PFD exprimé avec l'équation des géodésiques

[fabio123]

Bonjour,

je voulais juste avoir une petite précision. Dans l'expression ci-dessous traduisant le PFD (Principe Fondamental de la Dynamique) en calcul tensoriel :




pourquoi cette relation n'est valable apparemment que si l'on dérive par rapport au temps propre de la particule ?

Ne pourrais t-on pas l'exprimer par rapport au temps du référentiel dans lequel la particule est observée ?

Si oui, quelle est la relation pour passer de l'une à l'autre ? un simple ne suffit pas, n'est-ce pas ?

Merci pour vos éclaircissements.
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[mach3]

si on veut utiliser un temps coordonnée comme paramètre de la géodésique plutot que son temps propre, l'expression correcte peut être trouvé ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Geodes...e_as_parameter

je n'ai pas assez travaillé la question (ou depuis trop longtemps) pour en dire plus maintenant sans risquer de dire des bêtises, mais ça devrait déjà orienter un peu.

m@ch3

[azizovsky]

tu peut trouver un début de réponse dans cette discussion : https://forums.futura-sciences.com/a...perturbee.html

dans un espace-temps plat g(0,0)=1, g(1,0)=g(0,1)=0 , g(1,1)=-1, tu trouve la formule

[mach3]

Cette discussion est aussi de lui, ça m'étonnerait que ça l'aide plus...

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[fabio123]

@azizovsky

merci pour ta réponse rapide. Malheureusement, je me place dans le cadre de la relativité générale et non la restreinte où l'espace-temps est plat (métrique de Minkowski).

Question 1) Le problème pour moi est de savoir pourquoi uniquement le paramètre "affine" proportionnel au temps propre convient pour vérifier l'équation des géodésiques :




Si je veux l'exprimer par le temps du référentiel R dans lequel la particule se déplace, je ne peux pas faire simplement un changement de variable : , n'est-ce pas ?

car sinon, je me placerais alors dans le cas de la relativité restreinte.

Question 2) Comment alors exprimer cette équation avec le temps ?

La réponse est donnée je crois par le lien de mach3, à savoir, en prenant



Merci mach3

[mach3]

L'équation fonctionne pour toute fonction affine du temps propre (cela se montre facilement). Donc, dans un cas particulier où le temps propre d'une géodésique serait une fonction affine du temps coordonnée (par exemple mouvement rectiligne uniforme dans l'espace-temps plat), on peut remplacer l'un par l'autre.

Pourquoi c'est forcément une fonction affine du temps propre par contre, là il faut que aller dans le cambouis. Les chapitre 9 et 10 de Gravitation sont pas mal pour ça.

m@ch3

[ThM55]

Cela vient du fait que l'on a une certaine liberté dans la paramétrisation d'une courbe. Elle est donnée par une application de . Et en général le paramètre peut être une fonction non linéaire du temps propre sur cette courbe (entendue comme une ligne d'univers partout de genre temps par exemple). Les seules contraintes sont la différentiabilité et le caractère monotone et bijectif lors du changement de paramètres.


En signature (+---), et si la courbe est de genre temps partout (il faut traiter les courbes nulles séparément), et si on prend comme lagrangien , avec , on obtient pour les équations d'Euler-Lagrange une équation des géodésiques avec un second membre:



Ici la fonction K est la dérivée logarithmique du lagrangien: . C'est facile à vérifier en développant l'équation d'Euler-Lagrange. Evidemment si le paramètre est le temps propre, le lagrangien est constant et vaut 1, son logarithme est constant et vaut zéro, le second membre disparaît. Mais il faut logiquement faire ce choix après la variation, et d'ailleurs ce n'est pas le seul cas où cela a lieu.

En effet, si on change de paramétrisation au moyen d'une fonction bijective dérivable dont l'inverse l'est aussi (un difféomorphisme, choix fait pour éviter les singularités et éventuelles divisions par zéro dans les calculs) , on transforme cette équation en utilisant la règle de dérivation des composées:



(le prime désigne la dérivée par rapport au nouveau paramètre). Pour les dérivées secondes:



On voit alors que le second membre se transforme et a un dénominateur de la forme



Par conséquent on peut toujours retrouver une équation sans second membre si on choisit un paramètre qui vérifie l'équation différentielle



On l'intègre facilement en multipliant d'abord des deux côtés par et on voit qu'elle est équivalente à .

Le truc qu'on voit dans certains traités (par exemple celui de Lewis Ryder, qui le donne sans explication), qui consiste à partir du lagrangien dans le principe variationnel, est équivalent à un tel changement de paramètre, mais appliqué dès le départ. En fait avec la racine carrée, l'action est totalement invariante sous les reparamétrisations. On le voit par l'homogénéité en . Cette invariance n'est plus réalisée si on passe au carré . On peut la rétablir en ajoutant un terme dit "de jauge", mais alors on retrouve notre équation avec second membre.

Si est le temps propre s, l'équation différentielle est simplement et on voit que seules les transformations affines conservent la forme homogène.

[ThM55]

En conclusion, je dirais que la forme de l'équation sans second membre (dite parfois "forme canonique") est toujours possible à partir d'un paramètre quelconque si on effectue le changement de paramétrisation que j'ai indiqué.

En pratique, quand on étudie le mouvement dans un champ connu (par exemple ceui de Schwarschild), on part le plus souvent de la forme avec le temps propre en paramètre. C'est pourquoi cette discussion a peu d'impact dans la pratique et est souvent passée sous silence ou mentionnée seulement très brièvement.

[fabio123]

@ThM55

Merci pour cette explication détaillée, je saisi un peu mieux (pas tout, je vais essayer d'approfondir) ma problématique initiale.