métrique dynamique

[markusbloch]

En symétrie sphérique, pour l'espace vide en dehors d'une masse centrale, la métrique en coordonnées de Schwarzschild fournit une solution uniquement statique. Et, si j'ai bien compris, compte tenu de la nature tensorielle des équations d'Einstein, il n'existe aucune métrique dynamique dans ce même espace, avec d'autres coordonnées. Question:si on recherche une métrique dynamique avec un autre système de coordonnées que celui de Schwarzschild, on s'attend donc à trouver à nouveau zéro solution, mais existe-t-il des systèmes de coordonnées dans lesquels on trouve, non pas zéro solution, mais plus de une ?
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[Deedee81]

Salut,

Bienvenue sur Futura.

Il faudrait que tu précises ce que tu entends par dynamique.
Car des métriques avec des coefficients dépendant du temps, c'est trivial.
Et même pour la métrique de Schwarzschild (peu importe le choix des coordonnées) certains auteurs parlent d'espace-temps dynamique sous l'horizon (par exemple Kip Thorn) cr aucun objet ne peut y être stationnaire.
Donc sans une définition rigoureuse et strictement sans ambiguïté de "métrique dynamique", il est impossible de répondre à la question.

Note aussi que les solutions générales pour une masse sphérique sans effondrement gravitationnel sont extrêmement larges. Typiquement des solutions multipolaires (merci à Rincevent qui me l'avait indiqué lors de mes débuts sur Futura :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Champ_...t_multipolaire

P.S. les solutions des équations d'Einstein ou des métriques ne dépend pas du choix des coordonnées. Tout comme la géographie de la Terre ne dépend pas du choix du méridien de Paris ou de Greenwich.

[Amanuensis]

En symétrie sphérique, pour l'espace vide en dehors d'une masse centrale, la métrique en coordonnées de Schwarzschild fournit une solution uniquement statique.

Correct (c'est le théorème de Birkhoff (1)), en se limitant à r>GM/c² (le «champ extérieur»), où r est le rayon aréal (même chose que la coordonnées de Schwarzschild) et M la valeur de la masse.

Et, si j'ai bien compris, compte tenu de la nature tensorielle des équations d'Einstein, il n'existe aucune métrique dynamique dans ce même espace, avec d'autres coordonnées.

La propriété de staticité est intrinsèque: existence d'un champ de Killing de genre temps.

si on recherche une métrique dynamique avec un autre système de coordonnées que celui de Schwarzschild, on s'attend donc à trouver à nouveau zéro solution

?? Si la question est de trouver des «métriques» (des systèmes de coordonnées) non statiques, on en trouvera plein, suffit que soit couvert plus que la région r>2GM/c².

, mais existe-t-il des systèmes de coordonnées dans lesquels on trouve, non pas zéro solution, mais plus de une ?

Pour un espace-temps donné, le choix d'un système de coordonnées (x_i) impose de manière unique la formulation de la métrique en termes de x_i et de dx_i. La «métrique», en tant que champ de formes bilinéaires symétriques de signature (1,3), est une propriété intrinsèque de l'espace-temps en question, seule son expression change quand on change de système de coordonnées.

(1) Le théorème de Birkhoff stipule que toute solution des équations de champs d'Einstein pour le vide doit être statique et asymptotiquement plate (https://en.wikipedia.org/wiki/Birkho...m_(relativity)). C'est limité aux solutions sans rotation (la solution de Kerr n'est pas statique, seulement stationnaire, le champ de Killing lié à t n'étant pas irrotationnel).

Notons qu'il s'agit des équations avec constante cosmologique nulle, i.e., Λ non nul est vu comme faisant partie du Tµν, le rendant non nul si Λ non nul.

[markusbloch]

Merci pour ces réponses. Voici le sens précis de ma question: J'ai voulu, pour réaliser un exercice complet de calcul de métrique, partir d'une écriture différente de celle de Schwarzschild, en prenant des inconnues différentes. Au bout du compte, j'ai été étonné du résultat. J'ai constaté que, dans le tenseur de Ricci que j'ai obtenu, l'indépendance des fonctions par rapport à la coordonnées t n'était plus visible a priori. On pouvait pousser les calculs en gardant la dépendance en t. Finalement, j'ai obtenu deux solutions légèrement différentes pour la métrique; les deux solutions dépendent de t par l'intermédiaire d'un coefficient d'accélération "a1". Les deux solutions sont bien identiques pour le cas statique (a1=0). Les deux solutions n'ont pas le même statut. Elles sont discriminées par le calcul de la courbure scalaire , qui est strictement nulle pour l'une, et différente de zéro pour l'autre.
Au final, voici le résultat:
J'obtiens une seule métrique (celle pour laquelle la courbure scalaire est nulle)
3 équations sur 4 sont vérifiées , mais le résidu sur l'équation non vérifiée est du deuxième ordre en "a1",
alors que la correction sur le mouvement induite par "a1" est linéaire en première approximation.
Le mouvement décrit par cette métrique est en première approximation une spirale d'Archimède.
Il est probable que le mouvement décrit par la deuxième métrique est similaire à l'ordre 1 (mais je n'ai pas fait le calcul)
D'où la question : Est-ce que cette métrique peut avoir un sens physique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Difficile de répondre sans voir la métrique!

