Convention facteur d'échelle

[fabio123]

Bonjour,

je rencontre 2 problèmes, que je croyais pourtant être acquis.

1) J'ai un vieux bouquin de cosmologie dans lequel le facteur d'échelle s'exprime dans la métrique de Roberston-Walker sous la forme :



avec :

Maintenant, je vois majoritairement la notation pour désigner le facteur d'échelle, qui vaut 1 quand t=t0.

Pour essayer de faire le lien avec la première notation, j'en déduis que . Mais si je prends ça, j'ai automatiquement

la distance comobile (et non seulement les coordonnées comobiles) qui apparaît :



Quand je dis distance comobile, je parle de la distance phyisque. à t=t0, c'est à dire : .

Mais le problème est que la coordonnée contenue dans le dénominateur demeure toujours une coordonnée et non une distance comobile ( c'est-à-dire ), ce qui fait que je me retrouve avec une expression hybride en ayant des coordonnées comobiles et une coordonnée au dénominateur de .

Comment résoudre ce problème pour avoir une expression de la métrique cohérente ?

2) Le second problème vient de l'équation de Friedmann suivante :



On utilise souvent l'expression :

Mais si je prends pour l'énergie noir , comment faire apparaître le terme que l'on retrouve habituellement dans l'équation de Friedmann ?

Toute aide est la bienvenue.

Cordialement
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[fabio123]

Excusez-moi, il y a une typo dans la question 1, je voulais dire :

ce qui fait que je me retrouve avec une expression hybride en ayant des distances comobiles et une coordonnée au dénominateur qui apparaît

[fabio123]

Juste un rajout : dans un univers euclidien ( k = 0 ), je n'ai plus le problème évoqué ci-dessus. Par contre, dans les 2 autres cas (k=-1 et k=1), la forme hybride de la métrique ( avec facteur a(t) = R(t)/R0 , la distance comobile R0*dr au numérateur et au dénominateur (1-kr^2) où r est la coordonnée comobile (à ne pas confondre avec la distance comobile). Peut-être que la quantité " r" s'appelle autrement ?

De plus, on a une singularité dans le cas k = 1, pour r = 1 : peux t-on qualifier cette métrique de pathologique à cause de ça ?

Cordialement

[Archi3]

C'est juste un problème d'unité, a(t) représente le facteur d'échelle "en unités Ro", ce qui permet d'omettre Ro dans les équations car Ro=1 . C'est comme quand tu poses c=1 , ce n'est vrai que si l'unité de temps est adaptée à l'unité de distance, mais pour revenir en unités habituelles physiques il faut remettre des c.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

Bonjour,

Il me semble que ton problème (tel que tu l'expliques dans ton dernier message) est le même que celui qui avait causé il y a quelques temps un petit malentendu entre physeb2 et moi.

Quand on écrit la métrique FLRW sous la forme

ce n'est que dans le cas où qu'on peut choisir arbitrairement de donner la dimension d'une longueur à ou à . Dans le cas général, est forcément sans dimension et a la dimension d'une longueur. De plus si la courbure spatiale n'est pas nulle, on ne peut pas fixer arbitrairement la valeur de car est lié au scalaire de courbure 3D par la relation .

Mais on peut aussi écrire la métrique sous la forme

avec sans dimension, de la dimension d'une longueur et inverse du carré d'une longueur. Dans ce cas on peut choisir arbitrairement la valeur pour que représente la courbure spatiale aujourd'hui (pas seulement son signe) et la distance comobile radiale.

Voir https://en.wikipedia.org/wiki/Friedm...General_metric

[yves95210]

Quant à ton second problème, si on tient à remplacer la constante cosmologique par un "fluide" de densité d'énergie et pression constantes, la première équation de Friedmann impose :



et avec ,


Les deux équations de Friedmann peuvent ainsi s'écrire :

[fabio123]

Bonjour Yves,

Merci pour ta réponse. Je me rends compte qu'il m'est beaucoup plus facile de prendre l'expression générale que tu as citée avec qui a une unité de inverse du carré d'une longueur et qui est sans dimensions, et avec qui a la dimension d'une longueur

QUESTION : d'aiileurs peut-on dire que représente la distance comobile ? je veux dire la distance physique égal au produit entre la coordonnée r et le facteur d'échelle ?

