Représentation de l'évolution d'un système de deux masses soumis à la gravitation

[ASan78]

Bonjour,

Je cherche à modéliser, en 2D l'évolution de corps soumis uniquement à la gravitation (dans le cadre des lois de Newton, c'est-à-dire dans un espace-temps rigide, dans un premier temps).

Je me place donc donc un repère (0xy) qui représente un référentiel galiléen. Je place deux masses ponctuels M1 et M2. Mon but est de créer une animation qui représente l'évolution temporelle du système M1 M2 au cours du temps.

Pour cela, je calcule au temps t0 la force de gravité f12_t0 de M1 sur M2 et inversement (je remarque notamment que f12_t0 = f21_t0) Je déplace les masses, et je recommence au temps t1.

Cependant, intuitivement, pour des masses différentes, l'inertie de la masse M1 et de la masse M2 étant différentes, la masse la plus lourde va "moins bouger" dans mon référentiel galiléen (0xy). Je n'arrive pas à trouver comment représenter cette différence d'inertie sur l'évolution temporelle.

Merci d'avance,

Asan
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[Amanuensis]

Si le référentiel est choisi de manière à ce que le centre de masse du système soit immobile, alors les deux masses suivent des ellipses de même aplatissement avec la masse la plus grande suivant une ellipse plus petite que celle suivie par la masse la plus grande.

[ASan78]

Je pense que ce que tu décris est l'évolution d'un système de deux masses avec des vitesses initiales non colinéaires et d'amplitude non nulles. Par ailleurs, il me semble que l'asymétrie entre les deux ellipses dans ce cas provient de l'inertie de la masse la plus lourde, ce qui est représenté de façon quantitative par une force d'inertie qui agit à l'opposé de la force de gravitation, ce que j'aimerai quantifier.

Pour le moment, je me place dans le cas de deux masses initialement au repos, du point de vue d'un référentiel galiléen (mon repère Oxy).

[Mailou75]

Salut,

Oui, ce que decris Amanuensis est l'etat d'un systeme de deux masses en equilibre. Si les masses sont differentes les ellipses le seront aussi mais leur foyer occupera le centre de masse du systeme.

Ce que tu cherches c'est, si on prend deux masses ayant des vitesses inititiales nulles, de quelle maniere elles vont tomber l'une vers l'autre. On peut discocier plusieurs cas :

- les masses ne sont pas comparables M>>m : Dans ce cas il faudra appliquer simplement la formule de chute libre d'un corps "test" vers une masse donnée M supposée ponctuelle pour le calcul

- les masses sont egales m=m : Elles chuteront symetriquement vers le centre de masse. Je ne sais pas si tu as le droit alors d'appliquer la formule precedente de chute vers un centre de masse (M=m+m). Note que la chute n'a rien a voir avec la masse mais avec la vitesse initiale, si on ajoute une plume a coté d'un des corps elle chutera en meme temps que lui.

- le masses sont comparables mais differentes M>m : Meme remarque que precedement. A t on le droit d'appliquer deux chutes vers une masse totale M'=M+m ? Dans ce cas la masse la plus lourde arrivera avant la legere au centre de masse simplement parce que celui ci est plus près (il n'est pas au centre comme dans le cas m=m).

Voila, un peu de reponse, beaucoup de questions. Pour la formule elle meme tu peux appliquer celle ci (http://forums.futura-sciences.com/ne...eply&p=5942396) donnée par Calvert. On en trouve une tripotée qui donnent le meme resultat mais celle ci a l'avantage d'etre "generaliste" : tu peux definir une vitesse initiale eventuellement supperieure a la vitesse de liberation locale.

A +
Mailou

[A voir en vidéo sur Futura]

[Calvert]

Voila, un peu de reponse, beaucoup de questions. Pour la formule elle meme tu peux appliquer celle ci (http://forums.futura-sciences.com/ne...eply&p=5942396) donnée par Calvert. On en trouve une tripotée qui donnent le meme resultat mais celle ci a l'avantage d'etre "generaliste" : tu peux definir une vitesse initiale eventuellement supperieure a la vitesse de liberation locale.

Les formules du poste mentionné sont pour une masse test (soit une masse négligeable devant la masse principale). Dans le cas de deux masses comparables, elles ne s'appliquent pas.

[Mailou75]

Les formules du poste mentionné sont pour une masse test (soit une masse négligeable devant la masse principale). Dans le cas de deux masses comparables, elles ne s'appliquent pas.

Normal... Connais tu celle qu'il faut utiliser ? merci

[ASan78]

Mon but étant d'écrire un code permettant de voir l'evolution temporelle d'un ensemble de masses quelconques (donc potentiellement de masses comparables également), j'aimerai trouver la formule qui s'applique en toute généralité.

