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C'est quoi l'expansion en terme de dynamique



  1. #1
    invite69152375

    C'est quoi l'expansion en terme de dynamique


    ------

    Bonjour,
    D'après ce que j'ai cru lire, l'expansion de l'univers n'étant pas liée à une (des) force (s), il n'en résulte aucune inertie. Mais faut-il appliquer les transformations de Lorentz sur les distances que nous constatons, en fonction des vitesses d'éloignement, lorsque celles-ci sont proches de celle de la lumière? C'est-à-dire, si nous voyons un amas de galaxies exactement à mi-chemin entre nous et un autre amas, le voyons-nous exactement aussi à une date deux fois moins ancienne, ou pas? Et de cet amas, qui se présente à nous comme central, un observateur imaginé se verrait-il juste au milieu du système, ou plutôt décalé vers l'un des deux autres amas?
    C'est juste pour comprendre globalement comment ça fonctionne, dans le cadre d'une expansion constante dans le temps, par exemple, pour simplifier.
    Merci.

    -----

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  3. #2
    Amanuensis

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Bonjour,

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    C'est-à-dire, si nous voyons un amas de galaxies exactement à mi-chemin entre nous et un autre amas, le voyons-nous exactement aussi à une date deux fois moins ancienne, ou pas?
    La difficulté est la notion de distance en cas d'expansion. Quand il est question de distances ou durées très grandes, il y plusieurs notions de distance, sans qu'aucune de ces notions ne s'impose.

    Une des distances est simplement l'âge de l'image multipliée par c, ce qui implique automatiquement qu'un amas vu depuis une durée deux fois plus qu'un autre est exactement à mi-chemin. Mais cela ne s'appliquera pas pour d'autres notions de «distance».

    Il y a eu d'excellent posts décriant les différentes notions de distance, à rechercher dans le forum.

    Et de cet amas, qui se présente à nous comme central, un observateur imaginé se verrait-il juste au milieu du système, ou plutôt décalé vers l'un des deux autres amas?
    Je ne sais pas, ce n'est pas si évident ; d'autres répondront.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  4. #3
    Mailou75

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Salut,

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Mais faut-il appliquer les transformations de Lorentz sur les distances que nous constatons, en fonction des vitesses d'éloignement, lorsque celles-ci sont proches de celle de la lumière?
    Non du tout, ce n’est pas considéré comme une vitesse. Le redshift cosmo n’est pas un Doppler.

    C'est-à-dire, si nous voyons un amas de galaxies exactement à mi-chemin entre nous et un autre amas, le voyons-nous exactement aussi à une date deux fois moins ancienne, ou pas?
    Tout dépends ce que tu apelles «voit». Les chiffres donnés en géneral sont une distance loockback time, temps de trajet de la lumiere x c, comme le dis Amanuensis. Un objet 5Gal est deux fois plus «près» qu’un objet à 10Gal. En fait il est surtout deux fois plus jeune et Dlt n’a rien d’une distance vue, on voit la distance angulaire Da.

    Et de cet amas, qui se présente à nous comme central, un observateur imaginé se verrait-il juste au milieu du système, ou plutôt décalé vers l'un des deux autres amas?
    Non. Intuitivement la relativité nous dirait qu’un objet «au milieu» serait à racine(z+1), z+1 etant le redshift. Mais là pour etre au milieu il faut etre au milieu de la distance comobile. Ex : Un objet a 23Gal de moi à droite et un autre gauche sont reciproquement à l’horizon l’un de l’autre car il y a entre eux 46Gal qui est la distance de notre horizon le CMB, c’est pas compliqué la cosmo...

    C'est juste pour comprendre globalement comment ça fonctionne, dans le cadre d'une expansion constante dans le temps, par exemple, pour simplifier.
    Pas sur que ça aide puisque tout est lié... si l’espace n’est pas assez rapide les photons ne «reculeront» pas, s’il l’est trop ils ne reviendront jamais, c’est la variation qui crée le modele.
    Trollus vulgaris

  5. #4
    invite69152375

    Smile Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Bonsoir, et merci pour l'intérêt, si maladroitement formulée soit-elle, porté à la question.

