Cinétique bimoleculaire reversible (vrai question ici)

[invite22bb543b]

Bonjour, je fais en ce moment des exercices de cinétique et je m en sors mais on me demande de trouver le résultat suivant.
J ai une reaction du type
A + A -> A₂ avec une constante k_a
A₂ -> A + A avec une constante k_b
donc la reaction stochimétrique est 2A=A₂
Il faut trouver comment on obtient le résultat suivant, il s'agit de la fonction permettant de calculer à tout instant x avec x=(C°_A-C_A)/2=C_A2-C°_A2.
On me donne le résultat à trouver mais il faut que je le prouve comment le calculer.
Voila le résultat:
ln((x-M)/(x-N))-ln(M/N)=k_a(4C°_A+K-8N)(t-t₀)
avec
K= k_b/k_a
M= C°_A +K/4-N
N= C°_A/2 +K/8 -[(16K(C°_A2+C°_A/2)+K²)^1/2]/8

L exercice est difficile mais j ai déja ecrit l'equation différentielle à résoudre:
dx/dt= k_a(C°_A-2x)² - k_b(C°_A2+x)

J'espere que vous pourrez me donner la démarche a suivre pour pouvoir trouver le résultat voulu. La methode par integration par partie fonctionne surement mais le probleème est qu elle est tres complexe a résoudre et est san fin car je tombe sur des fonctions ln inintégrables.
Peut etre faut il faire des changements de variables mais je ne vois pas lesquelles
Merci de m aider
Dan
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[invite19431173]

Oula... C'est uen sacré équation dis moi... On est plus dans les mathématique que dans la cinétique... Je viens d'eesayer de dévlopper, etc, mais ça me semble assez compliqué... Il ne vous a pas donné de pistes le prof ?

[invitefb5ac34d]

Je trouve que ces coeff /2,/4,/8 ça fait penser à un developpement en serie de Taylor .. non?

[moco]

Non. Ce n'est pas un développement de Taylor, mais une équation du second degré.
Ton problème est difficile. Ton prof est diabolique. Dans le livre Chemical Kinetics, de Frost et Pearson, on ne traite que le cas ou la concentration en A2 est nulle au début.
Je vais essayer une idée, en examinant d'abord la situation à l'équilibre, quand x = 0.
Tu définis la constante d'équilibre K = [A2]/[A]^2.
Or, à l'équilibre, x = 0. Et si on désigne de l'indice f cet état là, on peut écrire :
[A2]f = K[A]f^2.
Chaque fois que tu trouves une concentration finale en A2, tu peux la remplacer par K fois le carré de [A]f.
Cela ne fait pas avancer beaucoup les choses, je sais, mais c'est un début.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb85b19ce]

Salut,

J'avais un peu de temps, je viens de le faire
En fait, il n'y a rien de difficile, seuls les calculs littéraux sont contraignants.

Déjà, l'équa diff est à "variables séparables" et devient :


Le dénominateur est un trinôme du 2nd degré. On calcule donc son discriminant, puis les racines en prenant soin de faire apparaître la constante K. Il se trouve que ces deux racines sont justement M et N

Conclusion : le dénominateur s'écrit donc 4k_a(x-M)(x-N) et la fraction rationnelle correspondante peut être décomposée en éléments simples pour intégrer facilement :



On intègre ensuite l'équation, et c'est bon.

Par contre, j'ai un 4 qui traîne sur le membre de droite : 4k_a(4C°_A+K-8N)(t-t0)

[invite73061056]

Mon dieu il faut que je me replonge la dedans j'étais largué moi

[invite19431173]

Vraiment impressionnant cet Odie...

[invite22bb543b]

Merci Odie, c est tres sympa d'avoir pris du temps.
Je viens de lire ton message ... et il se trouve qu'avec des amis a l'ecole on a trouvé la meme solution que toi et pour te rassurer encore plus ce 4 nous gene aussi. Je pense qu'il y a une faute dans l enoncé.
En tout cas je retrouve la meme chose que toi, en ayant d'abord resolution l'equation du second degré egale a zero puis en factorisant et en séparant les coefficients.
Merci en tout cas d'avoir pris du temps.
J'en suis très reconnaissant.
Merci à tous les autres qui s'y sont aussi plongé.
A bientot peut etre
Dan

[invite22bb543b]

petit rajout pour b ien comprendre:
on trouve a l'equation du second degré deux racine de la forme A+B et A-B ou A+B=M et A-B=N
A bientot
Dan

[invite22bb543b]

il te manque je crois 4*ka car c est le coefficient devant x au carré que tu as peut etre oublié
Voila c'est pas une faute du prof
Merci
Dan

[inviteb85b19ce]

Salut,

Ok, j'ai vu mon erreur (plutôt stupide d'ailleurs).
Au moment de calculer 4k_a(M-N) = 4k_a(C°_A + K/4 - 2N), j'ai mis 1/4 en facteur dans la parenthèse mais oublié de simplifier par la suite...

Thx, A+