Peut-on faire le raisonnement suivant : soient deux masses (ponctuelles) M1 et M2 au repos à t=t_0 et soumis uniquement à la force de gravité les reliant. Intuitivement, ces deux masses vont peu à peu accélerer l'une vers l'autre pour se rencontrer à leur centre de gravité. Peut-on alors écrire le vecteur accélération f12 (l'accélération de M1 dû à la force de gravité de M2) comme :

où est le vecteur unité de M1 vers M2.

Ainsi, à l'instant t=t_1, je déplace M1 en M1 + f_{12}. De même pour M2. Et je recalcule la force avec les nouvelles coordonnées.

[Calvert]

Salut,

la force entre la masse 1 et la masse 2 est :



avec M₁ et M₂ les deux masses, r₁₂ la norme du vecteur position entre les deux masses, et le vecteur unitaire du vecteur position reliant les deux masses.

L'accélération de la masse 1 est



Avec le plus simple des algorithmes possibles, l'évolution du système peut être calculée comme :





avec t0 les grandeurs prises en t = t0 et t1 les grandeurs au pas de temps suivant.

Une bien meilleure convergence peut-être obtenue avec des algorithmes plus sophistiqués, du genre Runge-Kutta d'ordre 4.

[ASan78]

Salut,

Merci pour cette réponse, ça m'a bien été utile. J'ai pu bien avancer sur la représentation de l'évolution de mon système de deux masses ponctuelles via MATLAB et cela me semble cohérent. J'ai également pu regarder les cas où les masses ont une vitesse initiale non nulle et regarder l'évolution. Par exemple, j'obtiens quelque chose comme ça (pour des valeurs particulières de vitesse initiale v1 et v2 telles que M1*v1-M2*v2 =0)

La courbe de gauche représente le déplacement des masses M1 et M2 dans mon référentiel galiléen. La courbe de droite représente la distance entre les deux masses au cours du temps (tout en est unités arbitraires). Peut-on expliquer ce schéma particulier (les sommets des crêtes semblent croître de façon linéaire et les minimums semblent constants) ?

Par ailleurs, j'ai tracé (point en bleu) le centre de gravité du système M1+M2 qui, dans ce cas, est immobile dans le référentiel choisi (dû au choix de mes vitesses initiales ?). En changeant les vitesses initiales, il semble que j'obtienne tout le temps que l'évolution du centre de gravité dans le temps soit toujours représentée par une droite. Est-ce normal ? Si oui, pourquoi et comment relier cela au choix de vitesses initiales ?

Enfin, j'aimerai maintenant m'intéresser au cas de systèmes de plus de deux masses. Suffit-il, pour chaque masse i, de calculer l'accélération résultante de la force de gravité induite par chaque autre masse, c'est-à-dire :

et d'appliquer ensuite la même solution ?

Bonne soirée,

Asan

[tierri]

- le masses sont comparables mais differentes M>m : Meme remarque que precedement. A t on le droit d'appliquer deux chutes vers une masse totale M'=M+m ? Dans ce cas la masse la plus lourde arrivera avant la legere au centre de masse simplement parce que celui ci est plus près (il n'est pas au centre comme dans le cas m=m).

Je ne suis pas du tout convaincu par cette affirmation, j'aurais plutôt pensé que les deux masses arriveront en même temps au centre de masse, et ce quelle que soient leurs masses réciproques.
La masse la plus lourde est en effet plus proche du centre de masse mais elle s'en rapproche plus lentement car la force d'attraction gravitationnelle qu'elle subit de l'autre masse est inférieure, la combinaison de ces deux critères les fait arriver en même temps.
Désolé d'intervenir ainsi dans cette discussion mais je me suis senti obligé de corriger cette petite imprécision.

[Calvert]

Salut,

le fait que tu aies des sortes de spirales au lieu d'ellipses est un problème numérique (ton schéma numérique conserve mal l'énergie totale du système). Quel schéma utilises-tu finalement ? Ca devrait s'améliorer si tu choisis des pas de temps plus petits.

Il faut que tu te penches un peu sur ces problèmes avant d'ajouter des corps, sinon, les résultats seront assez médiocres.

[Mailou75]

Des masses qui s'eloignent au cours du temps ? Y'a un loup c'est sur...

[ASan78]

Merci pour ta réponse

Je pense que le problème venait du pas de temps qui était long. Si je me place dans un référentiel galiléen associé à l'une de deux masses, avec un pas de temps très petit, j'obtiens la figure suivante.

Ce qui semble plus cohérent, en effet.