    Mailou75 :
    c’est pas compliqué la cosmo...
    Je veux bien, mais la conjugaison de tous les paramètres cosmologiques amène un nombre de solutions possibles largement supérieur au nombre issu de la combinaison de mes neurones. Comme ça ne rentre pas dans la boîte dédiée, je crois qu'une solution est de simplifier au maxi, puis d'ajouter petit à petit, pour éviter que ça déborde : pendant que je passe la serpillière, je ne me baigne pas... --->

    Non du tout, ce n’est pas considéré comme une vitesse. Le redshift cosmo n’est pas un Doppler.
    Mais là pour etre au milieu il faut etre au milieu de la distance comobile
    La mise bout-à-bout de ces deux phrases répond exactement à ma question, me montrant que ces distances comobiles sont identiques, vues par n'importe lequel des trois amas que j'avais proposés. Merci.

    Il en est créé du coup une autre :
    si l’espace n’est pas assez rapide les photons ne «reculeront» pas
    J'ai cru bien voir que l'horizon des évènements est lié au rapport entre la vitesse de la lumière et le redshift cosmologique, et se situe là où ce rapport est égal à 1. Tout celà est mal dit de ma part, veullez m'en excuser. Au-delà, j'ai vu que vous avez mis des guillemets, mais tout-de même, "reculer" me trouble, quand il est dit dans beaucoup d'écrits que la vitesse de la lumière (donc des photons ?) est toujours égale à une valeur constante.

    s’il l’est trop ils ne reviendront jamais
    Vous voulez dire : "reviendront" du verbe "revenir" ? revenir où? Peut-être alors est-ce ça que je n'ai pas du tout compris ; il y aurait un aller-retour?

    Amanuensis :
    Il y a eu d'excellent posts décriant les différentes notions de distance, à rechercher dans le forum.
    Je vais chercher ces posts décrivant ces notions, j'en ai déjà lu, mais pour un néophyte, c'est un peu la jungle, je vais tenter de m'accrocher, merci.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Mailou75

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    ,
    La mise bout-à-bout de ces deux phrases répond exactement à ma question, me montrant que ces distances comobiles sont identiques, vues par n'importe lequel des trois amas que j'avais proposés. Merci.
    Pas du tout, la distance comobile n’est pas vue c’est la distance angulaire qui est vue.

    Je n’ai pas trop le temps de répondre essaye de lire ceci, perso ce genre de dessin m’aide a comprendre https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6180912 (c’est un peu pretentieux de link mes propres réponses, tu peux trouver ailleurs d’autres moyens de voir les choses en surfant un peu )
    Trollus vulgaris

  8. #6
    Mailou75

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    J'ai cru bien voir que l'horizon des évènements est lié au rapport entre la vitesse de la lumière et le redshift cosmologique, et se situe là où ce rapport est égal à 1.
    Ca ne veut pas dire grand chose..

    Au-delà, j'ai vu que vous avez mis des guillemets, mais tout-de même, "reculer" me trouble, quand il est dit dans beaucoup d'écrits que la vitesse de la lumière (donc des photons ?) est toujours égale à une valeur constante.

    Vous voulez dire : "reviendront" du verbe "revenir" ? revenir où? Peut-être alors est-ce ça que je n'ai pas du tout compris ; il y aurait un aller-retour?
    Non c’est moi qui suis un peu pressé je prend des raccourcis. Le photon recule par rapport à l’observateur parce que l’espace s’etend plus vite, le photon va bien a c. Ensuite l’expansion ralentit et le photon arrive jusqu’à nous.
    Trollus vulgaris

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  10. #7
    invite69152375

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Mailou 75 : Pas du tout, la distance comobile n’est pas vue c’est la distance angulaire qui est vue.
    Ok. Mais je n'en suis pas à me poser des questions sur ce qui n'est pas perceptible, donc les distances comobiles ne concernent pas mon interrogation. C'est bien par rapport à ce qui est vu que ma question était exprimée.

  11. #8
    invite69152375

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Ensuite l’expansion ralentit et le photon arrive jusqu’à nous.
    Ceci est vrai aussi dans le contexte de la question ? :
    dans le cadre d'une expansion constante dans le temps, par exemple, pour simplifier.

