Atomistique: Electron solvaté dans une cage sphérique

[invite7a7f3bf5]

Bonjour, j'essaie de refaire mon sujet d'examen pour m'entraîner au rattrapages mais je n'arrive pas à faire cet exercice.

Exercice: on étudie les niveaux d'énergie d'un électron enfermé dans une cage constituée de molécules d'eau.
Dans la première partie la cage est cubique (là pas de problème pour moi)
Partie B: cage sphérique V(r)=0 si r<R/2
infini si r>=R/2
1. Quel argument permet d'écrire les solutions sous la forme Phi(nlm)= G*Y
A quoi correspond Y ?
Quelles valeurs peuvent prendre l et m ?
2. Calculer l'énergie exprimée en unité (Pi*h barre)²/(2me R²) et la dégénérescence des 8 premiers niveaux d'énergie sachant qu'on a E(nl)=(Pi*h barre)²* (2n+l)/(2meR²)
3. Tracer la courbe de N(E)= somme gN

Mes réponses: Y: partie angulaire
L=0 donc m=0
E1= (2*1)²=4
E2=(2*2)²=16
...
Je trouve que les valeurs sont très grnades par rapport à la cage cubique
Pouvez-vous m'aider? Merci d'avance
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[aNyFuTuRe-]

Salut,

Tu réponds à coté a chaque fois !

La première question demande un argument physique (voire mathématique) qui permet de justifier la séparation des fonctions solutions en une partie radiale et une partie angulaire, comme tu l'as dit.
Ensuite l et m peuvent prendre davantage de valeur que l=0 => m=0
C'est plutôt l entier et m dans [-l...l] par pas de 1.

Pour trouver l'expression des énergie il faut résoudre l'équation aux valeurs propres H|phi> = E |phi>. La dégérescence d'un niveau d'énergie est donnée par 2m+1 (2m+1 valeurs de m correspondent au même couple (n,l))

[invite7a7f3bf5]

Merci pour la réponse!
Mais comment sait-on les valeurs de l car il est spécifié qu'elles ne dépendent pas le n comme pour l'atome les hydrogénoïdes?

[aNyFuTuRe-]

Soit c'est du cours, soit tu résouds l'équation de Schrödinger en passant aux coordonnées sphériques (tu écris les opérateurs en coordonnées sphériques (r,téta,phi)). La condition sur l découle de cette résolution mathématique si je ne m'abuse !

[A voir en vidéo sur Futura]