J'essaie de déméler cette histoire en regardant l'unité du scalaire de Courbure. Si on part de :



où est la courbure, est le facteur d'échlle, et sont les coordonnées sphériques. La métrique de Robertson-Walker nous indique s'écrit :



d'un autre coté, pour , nous aurons



Maintenant, calcucons le scalaire de courbure :



et donc en contractant avec l'inverse de la métrique, on obtient :



Alors, si n'a pas d'unités, nous aurons l'inverse d'une longueur au carré ( pour , (je pense à la courbure de Riemann pour une sphère qui es égale à 1/R^2), on est d'accord ?

Merci par avance pour vos explications.

[yves95210]

Merci pour ta réponse. Je me rends compte qu'il m'est beaucoup plus facile de prendre l'expression générale que tu as citée avec qui a une unité de inverse du carré d'une longueur et qui est sans dimensions, et avec qui a la dimension d'une longueur

L'une n'est pas plus générale que l'autre, c'est une question de préférence... Mais j'ai constaté que le (seul ?) cosmologiste intervenant sur le forum (physeb2) préfère aussi cette expression. Avec sans-doute une bonne raison : elle permet de choisir a₀=1 sans avoir besoin de faire pour cela l'hypothèse d'une courbure spatiale nulle.

QUESTION : d'aiileurs peut-on dire que représente la distance comobile ? je veux dire la distance physique égal au produit entre la coordonnée r et le facteur d'échelle ?

Dans l'expression de la métrique avec a(t) sans dimension et avec la convention a₀=1, r représente bien la distance comobile radiale, égale à la distance physique aujourd'hui.

J'essaie de déméler cette histoire en regardant l'unité du scalaire de Courbure. Si on part de :



où est la courbure, est le facteur d'échelle, et sont les coordonnées sphériques.

Si tu choisis d'exprimer la métrique avec a(t) sans dimension et donc r une longueur, la dimension de K est nécessairement l'inverse du carré d'une longueur.

Si d'autre part tu choisis la convention a₀=1, dans laquelle r représente la distance comobile, K ne peut manifestement pas prendre les valeurs -1 ou +1 : dans le cas d'une courbure spatiale positive (K>0), si on avait K=1 le dénominateur 1-K.r² serait négatif pour r>1.

En fait dans cette convention, K est (à un facteur numérique près) le scalaire de courbure (de Ricci) de l'hypersurface 3D à t₀, et peut prendre n'importe quelle valeur réelle, positive ou négative.

Alors, si n'a pas d'unités, nous aurons l'inverse d'une longueur au carré ( pour , (je pense à la courbure de Riemann pour une sphère qui est égale à 1/R^2), on est d'accord ?

Oui.

[fabio123]

Bonjour,

Est-ce que cette formulation des 2 équations de Friedmann est correcte si l'on considère ayant l'unité d'une longueur et sans unités :



Le membre de gauche aurait une unité de et le membre de droite aussi avec homogène à et le terme aussi homogène à .

Mais je me demande s'il ne manque pas un facteur sur pour les 2 équations, ce qui rendrait homogène à (ce que j'ai vu pas mal dans la littérature).

Toutes remarques sont les bienvenues.

Merci

[yves95210]

Bonjour,

Mais je me demande s'il ne manque pas un facteur sur pour les 2 équations, ce qui rendrait homogène à (ce que j'ai vu pas mal dans la littérature).

Oui, bien sûr. La dimension de est imposée par l'équation d'Einstein .
Si le facteur d'échelle de la métrique FLRW a la dimension d'une longueur les composantes du tenseur métrique sont de dimension L², et celles du tenseur d'Einstein (construit à partir des dérivées secondes des composantes de la métrique) sont sans dimension. Donc est nécessairement de dimension L^-2.

Dans le message où je répondais à ton 2e problème, tu verras que j'ai tenu compte de ce facteur dans l'expression de la densité d'énergie et de la pression de l'"énergie noire".

