[Prepa - Chimie et Cristallo]Relation entre distance réticulaires et indice de miller

[invite4750be18]

Bonjour à tous !
Alors j'ai un petit problème concernant notre programme de cristallographie. En fait, lors de l'étude d'un échantillon par diffraction des rayons X (methode des poudres), on obtient une série de pic, chacun reliés à une certaine distance entre plans réticulaires.

La formule qui permet de relier l'angle d'obtention du pic avec la distance en question est "simple" :

soit
.

Cette distance est reliée aux indices de miller des plans réticulaires en question par la magnifique formule



où a, b, c représentent les paramètres de la maille. et h, k, l les indices de miller du plan en question.
Dans mon cas, il est question d''un empilement cubique, faces centrées. on peut donc simplifier la formule.
Comme on ne garde que a... il remonte sur la fraction, on élève de part et d'autre au carré, on bidouille, et voilà la magique formule



(Je me trompes peut être ...)

Donc maintenant on dispose de 4 distance différentes (qu'on a calculé depuis les angles).
Et le corrigé nous indique que ...
3,227 A <=> (1,1,1)
2,794 A <=> (200)
1,975 A <=> (220)
1,685 A <=> (311)

Ma question c'est : Existe-t-il une formule qui lierais distance distance et indice de miller directement ... ou faut il bidouiller, essayer les différents plans qu'on peut supposer, et prier pour trouver pour chacun des plans le même paramêtre a ?
Je rajoute d'ailleurs qu'à ce niveau de l'exercice, nous ne connaissons pas le paramètre de maille a, seulement qu'il s'agit de calcium.

Voilà, merci de l'aide que vous pourrez m'apporter.
Bonne continuation
Pascail.


Je vous donne l'ennoncé si jamais vous avez une idée ...

II) Le calcium et ses composés (12,5 points)
1) Donner la configuration électronique du calcium.
2) Quel est son degré d’oxydation le plus courant ? Quelle est la formule chimique de
l’oxyde formé par le calcium ? Est-il acide ou basique ?
3) Le calcium métallique cristallise selon l’empilement cubique à faces centrées.
a) Donner la coordinence (nombre d’atomes qui lui sont tangents) de l’atome de calcium
dans cette structure.
b) On réalise le diffractogramme de rayons X d’une poudre de calcium sur un
diffractomètre équipé d’un tube à RX à anticathode en cuivre dont on n’utilise que la
raie K-L2,3 de longueur d’onde égale à 1,5405 Å.
Les quatre premiers pics observés sont obtenus pour les valeurs 2θ suivantes :
27,62° 32,00° 45,90° 54,40°
Donner, en Å (à 10-3 Å près), les distances entre les plans réticulaires des familles
correspondant à ces pics de diffraction.
c) Donner les indices de Miller des familles de plans concernés. Représenter, sur un ou
plusieurs schémas clairs, le premier plan de chacune de ces familles et indiquer, quand
ils existent, les axes de symétrie perpendiculaires à ces plans.
d) En déduire les paramètres de maille et la masse volumique du calcium.
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[invitef7eb4129]

Salut,
il n'existe pas de relation entre les distances interatomiques et les indices de Miller qui ne fasse intervenir les paramètres de maille. Mais dans ton cas on peut limiter les essais. Par exemple pour les deux premières distances on voit que :
donc :
Etc pour les autres distance, la recherche des hkl revient à trouver les plus petits hkl entiers qui permettent de vérifier ces ratio. L'élimination se fait très vite et comme on est dans un système cubique l'ordre des indices hkl est libre (220)=(202) . En utilisant les rapports, on s'affranchit de la valeur de a.

[invite4750be18]

Ok c'est impeccable ça, et au final, c'est bien l'idée du bidouillage qui l'emporte, même si, je l'admet, dans ce cas, le nombre de combinaison est limité.
A vrai dire, j'avais pensé à cette idée de mettre les indices les uns sur les autres pour faire disparaitre le a constant ... mais j'avais trop peur de me retrouver avec des rapports étranges et surhumains. Jamais je n'aurais cru que ça pourrait donner un truc aussi simple ...

L'idée c'est donc d'appliquer cette methode et de trouver les plans qui correspondent à nos calculs ... en restant logique avec sois même. Tant qu'on trouve le a à la fin (vu qu'il ne dépend pas des l'ordre des indices qu'on prend ... on a de forte chance de trouver le bon a en passant par une multitude de chemins différents)

Merci beaucoup !
et bonne fêtes !