  12. #9
    Mailou75

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Ok. Mais je n'en suis pas à me poser des questions sur ce qui n'est pas perceptible, donc les distances comobiles ne concernent pas mon interrogation. C'est bien par rapport à ce qui est vu que ma question était exprimée.
    L’ennui c’est qu’il y a plusieurs combinaisons possibles qui font que la réponse sera differente selon le cas. Suivant où ils se trouvent, trois objets alignés A B et C de plus en plus loin dans l’espace comobile peuvent etre vus de plus en plus près dans le sens C B A. Il n’y a pas de réponse unique a ta question, il est plus utile de comprendre comment ca marche. Sinon pose une question chiffrée en precisant le type de distance dont tu parles et tu auras une reponse, pour un cas... s’il s’agit du «milieu» en distance lookback time tu ne pourras pas parler de «voir» donc de milieu apparent et la question n’aura pas de sens. Si j’ai compris un truc a force de trainer sur le forum c’est que quand ta question est bien formulée tu as déjà ta réponse, ou presque

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Ceci est vrai aussi dans le contexte de la question ?
    Oui sans doute, jamais etudié la question.
    Trollus vulgaris

  13. #10
    invite69152375

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Ben, là, du coup, je ne sais pas trop comment le dire, parce que :
    [/Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Ceci est vrai aussi dans le contexte de la question ?
    Oui sans doute, jamais etudié la question.
    Il s'agit ici du contexte de la question initiale que j'ai exprimée dans le post n°1, où j'ai écris ; "dans le cadre d'une expansion constante dans le temps, par exemple, pour simplifier.". Vous me dites ici que vous n'avez jamais étudié la question...je vous remercie d'avoir répondu à ma question sans l'avoir étudiée.
    quand ta question est bien formulée tu as déjà ta réponse, ou presque
    Je vais faire un effort en ce sens.
    Merci.

  14. #11
    yves95210

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Il s'agit ici du contexte de la question initiale que j'ai exprimée dans le post n°1, où j'ai écris ; "dans le cadre d'une expansion constante dans le temps, par exemple, pour simplifier."
    Bonjour,

    Cet exemple correspond au cas d'un espace-temps vide de matière, avec une constante cosmologique non nulle. L'équation de Friedmann (solution des équations de la relativité générale pour un univers homogène et isotrope) donne alors

    est le taux d'expansion, est le facteur d'échelle(*) et la constante cosmologique. Il en résulte


    (*) Le facteur d'échelle détermine la distance entre deux points d'une section spatiale à t constant de l'espace-temps (celle qu'on pourrait mesurer avec des règles si on pouvait figer l'espace-temps à l'instant t). Cette distance ne correspond pas directement à quelque-chose d'observable, car lorsqu'on reçoit à l'instant les photons (la lumière) provenant d'une galaxie lointaine, ces photons ont été émis à un instant .

    Pour en revenir à la question que tu posais dans le post #1, considérons un observateur situé dans une galaxie G1 située "à mi-chemin" de deux autres galaxies G0 et G2 (dans un espace-temps homogène et isotrope ce "à mi-chemin" sera vrai quelle que soit le type de distance choisi, en particulier la distance comobile). Le temps de parcours des photons qu'il reçoit de G0 et G2 est le même. Les photons qu'il reçoit de ces deux galaxies en ont été émis en , lorsque le facteur d'échelle valait . Si G0 et G2 sont identiques, leurs images pour l'observateur sont bien identiques.
    Considérons maintenant un observateur situé dans la galaxie G0 à la date telle que les photons émis par G1 en sont reçus en par l'observateur. Le temps de parcours des photons entre G1 et G0 est . Le temps de parcours des photons entre G2 et G0 est .
    Compte-tenu de l'accroissement du facteur d'échelle, même sans faire de calcul, tu peux facilement te rendre compte que, pour un photon émis par G2 en , son temps de parcours entre G2 et G1, est inférieur à celui du parcours entre G1 et G0, .
    Tu peux aussi te rendre compte que pour l'observateur situé en G0, le diamètre apparent de G2 n'est pas la moitié de celui de G1.
    D'autre part, pour cet observateur, le redshift de G1 est
    et celui de G2 est .
    Bref, aucune observation "naïve" ne lui permet de déduire que G1 se trouve "à mi-chemin" de G0 et G2 (i.e. à la même distance comobile). Il faut forcément faire des calculs pour obtenir ce résultat, même dans l'exemple "simple" que tu évoques.

