre X dans [-infini, +infini] au lieu de ]-infini, +infini[ ...)