Par ailleurs, tout changement de coordonnées à partir de la métrique de Schwarzschild ne peut donner qu'un tenseur de Ricci (et donc une courbure scalaire) nul, c'est un invariant.

[markusbloch]

Ci-joint la description de la métrique (sans les calculs volumineux, qui sont disponibles)

[yves95210]

Bonsoir,

J'ai ouvert ton document. Dans sa forme initiale, il me semble que ta métrique est en fait la métrique de Lemaître-Tolman-Bondi (LTB), qui est générale pour un espace-temps isotrope mais pas forcément homogène (i.e. la densité de matière dépend uniquement de la coordonnée radiale) - à un changement de coordonnées près puisque la métrique LTB s'exprime habituellement avec un coefficient 1 devant dt².
Voir par exemple l'article de Tolman datant de 1934 (dans des publications plus récentes ou dans l'article wikipedia, les coefficients de la métrique sont exprimés sous une autre forme).

Je n'ai pas le courage de vérifier tes calculs (en tout cas pas maintenant) mais :
Dans le vide la métrique LTB se réduit effectivement à la métrique de Schwarzschild.
Avec une densité de matière homogène, elle se réduit à la métrique FLRW (non stationnaire, puisque c'est celle qui conduit à prédire l'expansion de l'univers).
Avec une densité de matière non homogène, c'est un peu plus compliqué (mais pas trop) : la solution dépend de plusieurs paramètres qui doivent être déterminés d'après les conditions aux limites. Comme pour la métrique FLRW, la forme de la solution dépend de la courbure scalaire. Mais de manière générale, elle n'est pas stationnaire.

En revanche, le fait d'imposer comme tu le fais n'a (peut-être ?) pas de sens physique.

[markusbloch]

Merci d'avoir lu le document. L'idée d'imposer lambda = Nu (je ne sais pas comment on met des symboles dans cet éditeur) m'est venu en refaisant à titre d'exercice un calcul de métrique dans l'espace-temps 1D+1 ; dans ce domaine, le tenseur d'Einstein est identiquement nul, mais il ne semble pas interdit de tenter de trouver une solution en utilisant le tenseur de Ricci. Et là, en faisant les calculs avec lambda et Nu en inconnus, on trouve une solution de métrique statique qui, en variables réelles, s'exprime sous la forme d2L/dT2 + kL =0, ce qui correspond au mouvement sur un cercle d'une particule dans une géométrie sphérique avec un corps central, lorsqu'on observe le mouvement longitudinal sur la tranche de l'écliptique. Ensuite, j'ai tenté la métrique dynamique, et j'ai constaté que le fait d'imposer : lambda = Nu avait un impact magique sur l'équation, à savoir qu'elle se transforme instantanément en une équation de propagation d'onde 1D; en géométrie 1D+1, imposer lambda=Nu revient à symétriser strictement l'espace et le temps. En géométrie 3D+1, l'effet est peut-être similaire: on impose ainsi une symétrisation forte entre le traitement de dt et celui de dr.

[Amanuensis]

Comme une relation tensorielle est valable dans tout système de coordonnées valide, on en déduit qu’il ne
peut exister de métrique à symétrie sphérique non statique.

Juste pour rappeler que



Est solution du vide de symétrie sphérique, et n'est pas statique. dΩ² est un raccourci pour par exemple dθ²+sin²θdφ²

[Au passage, que dit exactement le théorème de Birkhoff?]

[Amanuensis]

En revanche, le fait d'imposer comme tu le fais n'a (peut-être ?) pas de sens physique.

Cette condition a au moins pour solution la métrique de Kruskal-Szekeres.

Pas bien clair pour moi la raison d'invoquer le sens physique pour des contraintes sur des coordonnées.

[yves95210]

Cette condition a au moins pour solution la métrique de Kruskal-Szekeres.

Pas bien clair pour moi la raison d'invoquer le sens physique pour des contraintes sur des coordonnées.

Oui, j'ai écrit une grosse bêtise.