  15. #12
    Mailou75

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    je vous remercie d'avoir répondu à ma question sans l'avoir étudiée.
    J'avais cru comprendre que c'est le modèle "officiel" qui vous intéressait et que, par peur de ne pas comprendre la réponse, on avait le droit de prendre une expansion constante. Vu la réponse de Yves95210, le modèle n'a pas l'air tellement plus simple... mais j'espère que la réponse vous convient.
    Trollus vulgaris

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  17. #13
    Lansberg

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Bonjour,

    d'autre part je ne suis pas sûr que Cayuga et Yves95210 parlent de la même chose ! Est-ce que par "expansion constante" (??) il est sous entendu "taux d'expansion constant" (qui conduit à une expansion exponentielle) ?

  18. #14
    yves95210

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par Lansberg Voir le message
    d'autre part je ne suis pas sûr que Cayuga et Yves95210 parlent de la même chose ! Est-ce que par "expansion constante" (??) il est sous entendu "taux d'expansion constant" (qui conduit à une expansion exponentielle) ?
    Je ne vois pas comment le comprendre autrement (Cayuga pourra nous dire si c'est bien ça qu'il voulait dire).

    Mais de toute façon ce n'était qu'un exemple, et ma réponse avait pour but de montrer que cette hypothèse apparemment simplificatrice ne simplifiait pas vraiment les choses et ne dispensait pas de faire des calculs.

    PS : je ne suis pas bien sûr qu'un modèle conduisant à une croissance linéaire du facteur d'échelle soit plus "simple" (ni même qu'il soit possible d'en construire un - mais je n'y ai pas réfléchi).

  19. #15
    Lansberg

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par yves95210 Voir le message
    PS : je ne suis pas bien sûr qu'un modèle conduisant à une croissance linéaire du facteur d'échelle soit plus "simple" (ni même qu'il soit possible d'en construire un - mais je n'y ai pas réfléchi).
    Il faudrait Ωm = 0 et Ωlambda =0 (ou des valeurs très proches de 0) ! Je ne sais pas si ça fait partie du champ des possibles.

  20. #16
    yves95210

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Citation Envoyé par Lansberg Voir le message
    Il faudrait Ωm = 0 et Ωlambda =0 (ou des valeurs très proches de 0) ! Je ne sais pas si ça fait partie du champ des possibles.
    En fait, oui : avec Lambda =0 et une courbure spatiale négative, et pour t assez grand pour que Ωm << 1.

    (mais on s'écarte un peu du sujet - et ça ne simplifie pas le calcul des distances... J'avais volontairement écrit l'équation de Friedmann sans courbure spatiale pour ne pas compliquer les choses)

  21. #17
    Lansberg

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    En effet. Ne compliquons pas le sujet (qui n'est déjà pas évident) et attendons les remarques de Cayuga.

  22. #18
    papy-alain

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Le problème soulevé à propos des trois galaxies A, B et C n'est pas évident, car une représentation simpliste ferait appel à une notion de simultanéité, très délicate à traiter ici. De plus, on formule des hypothèses à partir d'images d'un objet vu tel qu'il était il y a 5 G-années, et un autre tel qu'il était il y a 10 G-années. Il est fort probable que les objets dont on parle n'existent plus (par exemple par fusion avec d'autres galaxies). C'est toute la difficulté de la cosmologie : on peut dresser une carte de ce qu'on voit, mais on n'a aucune idée de l'univers qu'on observerait si la vitesse de la lumière était infinie.
    Les météorites ne peuvent exister car il n'y a pas de pierres dans le ciel. Lavoisier.

