Variation de pression système fermé.
Bonjour à tous,
Un problème m'a été posé par mes employeurs,
Un flacon de 100 mL fermé subit une chauffe de 15 à 22°C.
Dans celui ci se trouve un 96 mL de jus composé de 50% d'eau et 50% d'éthanol à 96°.
Ainsi que 4 mL d'air. le tout à une pression de 1 atm.
On me demande de calculer la quantité de matière qui s'évapore
et de calculer la modification de pression qui s'ensuit.
Je vous transmet le raisonnement que j'ai suivit pour résoudre ce problème,
mais le résultat que j'obtiens est complètement erroné.
Présentation :
Nous sommes en présence d’un flacon de 100 mL contenant 96% de jus et 4% d’air.
Nous allons lui faire subir une chauffe de 15 à 22 °C et étudier les variations de pression qui s’exerce au final sur le capot.
On suppose que le jus est composé de 50% d’éthanol et 50% d’eau.
Etat initial Etat final
Pi = 101325 bar ?
Ti = 15 °C Tf = 22 °C
Vtotal = 100 mL Vtotal = 100 mL
V jus = 96 mL ?
V air = 4 mL ?
Méthode de résolution :
Lors du réchauffement du flacon une partie du jus va avoir tendance à s’évaporer, ce qui va
modifier les paramètres finaux des quantités de gaz et de jus.
Ce sera donc la première partie de notre résolution.
Ensuite nous verrons l’effet de la dilatation isobare qui a lieu sur le jus et des nouveaux paramètres s’appliquant à celui-ci.
Puis en supposant que l’air et les vapeurs du jus sont des gaz parfait, nous étudieront l’état de ceux-ci à l’état final.
Quantité de jus évaporé ?
En supposant que le jus est constitué de 50% d’éthanol à 96° et 50 % d’eau...
Nous allons calculer l’énergie reçue par ces éléments lors de la chauffe.
ΔH = m Cp ΔT (Cp Capacité calorifique à pression constante)
Cas de l’éthanol :
On commence par calculer la masse d’éthanol présente dans le flacon.
m = V * ρ (ρ masse volumique)
Avec ρ(C2H6O) à 15°C = 805,64 g/L
m = 48 * 10-3 * 805,64 = 38,67 g
ΔT = 22 – 15 = 7°C
Cp(C2H6O) = 2420 J. Kg-1 K-1
Soit ΔH = 38,67 *10-3 * 2420 * 7 = 655,62 J
L’éthanol a donc reçu 665,62 J lors de la chauffe.
Comparons maintenant avec l’énergie nécessaire pour évaporer un kg d’éthanol nommée Lv.
Nous déterminons ainsi la masse d’éthanol qui s’est évaporé.
Lv (C2H6O) = 844 400 J/Kg
Mvap1 =ΔH / Lv (C2H6O) = 0,776 g
Il y a donc 0,776 g d’éthanol qui s’est évaporé.
Cas de l’eau :
On commence par calculer la masse d’eau présente dans le flacon.
m = V * ρ (ρ masse volumique)
Avec ρ(H2O) à 15°C = 999,05 g/L
m = 48 * 10-3 * 999,05 = 47,954 g
ΔT = 22 – 15 = 7°C
Cp(H2O) = 4180 J. Kg-1 K-1
Soit ΔH = 47,954 *10-3 * 4180 * 7 = 1403,13 J
L’éthanol a donc reçu 1403,13 J lors de la chauffe.
Comparons maintenant avec l’énergie nécessaire pour évaporer un kg d’eau nommée Lv.
Nous déterminons ainsi la masse d’eau qui s’est évaporé.
Lv (H2O) = 2257 KJ/Kg
Mvap2 =ΔH / Lv (H2O) = 0,622 g
Il y a donc 0,622 g d’éthanol qui s’est évaporé.
Nous savons désormais quelle quantité de chaque phase sera présente à l’état final.
Dilatation isobare :
Voici les conditions de la réaction avec les modifications dues à l’évaporation des composants :
V jus (corrigé) = V jus – Mvap1 / ρ(C2H6O) - Mvap2 / ρ(H2O) = 96* 10-3 – 0,776/805,64 – 0,622/999,05
V jus (corrigé) = 94,414 mL
Lors d’une dilatation isobare la pression reste constante.
Une dilatation peut être soit isochore (volume constant), soit isotherme (température constante), soit isobare. Les deux premiers cas étant à exclure, la détente serait donc isobare.
On a un volume d’éthanol de 48 – 0,776/805,64 = 47,04 mL
On a un volume d’eau de 48 – 0,622/999,05 = 47,377 mL
Lors d’une dilatation isobare le volume final se calcule via :
Vf = Vi (1 + α (Tf – Ti)) (α étant le coefficient de dilatation isobare)
α(H2O) = 2,6 * 10-4 °C-1 α(C2H6O) = 1,1 * 10-3 °C-1
Soit Vf(H2O) = 47,377 (1 + 2,6 *10-4 * 7) = 47,463 mL
Soit Vf(C2H6O) = 47,04 (1 + 1,1 *10-3 * 7) = 47,402 mL
Vair = 100 - Vf(H2O) + Vf(C2H6O) = 5,135 mL
La dilatation ayant été isobare, la pression du jus n’a pas changé.
Par contre celle de l’air a variée.
Variation de pression du gaz :
Le volume occupé par le gaz a donc augmenté car une partie du jus c’est évaporé. On a donc une plus grande quantité
de gaz dans un espace très légèrement plus grand.
Le volume molaire Vm = (R * T) / P
A l’état initial T = 15 °C = 288 K P = 1 atm = 101325 bar R = 8.314 J / (mol .K)
Soit pour t = 15°C Vm = 23,63 L / mol
Vm = V / n Donc n(air) = V / Vm = 1,69 * 10-4 mol
A cela s’ajoute la quantité de matière d’eau et d’éthanol qui s’est évaporé.
Soit n(C2H6O) évaporé = Mvap1 / M(C2H6O) = 0,776/46 = 1,69 *10-2 mol
Et n(H2O) évaporé = Mvap2 / M(H2O) = 0,622/18 = 3,456 * 10-2 mol
Soit la quantité de matière présente totale dans le gaz est de :
ntotale = n(air) + n(C2H6O) évaporé + n(H2O) évaporé = 1,69 * 10-4 + 1,69 *10-2 + 3,456 *10-2 = 5,163 *10-2 mol
Le tout est contenu dans le volume final de 5,135 mL
En utilisant la loi des gaz parfait : PV = nRT
On a P = (5,163*10-2*8,314*295) / (5,135 *10-6) =24 660 036 bar (improbable)
Merci d'avance !
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