[mach3]

(je ne sais pas comment on met des symboles dans cet éditeur)

Il faut aller faire un petit tour ici :

https://forums.futura-sciences.com/a...e-demploi.html

m@ch3

[Amanuensis]

Perso j'entre les lettres grecques au clavier (avec un pilote adapté), comme α, β, Λ, λ=ν

[markusbloch]

C'est un point qui me contrarie. Car, si la métrique dynamique que j'ai décrite n'a pas de sens physique, alors le principe du choix des coordonnées strictement arbitraire n'est pas affecté; mais si elle a un sens physique, cela veut dire que certains systèmes de coordonnées sont plus intéressants que d'autres pour les métriques dynamiques. Ce seraient des systèmes de coordonnées qui fourniraient une solution approchée, et non plus stricte, des équations d'Einstein, lorsque des hypothèses simplificatrices sont introduites (ici l'hypothèse de symétrie sphérique) étant donné que la véritable solution du problème nécessiterait de tenir compte de fluctuations temporelles transverses (sur les angles), invalidant ainsi l'hypothèse de symétrie sphérique de la métrique.

[markusbloch]

est-ce qu'on peut démontrer simplement que le fait d'imposer Lambda=Nu est complètement légitime sur le plan mathématique ? (aussi légitime que de garder Lambda et Nu et d'imposer : R=r)

[yves95210]

Bonjour,

est-ce qu'on peut démontrer simplement que le fait d'imposer Lambda=Nu est complètement légitime sur le plan mathématique ? (aussi légitime que de garder Lambda et Nu et d'imposer : R=r)

Oui : comme Amanuensis l'a fait remarquer, cette condition revient à faire un changement de coordonnées. Pour qu'il soit légitime, la métrique, en tant que champ tensoriel décrivant la géométrie de l'espace-temps, doit rester la même (celle de Schwarzschild). Et bien sûr aussi les tenseurs de courbure (Riemann et Ricci) qui dérivent de cette métrique.
Par exemple on peut exprimer la métrique de Schwarzschild dans les coordonnées de Kruskal-Szekeres, dans lesquelles, selon tes notations, on a bien lambda=nu.

Mais, comme il s'agit de la même métrique, un changement de coordonnées quel qu'il soit ne peut pas la rendre "dynamique" au-delà de r = 2GM/c². En effet selon le théorème de Birkhoff. toute solution des équations d'Einstein pour un espace-temps vide autour d'une masse centrale est statique pour r > 2GM/c². Je ne fais que répéter ce que Amanuensis a déjà écrit, mais l'as-tu bien compris ?

[markusbloch]

J'ai bien compris qu'il ne pouvait exister une solution non statique exacte dans le vide autour d'une masse centrale, comme cela découle du théorème de l'analyse tensorielle, et comme cela est écrit dans les textes de RG. Il n'est pas dans mes intentions de le remettre en cause de quelle que manière que ce soit. Mon problème est autre : J'ai remarqué que, dans la description de la métrique avec Lambda=Nu, comme je l'ai décrit dans mon texte, il existe quand même une solution non statique; cette solution est unique, mais ce n'est qu'une solution approchée. Explication: Cette métrique dépend d'une constante aH caractérisant l'expansion de l'espace autour de la masse centrale, mais c'est une solution obtenue avec 3 des équations découlant de l'annulation du tenseur de Ricci. La 4ème équation n'est pas vérifiée, comme on s'y attendait, mais on constate que son résidu dépend de aH**2. En conséquence, Les 4 équations sont bien vérifiées au premier ordre en aH. De plus, la courbure scalaire est strictement nulle malgré cette imprécision. On peut montrer que la 4ème équation a un statut à part dans la résolution. Les Géodésiques sont particulièrement intéressantes. En effet, lorsqu'on les calcule avec la fonction R(r,t), on constate que pour le calcul de R en fonction de l'angle dans le plan de déplacement d'une particule, on obtient exactement les mêmes résultats que dans le cas de la métrique statique; seuls changent ensuite les calculs de temps et distances réels, et c'est là que l'on constate que, dans le cas d'une particule massive décrivant approximant un cercle défini par R(PHI), alors les transformations permettant d'obtenir les coordonnées (r,t), puis celles conduisant aux variables réelles (L,T) permettent d'obtenir en (L,T) une spirale d'Archimède dérivant de la déformation du cercle constant R(PHI), et cette déformation est linéaire en aH. La vitesse de la particule reste constante sur la spirale malgré son éloignement progressif de la masse centrale à cause de l'invariance de R(PHI). Ce résultat m'a interpelé à cause du problème de la vitesse anormalement élevée des étoiles dans nombre de galaxies; le raisonnement peut se faire aussi pour l'interaction gravitationnelle des galaxies dans un amas. D'où la question que je me pose : En plus d'être une curiosité mathématique, est-ce que cette métrique approchée au premier ordre peut avoir un sens physique? (Nota: je ne suis pas tout à fait sûr de mes transformations de r en L)

[markusbloch]

Ci-joint un résumé de mon développement sans les détails de calcul.