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  24. #19
    yves95210

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Bonjour,

    Citation Envoyé par papy-alain Voir le message
    Le problème soulevé à propos des trois galaxies A, B et C n'est pas évident, car une représentation simpliste ferait appel à une notion de simultanéité, très délicate à traiter ici. De plus, on formule des hypothèses à partir d'images d'un objet vu tel qu'il était il y a 5 G-années, et un autre tel qu'il était il y a 10 G-années. Il est fort probable que les objets dont on parle n'existent plus (par exemple par fusion avec d'autres galaxies). C'est toute la difficulté de la cosmologie : on peut dresser une carte de ce qu'on voit, mais on n'a aucune idée de l'univers qu'on observerait si la vitesse de la lumière était infinie.
    Oui. Il ne faut pas perdre de vue que ce qu'on voit appartient à notre passé, plus ou moins lointain en fonction de la "distance" de l'objet observé et donc du temps que son "image" a mis à nous parvenir.
    Néanmoins l'hypothèse d'homogénéité de l'univers à grande échelle nous permet de supposer que l'évolution des objets dont nous observons le passé lointain ressemble à celle des objets de l'univers proche. Et le fait de disposer d'observations ainsi échelonnées dans le temps est particulièrement intéressant quand il s'agit d'étudier l'évolution de ces objets. Ce ne sont évidemment pas les mêmes objets qu'on observe aux différentes époques, mais on peut déduire de ces observations des principes génériques sur la formation des galaxies, des amas, etc.
    C'est uniquement dans ce sens qu'une notion de simultanéité présente un intérêt : dans le modèle d'espace-temps issu d'un "big-bang" ayant eu lieu partout en même temps, cela permet (malgré la relativité) de parler du temps cosmique comme d'un temps absolu. Les objets que nous observons à un même redshift ont le même âge (par rapport à la date du big-bang) et appartiennent à une même "tranche" de simultanéité (une hypersurface spatiale) au sein de laquelle les distances entre deux objets peuvent être calculées de manière univoque.

    Quant à savoir ce qu'une galaxie particulière (ou un amas) est devenue "aujourd'hui", c'est effectivement impossible, mais de toute façon sans grand intérêt puisque nous n'avons aucun moyen de le vérifier expérimentalement...

  25. #20
    invite69152375

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Bonsoir,

    Veuillez excuser ma présence en pointillés, disponibilité est maîtresse...

    Lansberg a écrit :
    Est-ce que par "expansion constante" (??) il est sous entendu "taux d'expansion constant" (qui conduit à une expansion exponentielle) ?
    Yves95210 a écrit :
    Je ne vois pas comment le comprendre autrement (Cayuga pourra nous dire si c'est bien ça qu'il voulait dire).
    En effet, c'est comme ça que je voulais l'exprimer.

    Mais de toute façon ce n'était qu'un exemple, et ma réponse avait pour but de montrer que cette hypothèse apparemment simplificatrice ne simplifiait pas vraiment les choses et ne dispensait pas de faire des calculs.
    Oui. Et c'est précisément ce que je cherche à détecter : vous êtes unanimes à exprimer, ici ou ailleurs, que cette abstention d'intégration liée à la non-prise en compte d'une variation du taux d'expansion dans le temps, amène, contrairement à ce que peut entrevoir un néophyte crédule, tel que moi, à au minimum des relations aussi complexes, et au pire, une complexification.

    Je fais au mieux, au fûr et à mesure des interventions ici, pour consulter des écrits liés, sur ce forum ou ailleurs. Mais c'est long, (consulter, encore bien plus s'approprier, plus encore digérer), d'où, au-delà de la disponibilité liée à la vie de tous les jours, le "pointillé" de présence ici.
    Le plus long et le plus difficile n'est pas un apprentissage de formules et la capacité à les appliquer (même si déjà c'est difficile en soi), mais d'atteindre une vision mentale (soit-elle tronquée) géométrique cohérente, parlante, de ces formules.
    Merci pour déjà ces écrits, à très bientôt, et toute nouvelle intervention de qui le souhaite sera une nouvelle graine...
    Merci.
    Dernière modification par cayuga ; 28/12/2018 à 22h48.

