Intégrale et thermodynamique....

[invitea9a1ed71]

Bonjour à tous, je ne sais pas si ma question a sa place ici mais car elle concerne autant les maths que la chimie. J'ai beaucoup de mal à comprendre le jonglage entre les dérivée, et les intégrale, dans mon cours de thermodynamique, le prof nous présente la signification du travail W (énergie produite par le déplacement d'un objet soumis à une force), il note ensuite:
deltaW= -Pext.dV
, ici je ne comprend pas les différentes notation, que signifie exactement dV et dW? (pourquoi d, je sais que c'est la dérivé mais je ne comprend pas la signification de la dérivé ici)
Ensuite pour nous prouver que W n'est pas une fonction d'état il utilise l'intégrale de la fonction précédente, et c'est vraiment la que je bloque, quelle est littéralement la différence entre cette fonction et son intégrale. Ceci est censé représenter le travail échangé...
Je croyais que c'était simplement la différence de travail entre l'état finale et l'état initiale.
Lorsque je cherche une définition de l'intégrale dans mes cours de math j'ai tout simplement: l'air sous la courbe...mais cela ne m'aide pas du tout.

Je ne sais pas si j'arrive à être clair dans ma question mais si quelqu'un pouvait m'aider ce serai vraiment super!

Merci d'avance.
Yann
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[moco]

dx, dy, dV, dW ne sont pas des dérivées des accroissements très petits de la variable x, y, V ou W.

Quand une force F dirigée sur Ox provoque un déplacement entre un point d'abscisse x₁ et un autre point d'abscisse x₂, elle crée un certain travail. Pour calculer ce travail, il faut multiplier la force par le déplacement x₂ - x₁ = Deltax. Si cette force conserve la même valeur entre le début et la fin de ce déplacment, le travail est alors : F(x₂ - x₁) = F Deltax.
Mais si cette force change un peu de valeur entre le début et la fin de ce déplacement, on ne peut pas simplement multiplier F par Deltax. F varie avec x. On écrit ceci F(x). Le calcul du travail est plus compliqué. On décompose le déplacement Delta x en un grand nombre de très petits intervalles qu'on appelle dx. On admet alors que la force ne change pas entre le début et la fin de ces très petits déplacements. Le travail sur un de ces petits déplacement s'écrit F(x)dx. Le travail total entre x₁ et x₂ est la somme (ou mieux l'intégrale) de tous ces petits éléments de travail.

Ceci dit, en chimie on utilise souvent une force pour comprimer un volume de gaz supposé pris dans une seringue fermée.
Imagine une seringue verticale avec un piston vertical dont la position x_i est fixée par un repère sur un axe vertical, qui est orienté dans le même sens que la force qu'on va appliquer sur le piston, donc positivement vers le bas. La section du piston vaut S centimètres carrés. Au début le piston est en équilibre, car il y a la même pression dedans et dehors de la seringue. Mais tout à coup, tu déposes un poids important sur le piston : il s'enfonce et va finir par atteindre un nouveau niveau x_f au-dessus du fond. Le déplacement est positif. Et tu as communiqué un certain travail au gaz intérieur. Comme la force est constante pendant ce déplacement, ce travail n'est pas une intégrale et il vaut F(x_f - x_i) = F Delta x, qui est positif.
Il faut remarquer que, vers la fin de la compression, le piston aura acquis une certaine vitesse et va se mettre à osciller un moment autour du point final, ce qui va échauffer un peu le gaz, avant de se stabiliser. Tu suis ?
On dit que cette compression est irréversible. Tu verras plus loin pourquoi.

Mais on peut aussi effectuer ce déplacement autrement, par étapes. On peut rajouter un poids de 1 milligramme, ce qui va comprimer le gaz d'un rien (égal à dx), sans donner de vitesse au piston. Le travail effectué sera Fdx. Puis on rajoutes un autre milligramme, etc. Avec ce moyen, on adapte constamment la force extérieure agissante à la pression intérieure. Or la pression se définit comme une force divisée par une surface.
F(x) croit constamment entre x_i et x_f. Le travail effectué sera la somme (ou l'intégrale) de tous ces petits travaux avec une force qui change sans cesse : F(x).
On peut relier F(x) et la pression intérieure p, car p = F/S.
Tu suis ?
Dans ce 2ème type de compression, le travail vaut : Intégrale de Fdx = Intégrale de PSdx.
Or Sdx désigne aussi la variation dV du volume V subi par le gaz pendant la compression. Donc :
Travail = Intégrale de Fdx = - Intégrale de PdV
Attention au signe moins ! Le travail est positif. Mais le volume décroît, donc dV est négatif.
On dit que cette compression est réversible, car on adapte constamment la force extérieure et la pression intérieure. En enlevant les petits poids l'un après l'autre, on peut retrouver l'état initial.