[fabio123]

Bonjour,

Quant à ton second problème, si on tient à remplacer la constante cosmologique par un "fluide" de densité d'énergie et pression constantes, la première équation de Friedmann impose :



et avec ,


Les deux équations de Friedmann peuvent ainsi s'écrire :

Pour la deuxième équation, si l'on prend , alors on pourrait écrire :

: est-ce bon ?

du coup, en tenant compte du rayonnement , on devrait avoir la seconde équation :

.

Maintenant, si je prends la variable , est-ce que ça peut se mettre sous la forme :



?

sachant que l'on a la formule :

Pour la première équation, on peut écrire :



et finalement on a :



Quelqu'un pourrait-il s'il vous plaît me confirmer la validité de ce déroulement ?

Merci par avance, Cordialement.

[fabio123]

Désolé, une première coquille, concernant le rayonnement avec

[yves95210]

Bonjour,

Pour la deuxième équation, si l'on prend , alors on pourrait écrire :

: est-ce bon ?

du coup, en tenant compte du rayonnement , on devrait avoir la seconde équation :

.

Maintenant, si je prends la variable , est-ce que ça peut se mettre sous la forme :



?

Jusque-là c'est correct (en tenant compte de ta correction dans le message suivant).

Côté notations on est plutôt habitué à utiliser (qui est une donnée observable) plutôt que ton qui n'est autre que .
D'autre part on a évidemment et je ne vois pas bien l'intérêt d'introduire cette variable . Ou alors il vaudrait mieux la nommer par exemple en tant que facteur d'échelle normalisé.

Quant à la suite,

je repars de la première équation de Friedmann (et j'utilise pour la dérivée par rapport à ) pour y voir plus clair :





Tout va bien, ton équation est correcte (ce qui ne me sautait pas aux yeux ), et donc la suivante évidemment aussi :


... même si je ne vois pas bien où tu veux en venir

[fabio123]

Bonjour,

Merci Yves, j'avais besoin de cette vérification.

Cordialement

[fabio123]

Bonjour Yves,

Bonjour,
Dans le cas général, est forcément sans dimension et a la dimension d'une longueur. De plus si la courbure spatiale n'est pas nulle, on ne peut pas fixer arbitrairement la valeur de car est lié au scalaire de courbure 3D par la relation .

Justement, je cherchais à savoir quelle est la convention majoritairement adoptée par les astrophysiciens. D'un point de vue personnel, je préfère adopter la même pour les 3 géométries possibles, donc je dirais que la variable représente une coordonnée radiale mais pas une distance radiale (je veux dire une distance physique), et donc j'ai plus de facilité à mettre l'unité de distance sur le facteur d'échelle.

Par contre, j'ai un posé la question sur un site anglo-saxon bien connu et l'on ma répondu que le choix majoritaire des cosmologistes était de prendre le facteur d'échelle sans unité et avec la dimension d'une longueur : tu pourrais confirmer ce choix majoritaire ?

Merci

[Archi3]

r n'est jamais une "distance physique" dans la mesure où la distance propre entre deux points de r différents n'est en général pas ∆r sauf dans un univers plat. Ca restera toujours une coordonnée. Après elle s'identifie à une distance pour les petites valeurs. Prendre a(0) = 1 ou a(0) = Ro, c'est juste adopté un système d'unité différents, dans le premier cas, tu adoptes comme unité de longueur Ro, dans le deuxième cas, une autre unité de longueur dans laquelle tu exprimes Ro. Ca n'a aucune conséquence sur les résultats physiques obtenus (par exemple le lien entre redshift et luminosité).

[fabio123]

Bonjour,

pour s'affranchir de savoir si r ou R(t) a la dimension d'une longueur, on pourrait tout simplement écrire la métrique FLRW sous la forme sur la figure suivante

avec "chi" la distane comobile et a(t) le facteur d'échelle qui est normaisé.

Ainsi, ça évite d'introduire "r" avec une unité de distance, tout est dans la distance comobile "chi"