  26. #21
    yves95210

    Re : C'est quoi l'expansion en terme de dynamique

    Salut,
    Citation Envoyé par cayuga Voir le message
    Oui. Et c'est précisément ce que je cherche à détecter : vous êtes unanimes à exprimer, ici ou ailleurs, que cette abstention d'intégration liée à la non-prise en compte d'une variation du taux d'expansion dans le temps, amène, contrairement à ce que peut entrevoir un néophyte crédule, tel que moi, à au minimum des relations aussi complexes, et au pire, une complexification.

    Je fais au mieux, au fûr et à mesure des interventions ici, pour consulter des écrits liés, sur ce forum ou ailleurs. Mais c'est long, (consulter, encore bien plus s'approprier, plus encore digérer), d'où, au-delà de la disponibilité liée à la vie de tous les jours, le "pointillé" de présence ici.
    Le plus long et le plus difficile n'est pas un apprentissage de formules et la capacité à les appliquer (même si déjà c'est difficile en soi), mais d'atteindre une vision mentale (soit-elle tronquée) géométrique cohérente, parlante, de ces formules.
    Je ne sais pas quel est ton niveau en math/physique, donc c'est difficile de te conseiller des lectures. Mais si tu parles d'apprentissage de formules, c'est sans-doute que tu as le bagage nécessaire pour les comprendre, au moins mathématiquement.
    Dans ce cas, plutôt que de picorer à droite et à gauche (sur le forum et ailleurs) ça serait plus efficace de lire un cours de cosmologie, si possible un dans lequel sont abordés les fondements de la relativité générale(*), histoire de comprendre d'où viennent certaines de ces formules.
    Par exemple celui de James Rich - je l'avais trouvé disponible en ligne il y a quelque temps, en anglais et en français; mais je ne trouve plus que des liens permettant d'acheter le livre, donc je suppose qu'il n'est pas libre de droits. En revanche tu trouveras les transparents d'un cours qu'il a donné en 2013-2014. ça ne te donnera pas toutes les explications (que tu peux chercher ailleurs ou demander ici), mais au moins une trame à suivre dans ton apprentissage.

    (*) même sans assimiler tout le formalisme tensoriel de la RG ou de notions poussées de géométrie différentielle, le minimum nécessaire est de comprendre ce qu'est une métrique de l'espace-temps, ce que dit l'équation d'Einstein (qui relie la courbure de l'espace-temps avec son contenu en matière/énergie), comment elle s'applique (de manière très simplifiée grâce aux symétries d'un espace homogène et isotrope) à la métrique FLRW (Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker), dont découlent les équations de Friedmann sur lesquelles se base(nt) le(s) modèle(s) cosmologique(s).


    Sinon, plus spécifiquement à propos des différentes notions de distance en cosmologie, l'article wikipedia en anglais n'est pas mal fait (celui en français est moins détaillé). Il te donnera en particulier les formules qui vont bien - à condition d'avoir compris ce que sont le facteur d'échelle, le taux d'expansion et le redshift (mais pour ça tu peux suivre les liens dans l'article). Tu verras que toutes ces distances peuvent se calculer à partir des résultats d'observation et des paramètres de densité du modèle standard LambdaCDM; et dans le cas d'un espace-temps de sections spatiales "plates" (de courbure spatiale nulle), les formules ne sont pas trop compliquées, à part celle qui permet d'obtenir la distance comobile, qui ne peut s'intégrer que numériquement dans le cas général (mais il existe des calculateurs en ligne qui permettent de le faire, par exemple celui-ci).
    De fait, on n'observe jamais directement des distances, mais
    - des redshifts (décalage vers le rouge dépendant de la vitesse d'éloignement de l'objet concerné, et donc indirectement de sa distance),
    - des tailles angulaires (ou l'angle apparent entre deux objets de même redshift),
    - des (rapports de) luminosités (utiles en particulier quand il s'agit de "chandelles standard" dont on connaît la luminosité absolue en fonction d'autres caractéristiques physiques : c'est comme ça qu'on a découvert l'accélération de l'expansion à partir de la relation entre la luminosité de certaines supernovas et leur redshift).

    Bon courage !

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