Donc attention ! Il y a deux façons pour un piston de passer d'une hauteur x_i à une hauteur x_f. Soit de manière irréversible, avec F constant. Soit de manière réversible, avec un F qui s'adapte à la pression interne, et varie en continu.
Tu suis ?

[invitea9a1ed71]

d'accord, je comprends déja beaucoup mieux. J'ai toujours du mal avec cette notion d'intégrale, on l'utilise aussi pas mal en physique mais en math on nous dis juste "l'air sous la courbe" pourquoi? , je vais y réfléchir, en reprenant attentivement le message. Merci beaucoup

[invite1e7cde7e]

BONJOUR, en fait d'après mes souvenirs,l'intégrale représente aussi la limite finie vers laquelle tend une somme infinie de termes tendant tous individuellement vers 0 ! "à partir de rien,et en additionnant à l'infini "ces riens",tu aboutis à quelque chose!"; l'intégrale ne se résume pas à l'aire d'une courbe! moi aussi,mon apprentissage de l'intégrale est passé par là!c'est à mon avis,pour des raisons pédagogiques!il est plus facile en effet, d'appréhender l'intégrale par le biais d'une aire,que par des notions de" limite finie d'une somme infinie de termes infiniments petits" un peu plus ardues et déstabilisantes! À BIENTÔT et bon courage pour ton apprentissage! NEWTON ET LEIBNIZ entre autres ,sont passés par là!

[A voir en vidéo sur Futura]

[HarleyApril]

El Ruf, tu fais allusion à Riemann

l'intégrale représente en effet l'aire sous la courbe
trace une courbe sur un papier
hachure verticalement en petites bandes l'aire sous la courbe
la surface de chaque bande est égale à la hauteur multipliée par la largeur
la hauteur, c'est f(x) ou presque (ce sera vrai pour une bande infiniment mince)
la largeur, c'est dx
la surface de chaque bande est donc f(x)*dx
l'aire est donc presque égale à la somme des f(x)*dx, et ça devient vrai lorsque chaque dx tend vers zéro
la somme tend alors vers l'intégrale

j'espère que ce sera plus parlant avec le dessin que tu feras (sinon, on va déplacer en maths)

cordialement

HarleyApril

[moco]

La suggestion de Harley April et correcte. Mais encore faut-il préciser que la courbe n'est pas quelconque. Si c'était un cercle, le développement proposé par Harley April ne serait pas correct. Il faut quand même préciser que la courbe doit être telle qu'une verticale passant par n'importe quel endroit choisi sur la feuille ne coupe la courbe qu'une seule fois (et pas deux comme ce serait le cas avec un cercle)

[HarleyApril]

et qu'elle est continue !

(on va finir par poster en maths )

l'idée n'était que d'aider à mieux saisir la relation entre intégrale et aire
c'est donc un raisonnement sur un exemple qui n'a rien d'une démonstration mathématique (même si on peut ensuite la peaufiner comme l'a justement fait Riemann)

cordialement

[invite1db95efe]

Il y a une formule permettant de définir et de calculer de manière approximative (comme font tous les physiciens) une intégrale, la courbe étant représentative d'une fonction. Une intégrale n'est rien d'autre qu'une somme.

(Maths)
On prend une fonction X définie et continue sur [a,b] (par exemple P,T).
On divise l'intervalle [a,b] en n intervalles , chaque intervalle est donc de longueur
On effectue l'approximation pour n très grand Autrement dit plus la taille de chaque intervalle est petite plus la fonction varie très peu le long de l'intervalle.

Et on trouve

Bref voilà pourquoi on différencie une fonction (ex P T V) pour exprimer une variation infinitésimale dP dT dV puis on l'intègre par rapport au temps en mécanique ou à une variable d'état en thermodynamique pour obtenir .

Un dernier truc important : ne pas confondre qui signifie petite quantité que l'on peut additioner avec dx qui est une petite variation. Ce sont deux notions très différentes il me semble bien.
Corrigez-moi si ce n'est pas clair =)